2021-2021版高中数学第三章统计案例1.3可线性化的回归分析学案北师大版选修2-3

1、1.3 可线性化的回归分析【学习目标】1.理解回归分析的根本思想.2.通过可线性化的回归分析， 判断几种不同模型的 拟合程度.ET问题导学知识点一常见的可线性化的回归模型幕函数曲线，指数曲线.倒指数曲线，对数曲线.知识点二可线性化的回归分析思考i有些变量间的关系并不是线性相关关系，怎样确定回归模型？思考2如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程?梳理在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系等非线性关系.在某些情况下可以借助线性回归模型研究呈非线性关系 的两个变量之间的关系.题型探究类型一给定函数模型，求回归方程例1在彩色显影中，由经验

2、可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度 x由公式y =武b。表示现测得试验数据如下:Xi0.050.060.250.310.070.10yi0.100.141.001.120.230.37Xi0.380.430.140.200.47yi1.191.250.590.791.29试求y对x的回归方程.跟踪训练1在试验中得到变量y与x的数据如下表:x0.066 70.038 80.033 30.027 30.022 5y39.442.941.043.149.21由经验知，y与x之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程，当xo = 0.038z.时，预测yo的值.类型二选取函数模型，求回

3、归方程例2下表所示是一组试验数据：x0.50.25160.1250.1y64138205285360(1) 作出散点图，并猜想 y与x之间的关系；利用所得的函数模型，预测x = 10时y的值.反思与感悟实际问题中非线性相关的函数模型的选取(1) 采集数据，画出散点图.(2) 根据散点图中点的分布状态，选取所有可能的函数类型.(3) 作变量代换，将函数转化为线性函数.(4) 作出线性相关的散点图，或计算线性相关系数r,通过比拟选定函数模型.(5) 求回归直线方程，并检查.作出预报.跟踪训练2对两个变量x, y取得4组数据(1,1) , (2,1.2), (3 , 1.3) , (4,1.37)，

4、甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲 y= 0.1 x + 1,2乙 y=- 0.05 x + 0.35 x + 0.7 ,x丙 y=- 0.8 0.5 +1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际.当堂训练的形式为()a,经过非线性化回归分析之后，可以转化成A. u= c+ bxB. u= b+ cxC. y = b+ cxD. y= c + bx3.在一次试验中,当变量1 1 1x的取值分别为1, , , 4时，变量y的值分别为2,3,4,5，那么1y与-的回归方程为()xA y = -+ 1C. y = 2x + 1D. y= x 14某地今年上半年患某种传染病的人数y(人)与月份

5、x(月)之间满足函数关系，模型为y =bxae，确定这个函数解析式为 .月份X/月123456人数y/人526168747883-规律与方法 .1. 对于具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题 去解决.2. 建立回归模型的步骤(1) 确定研究对象，明确变量关系.(2) 画出散点图，观察变量之间的关系.(3) 由经验确定回归方程的类型.(4) 按一定规那么估计回归方程中的参数.合案精析问题导学知识点一by= axb y= aebx y = aex y = a+ bln x知识点二思考1首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，那么两个变量

6、不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型.思考2 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的 回归方程，再得到所求两个变量的回归方程.题型探究-b例1解 由题意知，对于给定的公式y= Aexb0两边取自然对数，得ln y= In A+二,z.1与线性回归方程相对照可以看出，只要取u = -，v= In y, a= In A,就有v= a+ bu.x这是v对u的线性回归方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a.题目中所给1的数据由变换u=

7、-, v= In y,变为如下表所示的数据.xu20.00016.6674.0003.22614.28610.000Vi2.3031.96600.1131.4700.994u2.6322.3267.1435.0002.128Vi0.1740.2230.5280.2360.255可求得 b 0.146 , a0.548 , v = 0.548 0.146 u.把u和v转换回来，可得Iny= 0.548 0.146x0.548二 y = e0.1460.548=e0.1460.146e =1.73 e 丁0.146回归曲线方程为 y= 1.73 e1跟踪训练1解 令z= -，那么y = a+ bz

8、,由数据制成下表:X1 z=-x14.992 525.773 230.030 036.630 044.444y39.442.941.043.149.2计算得 z = 30.373 9 , y = 43.120 0 ,5g 1Ziyi = 6 693.002 6,5_ - 2g Zi= 5 107.859 8.i = 125 z y = 6 548.612 8,5 z = 4 612.869 0.5g yi - 5 z y于是有b=52 2g!zi - 5 z0.291 7.6 693.002 6 6 548.612 85 107.859 8 - 4 612.869 0 a= y - b z 3

9、4.26.0 291 7 y与x之间的回归曲线方程是y = 34.26 +.x当 X0 = 0.038 时，yo 41.94，即 y。的值约为 41.94.例2解1散点图如下图，从散点图可以看出y与x不具有线性相关关系.根据已有知识发现样本点分布在函数y = b+ a的图像的周围，其中a, b为待定参数，令xX1=-，y = y,由数据制成下表: X序号ix iy i/ 2x i/ 2 y ix iy i126444 096128241381619 044552362053642 0251 230482856481 2252 280510360100129 6003 600301 052220

10、275 9907 790x = 6, y = 210.4 ,5故召X 2- 5( T，)2= 40,52 2召y i-5( y ) = 54 649.2 ,7790 5X 6X 210.4r = 0.999 7 ,40X 54 649.2由于r非常接近于1, x 与y具有很强的线性关系，计算知，b36.95, a= 210.4 36.95 X6= 11.3 , y = 11.3 + 36.95 x,36.95 y对x的回归曲线方程为 y = 11.3.x亠 36.95 当 x = 10 时，y = 11.3 = 7.605.跟踪训练2 解 甲模型，当x= 1时，y= 1.1 ;当x = 2时，

11、y = 1.2 ;当 x= 3 时，y= 1.3 ;当 x= 4 时，y= 1.4.乙模型，当x = 1时，y = 1 ;当x = 2时，y = 1.2 ;当 x= 3 时，y= 1.3 ;当 x= 4 时，y= 1.3.丙模型，当x = 1时，y = 1 ;当x = 2时，y = 1.2 ;当 x= 3 时，y= 1.3 ;当 x= 4 时，y= 1.35.观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.当堂训练1. B 2.A3.A4. y = e3.910 3 + 0.090 5 x解析 设 u= In y, c = In a,得 u= c+ bx,那么u与x的数据关系如下表：x123456u= In y3.954.114.224.304.364.426 6由上表，得耳=“ =21,葛u = 25.36 ,6 6_ - 2 _ - 2刀 Xi= 91,刀 Ui = 107.339 ,i = 17 i = 176刀 Xi