管理数量方法大题

1、对偶问题P)maxQ=-10x1+20x2X1+2x24s.t 2x1-3x26X1,x20解：（P）maxQ=-10x1+20x2X1+2x24s.t -x1+3x2-6x1,x20(D)_minS=4u1-6u2U1-2u2-10s.t 2u1+3u220u1,u202.(P)minQ=5u1+6u24u1+2u28s.t u1+3u29u1,u20解：（D）maxR=8x1+9x24x1+x25s.t 2x1+3x26x1,x203.(P) minQ=2x1-3x2+4x3X1+2x26s.t 2x1+x312x1,x2,x30解；（P）minQ=2x1-3x2+4x3X1+2x26s.

2、t -2x1-x3-12x1,x2,x30(D) maxR=6u1-12u2U1-2u22s.t 2u1-3-u24U1,u204.(P)maxQ=2.4x1+1.5x2X1+x2150s.t 2x1+3x22403x1+2x2300X1,x20解：（D）minR=150u1+240u2+300u3U1+2u2+3u3240s.t u1+3u2+2u31.5u1,u2,u30S.T 4X1+2X2120 X10 X205解设生产甲产品X1件，乙产品X2件则 MAX=3X1+4X2 X1+X26S.T X1+2X28X23 X1，X20七、计算题1.新建设一个工厂，有两个方案：一是建大厂，需要投

3、资300万元，二是建小厂，需要投资160万元。两者的使用年限10年，估计在此期间产品销路好的可能性为0.7，销路差的可能性为0.3，两个方案的年利润如图表示。问建大厂还是小厂？答：计算各方案收益期望值E1：建大厂：E1=100x0.7+（-20）x0.3x10=640（万元）640300=340建小厂：E2=40x0.7x10+10x0.3x10=310（万元）310160=150则，将计算机结果记在状态结点以及各方案枝下面。显然建大厂的收益大，故保留该方案枝，而将建小厂的方案枝剪掉。2、原题：目标函数解：标准形：maXS =6X1+4X2+0X3+0X4+0X5 xjXBCBcj常数列6 4

4、 0 0 0X1 X2 X3 X4 X50 X32 1 1 0 01 00 X43 3 0 1 0240 X50 1 0 0 17 4 0 0 0S0=0 X11 0 050 X40 - 1 090 X50 1 0 0 17错误！未找到引用源。0 1 -3 0 0S=306 X11 0 1 024 X20 1 -1 060 X50 0 1 110 0 -2 0S=36最优值为：maXS=6X1+4X2+0X5 =62+46+01 =363建立下列线性规划的对偶规划原规划：（P）minQ=5u1+6u2s.t对偶规划：（D）可以改写为：（P，）maXQ=8X1+9X2s.t4、目标函数maXS=

5、3X1+4X2解：标准化：maXS =3X1+4X2+0X3+0X4+0X5 X1，X2，X3，X4，X50单纯形表如下CBXBxjcj常数列6 4 0 0 0X1 X2 X3 X4 X5初始单纯数0 X31 1 1 0 060 X41 2 0 1 080 X50 1 0 0 133 4 0 0 0So=00 X31 0 1 0 -130 X41 0 0 1 -224 X20 1 0 0 13错误！未找到引用源。3 0 0 0 -4S1=120 X30 0 1 -1 113 X11 0 0 1 -224 X20 1 0 0 130 0 0 -3 2S=180 X50 0 1 -1 113 X1

6、1 0 2 -1 044 X20 1 -1 1 020 0 -2 -1 0S=20故：最优解为： X1=4 X2=2 X3=0 X40 X5=1最优值为：S=205.目标函数解：标准形：maXS =6X1+4X2+0X3+0X4+0X5 xjXBCBcj常数列6 4 0 0 0X1 X2 X3 X4 X50 X32 1 1 0 01 00 X43 3 0 1 0240 X50 1 0 0 17 4 0 0 0S0=0 X11 0 050 X40 - 1 090 X50 1 0 0 17错误！未找到引用源。0 1 -3 0 0S=306 X11 0 1 024 X20 1 -1 060 X50

7、0 1 110 0 -2 0S=36最优值为：maXS=6X1+4X2+0X5 =62+46+01 =366、车间生产金属丝，质量想来较稳定。按经验金属丝的折断力X服从正态分布，方差为，今从一批产品中随机抽取10根作折断力试验，结果为（单位kg）：578,572,570,568,572,570,572,596,584,570，问是否可以相信这批金属丝的折断力的方差也是64。（显著性水平 =0.05）解：根据题意（1）提出假设H0：2=64，H1：2（2）检验统计量=（3）拒绝域为(n-1)或(n-1)（4）根据样本观察值计算，并作判断经计算=575.2，(n-1)s2=681.6 =681.6

8、/64=10.65对于a=0.05，查分布表得(n-1)=(9)=19.023、 (n-1)=(9)=2.700，由于(9)(9)故接受H0，即这批金属丝的折断力的方差与64无显著差异。 =1.96因为=1.754=1.96，所以没有理由拒绝H0。即认为两种工序在装配时间之间没有显著差异。7、为了研究男女在生活费支出(单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：男学生：=520，=260；女学生：=480，=260。试以此为90%的置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间。解：根据自由度n1=25-1=24, n2=25-1=24,查F分布表，得有

9、(24,24)=(24,24)=1.98则(24,24)=(24,24)=0.505从而/的置信度为90%的置信区间为()=()=(0.47,1.84)8、求二项分布的方差。解：设Xb(n,p)则X可以写成n个均服从(0-1)分布的独立随机变量的和，即X=X1+X2+X3+Xn其中Xi服从(0-1)分布，分布律为X0 1 Pkq p D(Xi)=pq，i=1，2，nD(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3)+D(Xn)=npq9、某厂生产的乐器用一种镍合金弦线，长期以来其抗拉强度的总体均值为10560(kg/cm2)。今生产了一批弦线，随机抽取10根进行抗拉强度试验。测得其抗拉强度分别为：1

10、0512,10623,10554,10776,10707，10557，10581,10666,10670。设抗拉强度服从正态分布。问这批弦线的抗拉强度是否较以往生产的弦线抗拉强度要高？(显著性水平a=0.05)解：这是一个正态总体，抗拉强度XN(，2)，2未知，按题意：(1) 提出假设：H0：0=10560，H1：10560这是右侧检验问题。(2) 检验统计量用t(n-1)(3) 拒绝域：tta(n-1)(4) 根据样本观察值计算并作出判断=10631.4s=81.000=10560，查t分布表有ta(n-1)= t0.05(9)=1.8331于是=2.784.8t0.05(9)=1.8331

11、t的观测值落在了拒绝域内，故拒绝H0，即认为这批弦线的抗拉强度比以往生产的弦线强度要高。10、某公司为生产某种新产品而设计了两种基本建设方案，一个方案是建大厂，另一个方案是建小厂，建大厂需要投资280万元，建小厂需投资160万元，两者的使用期都是10年，无残值。估计在寿命期内产品销路好的概率是0.7，产品销路差的概率是0.3，两种方案的年度损益值如表15-1所示。试用决策树进行决策。 状态方案销路好销路差0.70.3建大厂100-20建小厂4030解：（1）首先根据资料画出决策树。 （2）计算各状态点的期望收益值。点2：1000.7+(-20)0.310-280=360万元；点3：(400.7

12、+300.3)10-160=210万元。将计算结果填入决策树中相应的状态点。（3）做出抉择。比较两个状态节点上的期望值，显然建大厂方案的期望值高于建小厂方案的期望值，因此应选择方案“建大厂”，将选择结果画在决策树上，剪去被淘汰的方案枝（在方案枝上记号“”），将选择的方案所可能带来的期望利润值填在决策点旁。11、求正态分布的数学期望。XN(，2)其密度函数为f(x)=，0，-+解：E(X)=，令，则E(X)=12、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求X的分布律。解：根据题意X的所有可能取值为0，1，2只须求出PX=0,PX=1,

13、 PX=2列成表格即可。 P0=P(X=0)=C313/ C315= P1=P(X=1)=C12 C23/ C315=P2=P(X=2)=C22 C113/ C315=可以看到 pk0，k=0,1,2， =1X的分布律如下表X0 1 2pk22/35 12/35 1/3513、对某型号飞机的飞行速度进行了15次实验，测得最大飞行速度(m/s)422.2,417.2,425.6,420.3,425.8,423.1,418.7,428.2,438.3,434.0,412.3,431.5,413.5,441.3,423.0。根据长期经验，可以认为最大飞行速度服从正态分布。试就上述试验数据，对最大飞行

14、速度的期望值进行区间估计(a=0.05)。解：用X表示最大飞行速度，则XN(，2)，这里2未知，故用(,)对总体均值进行区间估计 =(422.2+417.2+441.3+423.0)=425.0S2=(422.2-425.0)2+(417.2-425.0)2+ +(423.0-425.0)2=72.049s=8.488当a=0.05，根据P=0.025查t分布表得，2.1448，则有总体均值的置信区间为(,)=(425.0-2.1448,425.0+2.1448)=(420.3,429.7)故最大飞行速度的置信度为95%的置信区间为(420.3,429.7)。14、一种汽车配件的平均长度要求为

15、12cm，高于或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一个配件提供商提供的10个样本进行了检验，结果如下(单位：cm)：12.2 10.8 12.0 11.8 11.9 12.4 11.3 12.2 12.0 12.3 假定该供货商生产的配件长度服从正态分布，在0.05的显著水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？解：依题意建立如下原假设和备择假设：H0：=12，H1：12由于n30为小样本，采用t检验法计算检验统计量t=-0.7035。根据自由度n-1=10-1=9，查t分布表得=2.262，

16、由于=0.7035=2.262，所以不拒绝原假设，即认为该供货商提供的配件符合要求。t=这是右侧检验，拒绝域为t)。经计算=89.6,=88.0,=4.3,=5.5,=5,t=1.14,查t分布表，得=1.8595。15、设有甲乙两种零件，彼此可以代用，但乙零件比甲零件制造简单，造价低。经过试验获得抗压强度为（单位：kg/cm2）甲种零件：88,87,92,90,91乙种零件：89,89,90,84,88设两种零件的抗压强度均服从正态分布，方差相同，问甲种零件的抗压强度是否比乙种零件的抗压强度高？（a=0.05）解：设甲种零件的抗压强度XN(，)，乙种零件的抗压强度YN(，)由题设 未知。根据

17、题意需要检验H0：-0，H1：-0即，如甲种零件不比乙种零件的抗压强度高（H0成立），显然要生产乙种零件，但若甲种零件比乙种零件抗压强度高（H1成立），为了保证质量，要生产甲种零件。选用统计量t=这是右侧检验，拒绝域为t)。经计算=89.6,=88.0,=4.3,=5.5,=5,t=1.14,查t分布表，得=1.8595。t，t的观察值没有落在拒绝域内，故接受H0，即认为甲种零件的抗压强度并不比乙种零件的抗强度高。16、从自动机床加工的同类零件中，随机地抽取16件，测得长度为(单位mm)：12.15 12.12 12.01 12.28 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06

18、 12.1312.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06求该类零件长度的方差2及标准差的区间估计(a=0.05)。解：设该类零件长度为随机变量X，可以认为XN(，2)，2为待估参数。经计算，有=12.08(n-1)S2=0.0761查分布表得 (n-1)=(15)=27.488 (n-1)=(15)=6.262则2的置信度为95%的置信区间为 =()=(0.0027,0.0121)则的置信度为95%的置信区间为：(0.052,0.110)。17、某企业下半年劳动生产率资料如表1所示，计算平均月劳动生产率和下半年平均职工劳动生产率。表1 某企业下半年劳动生产率资料6月7

19、月8月9月10月11月12月a：总产值/万元879194961029891b：月末职工人数/人460470480480490480450c：劳动生产率/(元人-1)1948195719792000210320211957解：从表121中可以看到，劳动生产率的分子总产值是时期指标，分母职工人数是时点指标，计算平均月劳动生产率应用下列公式： =代入表中资料，有 = =2003.5元/人若计算下半年平均职工劳动生产率，则有两种计算形式。一种是用下半年平均月劳动生产率乘月份个数n，即n=2003.56=12021元/人，另一种则采用下列公式计算： =代入表中资料有 = =12021元/人18、设总体的

20、均值和方差都存在，证明简单随机样本的均值和方差分别是总体的均值和方差的无偏估计量。证明：设总体X的均值E(X)=，方差D(X)= 2 ，X1，X2，X3，Xn为来自总体X的样本，因为Xi与X同分布，所以E(Xi)=，D(Xi)= 2 ，E(Xi2)=D(Xi)+E2(Xi)，故E()= E=nE(X)=E(X)=E(S2)= E=E=E=nD(X)+E2(X)-nD()+E2()因为E()=E(X)=，D()=D(X)/n所以 E(S2)=n(2+2)-n(2/n+2)=(n2-2)=219、设离散随机变量X的分布率如表1所示。表1X0 1 2Pk1/3 1/6 1/2 求X的分布函数，并求PX1/2，P1X3/2，P1X3/2。解：当x0时，F(x)=PXx=0 当0x1时，F(x)=PXx=1/3 当1x2时，F(x)=PXx=1/3+1/6=1/2 当x2时，F(x)=PXx=1/3+1/6+1/2=10，x01/3，0x1故 F(x)= 1/2，1x2 1，x2F(x)的图像如图所示。PX1/2=1/3P1X3/2=F(3/2)F(1)=1/21/20