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1、函数函数极限极限延续延续第一章 函数、极限与延续1.1.函数的定义函数的定义记记作作的的函函数数，是是对对应应，则则称称则则总总有有确确定定的的数数值值和和它它按按照照一一定定法法，变变量量集集如如果果对对于于每每个个数数是是一一个个给给定定的的数数是是两两个个变变量量，和和设设定定义义)(xfyxyyDxDyx 叫叫做做因因变变量量叫叫做做自自变变量量，叫叫做做这这个个函函数数的的定定义义域域数数集集yxD.),(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyW 例例.)16(log2)1(的定义域的定义域求函数求函数xyx 解解, 0162 x, 01 x

2、, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即(1) 函数的有界性函数的有界性:;), 0()0 ,(上上无无界界及及在在 .), 11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 再如再如2.2.函数的性质函数的性质(2) 函数的奇偶性函数的奇偶性:有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD ;)()()(为为偶偶函函数数称称xfxfxf ;)()()(为为奇奇函函数数称称xfxfxf 偶函数偶函数xyoxy 奇函数奇函数yxo3xy (3) 函数的单调性函数的单调性: 设函数f(x)的定义域为D，区间I D，假设对于区间I上恣意两点 及 ，当 时，

3、恒有： (1) ,那么称函数 在区间I上是单调添加的；或(2) , 那么称函数 在区间I上是单调递减的；单调添加和单调减少的函数统称为单调函数。1x2x21xx )()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0时为减函数时为减函数当当 x;0时为增函数时为增函数当当 x(4) 函数的周期性函数的周期性:如如等。的周期为；的周期为；的周期为32)62sin(cot,tan2cos,sinxxxxx3.3.反函数反函数反函数与直接函数之间的关系反函数与直接函数之间的关系1()()yfxyfxyx与的 图 像 关 于 直 线对 称4.4.隐函数隐函数.)(0),(称为隐函数

4、称为隐函数所确定的函数所确定的函数由方程由方程xfyyxF 0 xyey如如5.5.根本初等函数根本初等函数1幂函数幂函数)(Rxy2指数函数指数函数)1, 0( aaayx3对数函数对数函数)1, 0(log aaxya4三角函数三角函数;sin xy ;cosxy ;tan xy ;cot xy 5反三角函数反三角函数;arcsin xy ;arccos xy ;arctan xy arccot .yx6.6.复合函数复合函数222ln4cos ln(4)ln(4cos)yuuvvxyxyvx例 已知，,， 将 表示成 的函数。 解cot23(1)5 (2)log (1) (3)sinxa

5、xyyxy例 指出下列复合函数的结构。2 (1)5 cot (2) log 1 (3) sin 3uawyuxyuuvvxyuuvvewx解7.7.初等函数初等函数 由常数和根本初等函数经由常数和根本初等函数经过有限次四那么运算和有限次过有限次四那么运算和有限次复合步骤所构成并可用一个式复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。子表示的函数，称为初等函数。53coslnxy xxxxyxsec) 13(log5323如如前往1.1.数列极限的定义数列极限的定义2.2.函数极限的定义函数极限的定义左极限左极限右极限右极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作

6、.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理极限为零的变量称为极限为零的变量称为).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记记作作绝对值无限增大的变量称绝对值无限增大的变量称为为).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记记作作在同一过程中在同一过程中, ,无穷大量的倒数为无穷小量无穷大量的倒数为无穷小量; ;恒恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量不为零的无穷小量的倒数为无穷大量. .无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系3.3.无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量无穷小量.无穷大

7、量无穷大量.性质性质1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.性质性质3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质性质性质2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的乘积仍有限个无穷小的乘积仍是无穷小是无穷小.);(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就

8、说说如如果果 CC;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地无穷小的比较无穷小的比较定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 24.4.极限的四那么运算法那么极限的四那么运算法那么(1)1sinlim0 xxx(2)e

9、xxx )11(limexxx 10)1(lim5.5.两个重要极限两个重要极限2222000202sinsin1 cos122 (1)limlimlim22sin112 lim222xxxxxxxxxxxx解25201 cos1 1 lim (2)lim(1)xxxxxx例求极限：( )2525252111(2)lim(1)lim(1)(1)11 lim (1)lim(1) xxxxxxxxxxxxe6.6.求极限的常用方法求极限的常用方法1、多项式与分式函数代入法求极限、多项式与分式函数代入法求极限;2、消去零因子法求极限分解因式或、消去零因子法求极限分解因式或有理化有理化;3、 x或或n

10、趋于无穷大时的极限趋于无穷大时的极限 ，分子分，分子分母同除最高母同除最高 次幂法或用有理分式极限次幂法或用有理分式极限结论；结论；4、运用重要极限求极限、运用重要极限求极限;5、利用无穷小运算性质求极限、利用无穷小运算性质求极限;6、察看法、察看法7、利用左右极限求分段函数极限、利用左右极限求分段函数极限;前往定义定义1 1 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, ,如果当自变量的增量如果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的函数对应的函数的增量的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx那

11、末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连的连续点续点. .1.1.延续的定义延续的定义).()(lim200 xfxfxx 定义定义定理定理.)()(00既既左左连连续续又又右右连连续续处处在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 3.3.延续的充要条件延续的充要条件2.2.单侧延续单侧延续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf

12、:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf4.4.延续点的定义延续点的定义(1) 腾跃延续点腾跃延续点.)(),0()0(,)(0000的的跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如

13、果果xfxxfxfxxf (2)可去延续点可去延续点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 5.5.延续点的分类延续点的分类腾跃延续点与可去延续点统称为第一类延续点腾跃延续点与可去延续点统称为第一类延续点.特点特点: :.,0右极限都存在右极限都存在处的左处的左函数在点函数在点x第一类延续点第一类延续点腾跃型腾跃型0yx0 x可去型可去型0yx0 x0yx振荡型振荡型第二类延续点第二类延续点无穷型无穷型0yx0 x第二类延续点第二类延续点.

14、)(,)(00类类间间断断点点的的第第二二为为函函数数则则称称点点至至少少有有一一个个不不存存在在右右极极限限处处的的左左在在点点如如果果xfxxxf.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 6.6.闭区间的延续性闭区间的延续性7.7.延续性的运算性质延续性的运算性质定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 定理定理1

15、 1 严厉单调的延续函数必有严厉单调的延严厉单调的延续函数必有严厉单调的延续反函数续反函数. .定理定理2 2).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若8.8.初等函数的延续性初等函数的延续性.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3定理定理4 4 根本初等函数在定义域内是延续的根本初等函数在定义域内是延续的. .定理定理5 5 一切初等函数在其定义区间内都是延续的一切初等函

16、数在其定义区间内都是延续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9.9.闭区间上延续函数的性质闭区间上延续函数的性质定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上延续在闭区间上延续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值. .定理定理 3(3(零点定理零点定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，且上连续，且)(af与与)(bf异号异号( (即即0)()( bfaf),),那末在开区间那末在开区间 ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零点点, ,即至少有一点即至少有一点 )(ba ，使，使0)( f. .定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上延续的函数一定在闭区间上延续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .推论推论 在闭区间上延续的函数必获得介于最在闭区间上延续的函数必获得介于最大值大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.定理定理 4(4(介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭