(整理)《经济数学基础》主要公式.

1、精品文档经济数学基础主要公式一、两个重要极限sin xx lim 1 ,或 lim 1 ；x 0 xx 0 sin x它的推广形式：lim snu(x) 1,(其中u(x) 0) u(x)_1.1 x lim(1 x) e,或!im(1 -)e；它的推广形式：若 u(x) 0 且 lim u(x)v(x) A,则 lim1 u(x)v(x) eA。常用的等价无穷小量u(x) 0时，sin u(x) u(x)、tan u(x) u(x)、eu(x) 1u(x)、ln 1 u(x) u(x)、y/u(x) a u(x) (a 0) 2a、导数及微分1.导数的定义f(x0 x) f(x0)f (x)

2、 f(x0)f (x0)lim , f (x0) limx 0xx x0x x0记作：f (x), y ,曳，旦 f (x)dx dx在函数f(x)任意一点x导数的定义：f (x) lim f(x x) f(x)x 0xf (x) lim f(x h) f(x)h 0h2.微分的定义3.导数及微分主要公式:1(C)0;12 (x ) x ；3 . (ax)axln a特别地(ex) exdy ydx f (x)dxdC 0 ( C为任意常数)一1 .d(x ) x dx (为任息实数)x x.da a ln adx (a 0, a 1)dex exdx精品文档4 (lOgaX)特别地(ln x

3、)1x ln a1d(lOga X)d(ln x)dx xln a1dx xa 0, a 1)5 . (sin x)cosxd (sin x)cosxdx6 . (cosx)sin xd (cosx)sin xdx7 . (tan x)2 sec x8 . (cot x)2 csc x2 cos x12-sin xd (tan x)sec xdx4.复合函数求导法则:若函数u u(x)在点x可导，函数y点x可导，且:dydxd (cot x)csc2 xdx12- cos x1dx.2 sin一 dx xf (u)在点u处可导,则复合函数yf (u(x)在或记作f(u(x)f (u(x)u(x

4、)5.常用的复合函数求导公式:1 (u(x) (u(x)(x)(au(x) au(x) ln a u(x)(log a u(x)u(x) ln asin( u(x) cos(u(x)6.求导与微分的基本法则u(x), v v(x) , w(au bv) au bv ；(u v) u v uv ；ux u v uv(-)2；v v一，1特别地：(1) vv .2 ，vdyduduu u(x0) dx(为常数)u (x)u (x)特别地：(e ) e(x)特别地：(ln u(x)u (x)1u (x) u(x)u(x)； cos(u(x) sin(u(x) u (x)w(x)均可微；a, b是任意

5、常数，则d(au bv) adu bdvd (u v) vdu udvd(u) vd(1)vvdu udv2vdv2v4 . (uvw) u vw uv w uvwd (uvw)vwdu uwdv uvdw7.隐函数的导数设方程F(x, y) 0确定隐函数y y(x),求y (或y x % )的步骤： y y1 、方程F(x, y) 0两边同时对x求导数，求导过程中视y为中间变量，得到含有y 的一个方程；2、从上述方程中解出 y(或将x xo,y y代入上述含有y的方程，化简并解出 y x为) y y8 .曲线y f(x)在点(, y0)处的切线方程y yo f (xo)(x xo)9 .导数

6、的应用(1)单调性1 .设函数y f(x)在区间I上(内)连续，在I内f (x) 0,则函数f(x)在区间I 上(内)单调增加；2 .设函数y f(x)在区间I上(内)连续，在I内f (x) 0,则函数f(x)在区间I 上(内)单调减少。(2)极值点与极值设函数y f (x)在点x0连续，x是x0附近的任一点，且 x xO,1 .若在x0两侧附近均有f(x) f(x0),则称f(%)是函数f(x)的极大值，x0为极 大值点；2 .若在x两侧附近均有f (x) f(x0),则称f(%)是函数f(x)的极小值，x0为极 小值点；极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。(3)极值点

7、的判定1 .极值点的必要条件：函数的极值点必为驻点或不可导点；(注：若f (x0) 0 ,则称x0为f (x)的一个驻点。)2 .充分条件：若函数f (x)在点x0连续，在xO两侧附近f (x)的符号相异，则x0必为 f(x)的极值点，否则一定不是f (x)的极值点，并且当f (x)在的左侧为负右侧为正时，x0为极小值点；当f (x)在x的右侧为负左侧为正时，xO为极大值点。(4)凹凸性设设函数y f(x)在区间(a, b)上二阶可导，1 .若在(a, b)内f (x) 0 ,则曲线y f(x)在(a, b)内是凹的；2 .若在(a, b)内f(x) 0,则曲线y f (x)在(a, b)内是

8、凸的；MC (x)；MR(x)；ML(x)ox0,如果(5)经济函数的导数称为它们各自的边际函数1 .边际成本：成本函数 C(x)对产量x的变化率C (x)称为边际成本，记成2 .边际收入：收入函数 R(x)对产量x的变化率R(x)称为边际成本，记成3 .边际利润：禾1J润函数 L(x)对产量x的变化率L (x)称为边际成本，记成(6)设需求函数q q(p),则需求量q对价格p的弹性Eq(p) p-q(p)q( P)(7)设函数y f (x)在区间I上连续，在I内可导，并且在I内有唯一驻点x0是函数f(x)的极小(大)值点，则 x0必是f(x)的最小(大)值点。三、不定积分与定积分1 .不定积

9、分2 .如果f(x)可导，则f (x) dx f (x) c3 .如果f(x)存在原函数，则f(x)dx f(x)4 . kf (x)dx k kf (x)dx5 . f1(x) f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx6 .常用的不定积分公式：1 . kdx kx c;c11/八2 . x dx x c (1)；113 . dx ln x c;x4 . axdx -ax c (a 0, a 1)； ln axx5 . e dx e c ,6 . sin xdx cosx c ；7 . cosxdx sin x c;8 . In xdx xln x x c ;9 .常用的不定积分推广公式(即

10、第一换元法)b)，1，(ax b) dx (axa( 1)1ax b1 dx ln ax b(a 0);ax .e dxa1 ax-e a0);sin(axb)dxcos(axb)dx1,.一 cos(ax I a1sin(ax b) ab)0);0)。10 第一换元法的常用类型:1 u(x)u(x)dx u(x)1)；一u (x)dx ln u(x) u(x)u(x)u(x)11 . e u (x)dx e c ；4 . sinu(x)u (x)dxcosu(x) c;cosu(x)u (x) dx sin u(x)12 分部积分公式为：P(x)Fdx P(x)F(x) F(x)P (x)d

11、x分部积分的常用类型为： ax ,1 . x ln xdx12 , xe dx a 03 . xcosbxdx b 06.推广的分部积分公式为：4 . xsinbxdx b 0(1)n Pn(x)Fn(x)dxP(x)f (x)dx P(x)Fi(x) P(x)F2(x)其中Fi(x)为f (x)的任一原函数，Fi i(x)为Fi(x)的任一原函数，P i (x)为P(x)的i阶导数。当n 2时，上述推广公式为P(x)f(x)dx P(x)Fi(x) P(x)F2(x) P (x)F3(x) c可以列表为:P(x) P (x)P (x)f (x)Fi(x)F2(x)0F3(x)7.定积分b1

12、. f(x)dxab2 . f(x)dxacf(x)dxabf (x)dx ;cf (x)dxb3 . Cf1(x) k2 f2(x)dx aaaki b fi(x)dx k2 b f2(x)dx ;4 .逐段连续奇函数在对称区间上的定积分等于0 ,即f(x)dx5 .逐段连续偶函数在对称区间上的定积分等于一半区间上定积分的二倍，即aa f(x)dxa2 0 f(x)dx8 .定积分在几何中的应用由曲线yf(x), y g(x)与直线x a, x b围成平面图形面积的计算公式为b A f (x) g(x)dx a9 .数值积分1 .数值积分的梯形公式及计算；f (x)dxf (Xo)2f (X

13、i) f(x2) L2 .数值积分的抛物线(Simpson)公式及计算。bhf(x)dx h f (Xo) 4f(xJ f(X3) Lf(xm)a33.无穷限广义积分的两个重要类型f(Xm) f(Xn)2f(X2) f(X4) Lf(Xn2) f(A)(1)1dx (a 0) a x当1时发散，当，、一111时收敛，并且 dx a x (1)a 1(2) 0 xne pxdx (n N)当p 0时发散，当p 0时收敛，并且xne pxdx0n!四、线性代数1 .矩阵的转置，设矩阵 A (aj)mn,则AT (aji)nm2 .矩阵乘法的运算规律：EA A , AE A ; A(B C) AB

14、AC ； (A B)C AC BC。3 .矩阵转置的运算规律，(AT)TA； (AB)TATBT； (A)TAT；(AB)T BTAT o4 .设A、B为可逆矩阵，则5 .(A 1) 1 A1 .当常数k 0时，(kA) 1 A 1 ； k1 T T 1 .(A ) (A )；.(AB) 1 B 1A 1 (反序性)。5 .线性方程组 AX b有解的充分必要条件是增广矩阵的秩与系数矩的秩相等，即 r(A) r(A)；6 .如果线性方程组 AX b有解，记r r(A) r(A), n为未知数个数，则当r n, 时，线性方程组 AX b有唯一解；当r n时，线性方程组 AX b有无穷多个解，解中包 含n r个自由未知数；7 .对于齐次方程组 AX 0必有解，且当r r(A) n,有唯一零解；当r n时，有 无穷多个解，因此必有非零解；8 .行简化的阶梯形矩阵：如果矩阵A满足以下条件，称为行简化的阶梯形矩阵， .A是阶梯