D88极值与最值PPT学习教案

1、会计学1D88极值与最值极值与最值(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 第1页/共30页函数偏导数,证证:0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值 ,取得极值取得极值且在该点取得极值 ,则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共30页说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例

2、如,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.yxz 驻点驻点极值点极值点第3页/共30页的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且令若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共30页时, 具有极值则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.02 BAC02 BAC02 BAC第5页/共30页求函数解解: 第一步第一步

3、求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .解方程组),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值.xyxyxyxf933),(2233机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共30页第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;ABC求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0A第7页/共30页在点(3,0) 处不是极值;,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f在点(1,2) 处不是极值;6,0,12C

4、BA)2, 1 (f,0)6(122 BAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyyABC第8页/共30页在点(3,2) 处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0AABC第9页/共30页求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二

5、阶偏导数的值 A、B、C. 第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.第10页/共30页函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共30页 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点P 时, )(Pf为极小 值)(Pf为最小 值( (大大) )( (大大) )第12页/共30页解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2Ayx

6、yxy2yxx2yxyx22200yx3m机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共30页令得驻点根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,0)(222xxyA0)(222yyxA因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.)2,2(33323222233第14页/共30页极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共30页方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题例如 ,二元函数为转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yx

7、fz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz第16页/共30页求表面积为a2而体积最大的长方体体积。则问题为求x , y ,解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下体积最大.z 使在条件22ayzxzxyyzxv机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ayzxzxyyxxya22z2代入体积式中yzxvyxxyayx22v2第17页/共30页,0),(下在条件yx如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因

8、0yxyxffyyxxff故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共30页引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共30页拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共30页

9、解方程组可得到条件极值的可疑点 . 021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F第21页/共30页求表面积为a2而体积最大的长方体体积。则问题为求x , y ,解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,z 使在约束条件02yx,2ayzxzxy的最大值求函数0, 0, 0vzyxyzx机动 目录 上页 下页 返回 结束 构造辅助函数zy,x,F2222ayzxzxyxyz第22页/共30页zy,x,F2222ayzxzxyxyz分别对x,y,z求偏导,并令其为0020202022ayzxzxyxyxyzxxzzyyzazyx663366va第23页/共30页求原

10、点到曲面解解: 曲面外一点到曲面的距离-该点到曲面上各点的距离的最小值约束条件01-z-, yx,22yxz的最小值求函数222Lzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 构造辅助函数zy,x,F的距离122zyx的最小值222Lzyx122222zyxzyx第24页/共30页解方程组022yxxFx022yxyFy0z2-2zzF01221zyxFzy,x,F122222zyxzyx10或z时当1由前两个方程得0 yx由第4个方程得-1z2第25页/共30页解方程组022yxxFx022yxyFy0z2-2zzF01221zyxF10或z时当0z 由第4个方程得1-2yx由前俩个方程得xy，02121-021-2122L第26页/共30页1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 ., ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共30页2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法(2) 一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函