D125幂级数的应用PPT学习教案VIP

1、会计学1D125幂级数的应用幂级数的应用)11(432)1ln(432xxxxxx2ln的近似值 ,使准确到.104解解: 已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有用此式求 ln2 计算量大第1页/共21页9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展开式中取前四项, 第2页/共21页xx11ln中,令121nx53

2、)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n为自然数) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx第3页/共21页753)20(!71)20(!51)20(!312020sin,!3sin3xxx求9sin误差. 解解: 先把角度化为弧度9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin的近似值 , 并估计918

3、02015643. 0第4页/共21页( 取 xxde21201的近似值, 精确到)56419. 01解解:1e2x!) 1(20nxnnn)(xxxde22210 xd2210 !) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0!) 1(2nnn 1221n) 12(n第5页/共21页!3721!252132111642xdx221e20!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn则 n 应满足4nxxde22120则所求积分近似值为欲使截断误差5205. 0,4n取第6

4、页/共21页xxxdsin10的近似值, 精确到.104解解: 由于, 1sinlim0 xxx故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167. 005556. 01上连续, 且有幂级数展开式 :!7714103 . 03528019461. 0第7页/共21页),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf202010)()(xxaxxayy代入原方程, 比较同次幂系数可定常

5、数 ,21naaa由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为幂级数解法本质上就是待定系数法 nnxxa)(01. 一阶微分方程的情形一阶微分方程的情形第8页/共21页2yxy求方程解解: 根据初始条件, 设所求特解为nnxaxaxay221代入原方程, 得.00的特解满足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比较同次幂系数, 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解的幂级数前几项为 5220121xxy第9页/共21页0)()( yxQyxPy定理定理:nnnxay0则在

6、R x 4 时,111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n第11页/共21页因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!1e0nnxxn)211e(2xxxyx注意到:此题的上述特解即为第12页/共21页)i(1nnnvu 则称 收敛收敛 , 且其和为)i(1nnnvu 绝对收敛,1nnu)i(1nnnvu 收敛 .,1uunn,1vvnn若nnnvui1.ivu 221nnnvu 收敛,若对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv1nnv绝对收敛则称 绝对收敛绝对收敛. 由于, 故知 欧拉 第13页/共21页yxzi的指数函数为)(!1!211e2zznz

7、znz易证它在整个复平面上绝对收敛 .当 y = 0 时, 它与实指数函数xe当 x = 0 时,nyynyyy)(i!1)(i!31)(i!21i1e32innynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyysini的幂级数展式一致.第14页/共21页xxxsinicoseixxxsinicosei（欧拉公式）xcos（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyOyxziyxzisinicos rier则xsin欧拉 2eeiixx2eeiixx第15页/共21页据此可得n)sini(cosnnsinicos(德

8、莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法, 不难验证2121eeezzzz特别有yx ie)sin(coseyiyx),(Ryxyx ieyxiee )sini(coseyyxxerxxyyOyxzi第六节 yxzisinicos rier作业作业 P291 1 (2); 3(1),(3); 4(1)第七节 第16页/共21页! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 验证函数)(x满足微分方程;exyyy (2) 利用(1)的结果求幂级数! )3(30nxnn的和. (2002考研) 解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(

9、13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn第17页/共21页!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足xyyye , 1)0(y0)0( y其特征方程:,012 rr特征根:i23212, 1r齐次方程通解为)23sin23cos(e2121xCxCYx设非齐次方程特解为,exAy 代入原方程得,31A故非齐次方程通解为第18页/共21页xe31)23sin23cos(e2121xCxCyx代入初始条件可得0,3221CC故所求级数的和)(e3123cose3221xxxx! )3(30nxnn第19页/共21页瑞士数学家. 他写了大量数学经典著作, 如无穷小分析引论 , 微 还写了大量力学, 几何学, 变分法教材.