高等数学基础形成性考核册及答案.docx

1、高等数学基础第一次作业第1章函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等A.f (x)(x ) 2， g( x)xB.f (x)x2， g( x)xC. f (x) ln x3 ， g ( x) 3 ln xD. f (x)x 1 ， g( x)x21x1设函数 f (x) 的定义域为 ( ,) ，则函数f (x)f ( x) 的图形关于（ C）对称A.坐标原点B.x 轴C.y 轴D.yx下列函数中为奇函数是（B ）A.yln(1x 2 )B.yxcos xC.ya xaxD.yln(1x)2下列函数中为基本初等函数是（C）A.yx1B.yxC.yx 2D

2、.y1 ,x01 ,x0下列极限存计算不正确的是（D ）A.limx21B.lim ln(1x)0x22xx0C.lim sin x0D.lim x sin 10xxxx当 x0 时，变量（C ）是无穷小量A.sin xB.1xx1C.D.ln( x2)xsinx若函数 f (x) 在点 x0 满足（ A），则 f ( x) 在点 x0 连续。A.limf (x)f (x0 )B.f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义x x0C.limf (x)f (x0 )D.limf (x)lim f ( x)x x0xx0x x0（二）填空题函数 f ( x)x29ln(1x) 的定义域是 （3，

3、+)x 3x 2x2 - x已知函数 f ( x 1)x ，则 f ( x) lim (11 ) xe1/ 2x 2 x1若函数 f (x)(1x) x, x0 ，在 x0 处连续，则 kexk ,x0x 1 , x 0的间断点是 x=0 函数 y0sin x , x若 lim f ( x)A，则当 xx0 时， f ( x)A 称为无穷小量x x0（三）计算题设函数f ( x)ex ,x0求： f (2) , f (0) ,f (1) x ,x0解： f(-2) = -2 ， f(0)= 0 ， f(1) = e求函数 y lg lg 2x 1的定义域x2x1，函数定义域为 (-， 0) (

4、1/2， +)解：由0 解得 x1/2x在半径为 R 的半圆内内接一梯形， 梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，b试将梯形的面积表示成其高的函数解：如图梯形面积A=(R+b)h ，其中 bR2h2h RA( RR2h2)hRR3 sin 3xlim sin 3x3求lim3xx0 sin 2xx0sin 2x22x22xlim1limx1( x1)21)1)x1 sin( xx1 sin( x求limtan 3xlim 3 sin 3x cos3x3求x0xx03xlim1 x21( 1 x21)( 1 x21)求sin xlim2x0x0(1x1) sin xlim(

5、1 x2 ) 1limxxx2x20x0(11) sin xx011 sin x求lim ( x 1) xlim ( x34) xlim (14 ) xxx3xx3xx34x34求2(1)4 4limx6x8limlim( x2)( x34)2ex2x3x 45x 4 xx 4 ( x 1)( x 4)3(14设函数x3( x2)2 ,x1f ( x)x ,1x1讨论 f (x) 的连续性，并写出其连续区间x1 ,x1解：limf ( x)(12)21limf ( x)1x1x1limf ( x) 1f (1)函数在 x=1 处连续f ( x) 1 1 0limf ( x)1limx1x1x1

6、lim f ( x)不存在，函数在x=-1处不连续x 1高等数学基础第二次作业第 3 章导数与微分（一）单项选择题设 f ( 0) 0 且极限 limf (x) 存在，则 lim f ( x)（B）x 0xx 0xf (0)f (0)A.B.C.f (x)D.0设 f ( x) 在 x0 可导，则 limh0A. 2 f (x0 )C. 2 f (x0 )设 f ( x)ex ，则 limf (1x0A. ef ( x02h)f ( x0 ) （ D）2hB.f ( x0 )D.f ( x0 )x) f (1)（A ）xB. 2eC.1D.1ee24设 f ( x) x(x 1)( x2) (

7、 x99) ，则 f (0)（D）A.99B.99C.99!D.99!下列结论中正确的是（C ）A.若 f ( x) 在点 x0 有极限，则在点x0 可导B.若 f (x) 在点 x0 连续，则在点x0 可导C. 若 f ( x) 在点 x0 可导，则在点 x0 有极限D. 若 f ( x) 在点 x0 有极限，则在点x0 连续（二）填空题设函数 f (x)x2 sin 1 ,x0x，则 f (0)0 0 ,x0设 f (ex ) e2 x5ex ，则 d f (ln x)(2/x)lnx+5/x dx曲线 f ( x)x 1在 (1, 2) 处的切线斜率是1/2曲线 f ( x)sin x

8、在 (y=1, 1) 处的切线方程是4设 yx2 x ，则 y2x2x(lnx+1) 设 yxln x ，则 y1/x （三）计算题求下列函数的导数y ： y(x x 3)ex y=(x 3/2+3)ex，y=3/2x1/2ex+(x 3/2+3)ex =(3/2x1/2+x3/2+3)ex y y y y y ycot xx 2 ln xy=-csc2x + 2xlnx +xx 2y=(2xlnx-x)/ln 2xln xcos x2 xy=(-sinx+2 xln2)x 3-3x2(cosx+2x)/x 6x3ln xx2=(12x)sin x (ln x x2)cos xxsin xsi

9、n2 xx4sin x ln xy=4x3-cosxlnx-sinx/xsin xx 2y=(cosx+2x)3 x-(sinx+x 2)3x ln3/32x3 x=cosx+2x-(sinx+x 2)ln3/3 x y ex tan x ln x y=extanx+ex sec2x+1/x = ex(tanx+sec2x)+1/x 求下列函数的导数 y ： ye 1 x2 y ln cos x3yxx xy=x 7/8y=(7/8)x -1/8y3 xxycos2 exycosex2ysin nxcos nxy=nsinn-1xcosxcosnx - nsinnxsin nxy 5sin x

10、2y esin 2 xyxx2x2eyxexexe在下列方程中，yy( x) 是由方程确定的函数，求y ： y cos xe2 y y cos y ln xx 2 2 x sin yy2y方程对 x 求导： ycosx-ysinx=2 ye方程对 x 求导： y = y (-siny)lnx +(1/x)cosy y =(1/x)cosy / (1+sinylnx)方程对 x 求导： 2siny + y2xcosy=(2xy-x2 y)/y 2y =2(xy y2siny) /(x 2+2xy2cosy) yxln y方程对 x 求导： y=1+ y /y， y =y /(y-1) ln xe

11、 yy 2方程对 x 求导： 1/x+ y ey=2y y， y =1/x(2y-ey) y 21ex sin y方程对 x 求导： 2y y =exsiny + y excosyy = exsiny/(2y- excosy) eyexy 3方程对 x 求导： yey =ex -3y2 y， y =ex/ey+3y2 y 5x2 y方程对 x 求导： y=5xln5 + y 2yln2， y=5xln5 /(1-2 yln2)求下列函数的微分d y ：ycot xcscxln xysin xy arcsin1x1xy31x1x2xysine3ytan ex求下列函数的二阶导数： y x ln

12、x y x sin x y arctanx y 3x2（四）证明题设 f (x) 是可导的奇函数，试证 f ( x) 是偶函数证明：由 f(x)= - f(-x) 求导 f(x)= - f (-x)(-x) f (x)= f (-x)， f(x)是偶函数高等数学基础第三次作业第 4 章导数的应用（一）单项选择题若函数 f (x) 满足条件（ D ），则存在(a , b) ，使得 f (f (b)f ( a)A. 在 (a , b) 内连续baB. 在 (a , b) 内可导C. 在 (a , b) 内连续且可导D. 在 a , b 内连续，在 (a , b) 内可导函数 f ( x)x 24x

13、1 的单调增加区间是（D）A.( ,2)B.(1, 1)C.(2,)D.(2,)函数 yx24 x5在区间 (6, 6)内满足（ A ）A.先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升函数 f ( x) 满足 f( x)0 的点，一定是f ( x) 的（ C）A.间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点设 f ( x) 在 (a , b) 内有连续的二阶导数，x0( a, b) ，若 f ( x) 满足（ C ），则 f ( x) 在 x0 取到极小值A. f (x0 )0, f ( x0 )0B. f (x0 )0 , f ( x0 )0C. f (x0 )0 ,

14、 f ( x0 )0D. f (x0 )0 , f ( x0 )0设 f ( x) 在 (a , b) 内有连续的二阶导数，且f (x) 0,f ( x)0 ，则 f (x) 在此区间内是（A）A.单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的设函数 f (x)ax3(ax) 2axa 在点 x1处取得极大值2 ，则 a（）A.1B.13C.0D.13（二）填空题设 f ( x) 在 (a , b) 内可导， x0(a , b) ，且当 x x0 时 f ( x)0 ，当 xx0 时 f ( x) 0，则 x0 是f (x) 的极小值点若函数f (x) 在点

15、 x0 可导，且 x0 是 f (x) 的极值点，则f (x0 )0函数 yln(1x2 ) 的单调减少区间是(-， 0) 函数 f ( x) ex2的单调增加区间是(0， +) 若函数 f (x) 在 a , b 内恒有 f (x)0 ，则 f (x) 在 a , b 上的最大值是f(a)函数 f ( x) 25x3x 3 的拐点是x=0若点 (1, 0) 是函数 f ( x) ax3bx 22 的拐点，则 a， b（三）计算题3( x 5) 2 的单调区间和极值求函数 y ( x 1) 22解： y =(x-5) +2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)列表x(-， 1)1(1，

16、5)5(5， +)y+00+yY max=32Ymin =0(- ， 1)和 (5，+)为单调增区间，(1， 5)为单调减区间，极值为Y max =32， Y min=0。求函数 y3 ( x 22x) 2 在区间 0, 3 内的极值点，并求最大值和最小值解： y =2x-2 ，驻点 x=1 是极小值点，在区间0， 3上最大值为y(3)=6 ，最小值为y(1)=2 。x0(0，1)1(1，3)3y-0+y326试确定函数 y ax 3bx2cxd 中的 a , b , c , d ，使函数图形过点 ( 2, 44) 和点 (1,10) ，且 x2 是驻点， x 1是拐点求曲线 y22x 上的点

17、，使其到点 A( 2 , 0)的距离最短解：曲线 y2=2x 上的点 (x，y)到点 A(2 ，0)的距离 d(x2) 2( 2x 0) 2d 2= x2-2x+4 ，( d 2 )=2x-2 ，由 (d 2) =0 求得 x=1，由此得所求点有两个：(1, 2) , (1,2)圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？R解右图为圆柱体的截面，由图可得 R2=L 2 -H2圆柱体的体积222V=RH= (L -H )HLH22)，由 V =0 解得 H3V = (L-3HL ，3此时 R6 L ，圆柱体的体积 V2 3L3 最大。39一体积为 V

18、的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：圆柱体的表面积2S=2R+2 RH22由体积 V=RH解得 H=V /R2 S=2R+2V/R232=2(2S =4 R- 2V / RR-V) /R由 S=0 解得 RV，此时 HV 4 28V33V 232R22答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。RH欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底面边长为a 高为 h表面积 S=a 2+4ah a 2h =62.5， h =62.5/ a 2S=a 2+250/a， S =2a - 250/a 2 =(2a 3 250)/a 2，由 S =0

19、 解得 a =5m， h =2.5m，此时 S=75m2 最小，即用料最省。a h从面积为 S 的所有矩形中，求其周长最小者从周长为 L 的所有矩形中，求其面积最大者（四）证明题当 x0时，证明不等式 xln(1x) 证明：令 f(x)=x-ln(1+x) ， f(x)=1-1 / (1+x)=x / (1+x)当 x0 时有 f (x) 0，f(x) 为增函数，又 f(0)=0当 x0 时 f (x) 0，即 xln(1+x)当 x0时，证明不等式 exx1 证明：令 f(x)=ex/ (x+1) ，f (x)= e x(x+1)- ex/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2当 x0 时

20、有 f (x) 0，f(x) 为增函数，又 f(0)=1 当 x0 时 f (x) 1，即 ex x+1高等数学基础第四次作业第 5章 不定积分第 6 章 定积分及其应用（一）单项选择题若 f ( x) 的一个原函数是1 ，则 f ( x)（ D）x1A.ln xB.x2C.1D.2x3x下列等式成立的是（D）A.f(x)dxf (x)B.df ( x)f ( x)C.df ( x)dxf ( x)D.df (x)dx f (x)dx若 f ( x)cos x ，则f( x)dx（ B）A.sin xcB.cos x cC.sin xcD.cos xc dx2 f ( x3 )dx （ D）d

21、xA. f (x3 )B. x2 f (x 3 )C.1 f ( x)D.1 f ( x3 )313若f ( x)dxF ( x)c ，则x)dx（B）f (xA.F ( x ) cB.2F ( x ) cC.F (2 x) cD.1 F ( x) cxg(x) 以及两条直线 xa 和 xb 所围成的平面区由区间 a , b 上的两条光滑曲线yf (x) 和 y域的面积是（）bg( x)dxbf (x)d xA. f ( x)B. g( x)aabf ( x) g (x) dxbg(x)dxC.aD. f ( x)a下列无穷限积分收敛的是（D ）A.11 dxB.exdxx011C.1x dxD.1 x 2 dx（二）填空题函数 f ( x) 的不定积分是f ( x) dx若函数 F ( x) 与 G(x) 是同一函数的原函数，则F ( x) 与 G( x) 之间有关系式F(x)=G(x)+c d ex2 dx ex 2 dx (tan x) dxtanx+c若f ( x) dxcos3xc ，则 f( x)-9cos3x31 )dx3(sin 5 x321若无穷积分dx收敛，则 p 11xp（三）计算题cos 1cos 1 (12cox 1 d ( 1)sin 1x2x dx)