线性代数建模

1、线性代数建模线性代数建模 目录1线性代数内容简介(同济五版)2线性代数教材（略）3线性代数及其应用4线性代数在数学建模中的应用举例 3线性代数内容简介n第一章行列式n第二章矩阵及其运算n第三章矩阵的初等变换与线性方程组n第四章向量组的线性相关性n第五章相似矩阵及二次型n第六章线性空间与线性变换3线性代数及其应用教材线性代数及其应用 n作者作者：（美）莱（lay,d.c.） 著，刘深泉 等译 isbn：10位7111167090 13位9787111167099 出版社出版社：机械工业出版社 内容提要 n线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。本书是一本优秀的现代教

2、材，给出最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。主要内容包括线性方程组、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性和最小二乘法、对称矩阵和二次型等。此外，本书包含大量的练习题、习题、例题等，便于读者参考。 n本书内容深入浅出，论述清晰，适合作为高等院校理工科线性代数课程的教材，还可作为相关研究人员的参考书。 本书特点 n介绍了线性代数的基本概念、理论和证明，包含大量例题、练习题、习题等，广泛选取的应用说明了线性代数的作用，可以用于在工程学、计算机科学、物理学、数学、生物学、经济学和统计学中解释基本原理和

3、简化计算。 n提前介绍重要概念，许多基本概念含在每章开始的“介绍性实例”中，然后从不同的观点逐步深入讨论。 n矩阵乘法采用了现代观点，本书在定义和证明中处理的是矩阵的列，而不是矩阵的元素，这种现代方法简化了许多论据，且将向量空间思想和线性系统的研究联系在一起。 n结合应用数学软件，强调了计算机对科学和工程学中线性代数的发展和实践的影响。“数值计算的注解”指出了数值计算中出现的问题，以及理论概念（如矩阵求逆）和计算机实现（如lu分解）之间的区别。 作者简介 ndavid c. lay 在美国加利福尼亚大学获得硕士和博士学位。他是马里兰大学帕克学院数学系教授，同时还是阿姆斯特丹大学、阿姆斯特丹自由

4、大学和德国凯泽斯劳滕大学的访问教授。lay教授是“线性代数课程研究小组”的核心成员，发表了30多篇关于泛函分析和线性代数方面的论文，并与他人合著有多部数学教材。 目录 n第1章 线性代数中的线性方程组 n介绍性实例 经济学与工程中的线性模型 n1.1 线性方程组 n1.2 行化简与阶梯形矩阵 n1.3 向量方程 n1.4 矩阵方程 n1.5 线性方程组的解集 n1.6 线性方程组的应用 n1.7 线性无关 n1.8 线性变换介绍 n1.9 线性变换的矩阵 n1.10 经济学、科学和工程中的线性模型 n第1章补充习题 nn第2章 矩阵代数 n介绍性实例 飞机设计中的计算机模型 n2.1 矩阵运算

5、 n2.2 矩阵的逆 n2.3 可逆矩阵的特征 n2.4 分块矩阵 n2.5 矩阵因式分解 n2.6 列昂惕夫投入产出模型 n2.7 计算机图形学中的应用 n2.8 rn的子空间 n2.9 维数与秩 n第2章补充习题 n第3章 行列式 n介绍性实例 解析几何中的行列式 n3.1 行列式介绍 n3.2 行列式的性质 n3.3 克拉默法则、体积和线性变换 n第3章补充习题 n第4章 向量空间 n介绍性实例 空间飞行与控制系统 n4.1 向量空间与子空间 n4.2 零空间、列空间和线性变换 n4.3 线性无关集和基 n4.4 坐标系 n4.5 向量空间的维数 n4.6 秩 n4.7 基的变换 n4.

6、8 差分方程中的应用 n4.9 马尔可夫链中的应用 n第4章补充习题 第5章 特征值与特征向量 n介绍性实例 动力系统与斑点猫头鹰 n5.1 特征向量与特征值 n5.2 特征方程 n5.3 对角化 n5.4 特征向量与线性变换 n5.5 复特征值 n5.6 离散动力系统 n5.7 微分方程中的应用 n5.8 特征值的迭代估计 n第5章补充习题 n第6章 正交性和最小二乘法 n介绍性实例 重新整理北美地质数据 n6.1 内积、长度和正交性 n6.2 正交集 n6.3 正交投影 n6.4 格拉姆-施密特方法 n6.5 最小二乘问题 n6.6 线性模型中的应用 n6.7 内积空间 n6.8 内积空间

7、的应用 n第6章补充习题 第7章 对称矩阵和二次型 n介绍性实例 多波段的图像处理 n7.1 对称矩阵的对角化 n7.2 二次型 n7.3 条件优化 n7.4 奇异值分解 n7.5 图像处理和统计学中的应用 n第7章补充习题 4线性代数在数学建模中的应用举例4.1距离问题4.24.3马氏链模型（常染色体遗传模型、竞赛模型）4.4差分方程模型（市场经济的蛛网模型、国民经济的稳定性 、投入产出分析、商品销售量预测 、人口问题的差分方程模型 ）4.1距离问题4.1 .1基因间“距离”的表示 4.1 .2常见的距离公式（聚类分析,相似性度量）4.1 .1基因间“距离”的表示4.1 .2常见的距离公式（

8、聚类分析）n绝对值距离n欧式距离n明考斯基距离n兰氏距离n马氏距离n绝对值距离两个n维向量x1与x2，距离d= x11-x21 + x12-x22 + x1n-x2n 2 .23n欧式距离欧式距离 (分量平方求和再开方分量平方求和再开方)n欧氏距离定义： 欧氏距离（ euclidean distance）也称欧几里得距离，它是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。 n在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是 nd = sqrt(x1-x2)+(y1-y2) n三维的公式是 nd=sqrt(x1-x2)+(y1-y2)+(z1-z2) n推广到n维空

9、间，欧式距离的公式是 nd=sqrt( (xi1-xi2) ) 这里i=1,2.n nxi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标 nn维欧氏空间是一个点集,它的每个点可以表示为(x(1),x(2),.x(n),其中x(i)(i=1,2.n)是实数,称为x的第i个坐标,两个点x和y=(y(1),y(2).y(n)之间的距离d(x,y)定义为上面的公式. n欧氏距离看作信号的相似程度。 距离越近就越相似，就越容易相互干扰，误码率就越高。n明考斯基距离(分量分量p次方求和再开次方求和再开p次方次方)nd= ( (x1i-x2i)p )1/p 这里i=1,2.n n兰氏距离nd=

10、1/p x1i-x2i /( x1i+x2i)这里i=1,2.n马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯(p. c. mahalanobis)提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知ion=edit样本集的相似度的方法。与ion=edit欧式距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的(scale-invariant)，即独立于测量尺度。 例例4.1 人、狗、鸡、米过河问题人、狗、鸡、米过河问题 这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、鸡

11、、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。在本问题中，可采取向量表示状态：一物（或人）在此岸时在本问题中，可采取向量表示状态：一物（或人）在此岸时相应位置用相应位置用1表示，在彼岸时用表示，在彼岸时用0表示。例如表示。例如（1,0,1,0）表示表示人和鸡在此岸，而狗和米则在对岸。人和鸡在此岸，而狗和米则在对岸。 （i）可取状态可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0

12、）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是： 人在此岸人在此岸 人在对岸人在对岸 (1，1，1，1) (0，0，0，0) (1，1，1，0) (0，0，0，1) (1，1，0，1) (0，0，1，0) (1，0，1，1) (0，1，0，0) (1，0，1，0) (0，1，0，1) 共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充要条件。要条件。（ii）可取运算可取运算：状态转移需经状态运算来实现。在实际问题：状态转移

13、需经状态运算来实现。在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如 （1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能有（有（1，0，0，0，）、（，）、（1，1，0，0）、（）、（1，0，1，0）、）、（1，0，0，1）四个。）四个。 在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为：化为： 由初始状态（由初始状态（1，

14、1，1，1）出发，经奇数次上述运算转化为）出发，经奇数次上述运算转化为（0，0，0，0）的转移过程。）的转移过程。我们可以如下进行分析我们可以如下进行分析 ：（第一次渡河）（第一次渡河）( (不不可可取取) )( (不不可可取取) )( (可可取取) )( (不不可可取取) ) ( (0 0, ,1 1, ,1 1, ,1 1) )( (0 0, ,1 1, ,1 1, ,0 0) )( (0 0, ,1 1, ,0 0, ,1 1) )( (0 0, ,0 0, ,1 1, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,1 1)

15、 )( (1 1, ,0 0, ,1 1, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1) )（第二次渡河）（第二次渡河）( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,1 1, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,0 0) )( (0 0, ,1 1, ,0 0, ,1 1) )( (可可取取) )( (不不可可取取) )过过的的状状态态) )( (循循环环, ,回回到到原原先先出出现现( (不不可可取取) )

16、( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,1 1) )( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,1 1) )以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际上采用的是上采用的是穷举法穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。，对于规模较大的问题是不宜采用的。这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要过这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要过河，船最多可载两人且无船夫，且所有人均会划船。河，船最多可载两人且无船夫，且所有人均会划船。约束

17、条件是阿拉伯教义，任何已婚女子不得在其丈约束条件是阿拉伯教义，任何已婚女子不得在其丈夫不在场的情况下与其他男子呆在一起，否则将被夫不在场的情况下与其他男子呆在一起，否则将被处死！问此时这三对夫妻能否安全过河？处死！问此时这三对夫妻能否安全过河？这一问题的状态和运算与这一问题的状态和运算与前一问题有所不同，根据前一问题有所不同，根据题意，状态应能反映出两题意，状态应能反映出两岸的男女人数，过河也同岸的男女人数，过河也同 样要反映出性别样要反映出性别 故可如下定义：故可如下定义： （i）可取状态可取状态： 用用h和和w分别表示分别表示此岸此岸的男子和女子的男子和女子数，状态可用矢量数，状态可用矢量

18、 （h，w）表示，其中表示，其中0h、w3。可取状态为（。可取状态为（0,i），），(i,i)，(3,i)，0i3。(i,i)为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他们是们是 i对夫妻。对夫妻。 （ii）可取运算可取运算：每次过河可以是一对夫妻、两个男人或两个女人，每次过河可以是一对夫妻、两个男人或两个女人，当然也可以是一人过河。转移向量可取成当然也可以是一人过河。转移向量可取成 (1)im,(1)in)，其中其中m、n可取可取0、1、2，但必须，但必须满足满足1m+n2。当。当j为奇数时表示过河。为奇数时表示过河。 当当j为偶为偶数时表示由对岸回来，运

19、算规则同普通向量的加数时表示由对岸回来，运算规则同普通向量的加法。法。 问题归结为由状态问题归结为由状态 (3,3)经经奇数次奇数次可取运算，即由可取状可取运算，即由可取状态到可取状态的转移，转化态到可取状态的转移，转化 为为(0,0)的转移问题。和上题一样，的转移问题。和上题一样，我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还可用可用作图作图方法来求解。方法来求解。在在hw平面坐标中，以平面坐标中，以 “”表示可取状态，表示可取状态， 从从a(3,3)经奇数经奇数次转移到次转移到 达达o(0,0)。奇数次。奇数次转移时向左或下移转移时

20、向左或下移 动动1-2格而落格而落在一个可取状态上，在一个可取状态上，偶数次偶数次转移时向右或上移转移时向右或上移 动动1-2格而落在格而落在一个可取状态上。为了区分起见一个可取状态上。为了区分起见 ,用用红红箭线表示箭线表示奇奇数次转移，数次转移，用用蓝蓝箭线表示第箭线表示第偶偶数数 次转移次转移,下图给出了一种可实现的方案下图给出了一种可实现的方案 , 故故 a(3,3)o(0,0)hw这这三三对夫妻是可以过河的对夫妻是可以过河的 。假如按。假如按这样的方案过这样的方案过 河河,共需经过共需经过十一十一次摆次摆渡。渡。 不难看出不难看出 ,在上述规则下在上述规则下,4对夫妻就对夫妻就无法过

21、河了无法过河了,读者可以自行证明之读者可以自行证明之.类类似可以讨论船每次可载三人的情况似可以讨论船每次可载三人的情况,其结果其结果 是是5对夫妻是可以过河的对夫妻是可以过河的,而而六六对以上时就对以上时就 无法过河无法过河了。了。 随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形遗传给下一代，这

22、主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本节将利用数学的节将利用数学的 马氏链方法马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并来建立相应的遗传模型等，并讨论几个简单而又有趣的实例。讨论几个简单而又有趣的实例。马氏链（马尔柯夫链）马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研研究的是一类重要的随机过程，研究对象的状究对象的状 态态s(t)是不确定的，它可能是不确定的，它可能 取取k种种 状态状态si(i=1,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时，之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时，时间变量也被离

23、散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，故马氏链研究的也是一类状态转移问题。故马氏链研究的也是一类状态转移问题。例例4.6 设某商店经营情况可能有三种状态：设某商店经营情况可能有三种状态：好（好（s1：利润丰厚）、一般（：利润丰厚）、一般（s2）和不好）和不好（s3：亏损）。根据统计资料，上月状态为：亏损）。根据统计资料，上月状态为si，下月状态为，下月状态为sj的概率为的概率为pij（i=1,2,3; j=1,2,3），），0pij1例例4.6中的

24、关系既可用一转移矩阵表示中的关系既可用一转移矩阵表示 333231232221131211pppppppppa例例4.7 研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于系统之外四种状态，分别系统之外四种状态，分别 以以s1，s2，s3和和s4表示表示这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中的磷以的磷以0.4的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统外的概率为外的概率为 0.2；牧草中的含磷以；牧草中的

25、含磷以 0.6的概率被牛的概率被牛羊吃掉而转换到牛羊体内，羊吃掉而转换到牛羊体内，0.1的概率随牧草枯死腐的概率随牧草枯死腐败归还土壤；牛羊体中的磷败归还土壤；牛羊体中的磷 以以0.7的概率因粪便排的概率因粪便排泄而还归土壤，又以自泄而还归土壤，又以自 身身0.1的比率因屠宰后投放的比率因屠宰后投放市场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫市场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：链来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：1000s4流失系流失系统外统外0.10.200.7s3羊体含羊体含磷磷00.60.30.1s2牧草含牧草含磷磷0.200.

26、40.4s1土壤含土壤含磷磷i时段状时段状态态s4s3s2s1i+1时段状态时段状态状态转移概率状态转移概率相应的转移矩阵相应的转移矩阵 为：为： 10001 . 02 . 007 . 006 . 03 . 01 . 02 . 004 . 04 . 0m且且sj+1=sjm马氏链模型的性质完全由其转移矩马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工阵决定，故研究马氏链的数学工 具是线性代数中有关矩阵的理论。具是线性代数中有关矩阵的理论。首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1） （i , j=1,n）（2） （i=1,n） 这

27、样的矩阵被称为这样的矩阵被称为 随机矩阵随机矩阵。10 igp11 njigp 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如每种基因型的概率，如 表所示。表所示。 在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基我们所考虑的遗传特征是由两个基 因因a和和a控制的，（控制的，（a、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为为表示两类

28、基因的符号）那么就有三种基因对，记为aa，aa，aa。 1000aa010aa0001aa后后代代基基因因型型aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa父体父体母体的基因型母体的基因型双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例一个较简单的特例 。例例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型农场的植物园中某种植物的基因型 为为aa,aa和和aa。农场计划采用。农场计划采用 aa型的植物与每种基因型植物型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种

29、植物的任一代的三种基因型分布情况如何？这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（a）假设假设：令：令n=0,1,2,。（i）设设an,bn和和cn分别表示第分别表示第n代植物中，基因型代植物中，基因型 为为aa,aa和和aa的植物占植物总数的百分比的植物占植物总数的百分比 。令。令x (n)为第为第n代植物的基因型分代植物的基因型分布：布： nnnncbax)(当当n=0时时 000)0(cbax表示植物基因型的表示植物基因型的初始分布（即培育初始分布（即培育开始时的分布）开始时的分布）例例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型农场的植物园中某种植物的基因型 为为aa,aa和和aa。农场计划

30、采用。农场计划采用 aa型的植物与每种基因型植物型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（b）建模建模根据假设根据假设(ii)，先考虑第先考虑第n代中的代中的aa型。由于第型。由于第n1代的代的aa型与型与aa型结合。后代全部是型结合。后代全部是aa型；第型；第n1代的代的aa型与型与aa型结合，后代是型结合，后代是aa型的可能性为型的可能性为 1/2，而，而 第第n1代的代的aa型与型与aa型结合，后代不可能型结合，后代不可能 是是aa

31、型。因此当型。因此当n=1,2时时1110211 nnnncbaa1121 nnnbaa即即类似可推出类似可推出1121 nnncbbcn=0 显然有显然有（ii）第第n代的分布与代的分布与 第第n1代的分布之间的关系是通过表代的分布之间的关系是通过表5.2确定的。确定的。1000 cba(4.2)(4.3)(4.4)将将（4.2）、（）、（4.3）、（）、（4.4）式相加，得式相加，得111 nnnnnncbacba根据根据假设假设(i)，可递推得出：可递推得出：1000 cbacbannn对于对于(4.2)式式.(4.3)式和式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为式，我们采用矩阵形式简记

32、为, 2 , 1,)1()( nmxxnn其中其中 nnnncbaxm)(,00012100211（注：这里注：这里m为转移矩阵的位置）为转移矩阵的位置） (4.5)由由（4.5）式递推，得式递推，得)0()2(2)1()(xmxmmxxnnnn (4.6)（4.6）式给出第式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。代基因型的分布与初始分布的关系。为了计算出为了计算出mn，我们将，我们将m对角化，即求出可逆矩对角化，即求出可逆矩 阵阵p和对角和对角库库d，使，使 m=pdp-1因而有因而有 mn=pdnp-1, n=1,2,其中其中 nnnnd321321000 这里这里 ， ， 是矩是矩 阵

33、阵m的三个特征值。对于的三个特征值。对于 (4.5)式式中的中的m，易求得它的特征值和特征向量：，易求得它的特征值和特征向量： =1， =1/2， =01 2 3 1 2 3 因此因此 121 011 001,0000210001321eeed所以所以 100210111321eeep通过计算，通过计算，p-1=p，因此有，因此有)0(1)(xppdxnn 000 100210111 0000210001 100210111cban即即 00011)( 000212102112111cbacbaxnnnnnnnn 021212121010010000cbcbcbannnn所以有所以有 0212

34、121211010010nnnnnnnccbbcba当当 n时，时，021 n，所以从（，所以从（4.7）式得到）式得到0, 0, 1nnncba即在极限的情况下，培育的植物都即在极限的情况下，培育的植物都 是是aa型。型。若在上述问题中，不选用基若在上述问题中，不选用基 因因aa型的植物与每一植物结合，型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如因型的概率如 表所示。表所示。41214111/40aa01/20aa01/41aa后后代代基基因因型型aaaaaaaaaaaa父体父体母体的基因型母体的基因

35、型并且并且)0()(xmxnn ，其中，其中 141002100411mm的特征值为的特征值为21, 1, 1321 通过计算，可以解出与通过计算，可以解出与 、 相对应的两个线性无关的特相对应的两个线性无关的特征向量征向量e1和和e2，及与相对应的特征内，及与相对应的特征内 量量e3：1 2 121,100,101321eee因此因此 02101110211,1112001011pp)0(1)(xppdxnn 000 02101110211 2100010001 111200101cban解得：解得： 01000102121212121bccbbbaannnnnn当当 n 时，时，021 n

36、，所以，所以000021, 0,21bccbbaannn 因此，如果用基因因此，如果用基因 型相同的植物培育型相同的植物培育 后代，在极限情况后代，在极限情况 下，后代仅具有基下，后代仅具有基 因因aa和和aa。例例4.9 常染体隐性疾病模型常染体隐性疾病模型现在世界上已经发现的遗传病有将现在世界上已经发现的遗传病有将 近近4000种。在种。在一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体 有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在 地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人地中海沿岸为多，镰状网性贫血症

37、一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。 患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则 是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患 者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐 性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不 会出现显性特征，不会受到疾病的折磨。会出现显

38、性特征，不会受到疾病的折磨。 现在，我们考虑在控现在，我们考虑在控制结合的情况下，如制结合的情况下，如何确定后代中隐性患何确定后代中隐性患者的概率。者的概率。 （a）假设）假设（i）常染色体遗传的正常基因记常染色体遗传的正常基因记 为为a，不，不 正常基因记正常基因记 为为a，并以，并以 aa，aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患分别表示正常人，隐性患者，显性患 者的基因型者的基因型（ii）设设an,bn分别表示第分别表示第n代中基因型为代中基因型为 aa，aa的人占总人数的百分比，的人占总人数的百分比， 记记 ，n=1,2,（这里（这里 不考不考 虑虑aa型是因型是因 为这些人不可能

39、成年并结婚）为这些人不可能成年并结婚）（iii）为使每个儿童至少有一个正常的父为使每个儿童至少有一个正常的父 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由人结合，其后代的基因型概率由 下表下表 给出：给出： nnnbax)(1/20aa1/21aa后后代代基基因因型型aaaaaaaa父母的基因型父母的基因型（b）建模）建模由由假设（假设（iii），），从第从第n1代到第代到第n代基因型分布的变化取代基因型分布的变化取决于方程决于方程1121 nnnbaa11210 nnnbab所以所以, 2 , 1,)1()( nmxxnn，其中，其中 210

40、211m如果初始分如果初始分 布布x(0)已知，那么已知，那么 第第n代基因型分布为代基因型分布为, 2 , 1,0)( nxmxnn解解 将将m对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得pppdnn 1,1011 ,21001计算计算 00)0(1)( 1011 21001 1011baxppdxnnn= 0000002121 2102111bbbabannnn , 2 , 1 2121100nbbbannnn(4.8)因为因为100 ba，所以当，所以当 n 时，时，1na，0nb隐性患者逐渐消失。隐性患者逐渐消失。 从从(4.8)式中可知式中

41、可知121 nnbb每代隐性患者每代隐性患者的概率是前一的概率是前一代隐性患者概代隐性患者概率的率的1/2。 (4.9)（c）模型讨论）模型讨论研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然而用但随机结合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以其它技巧，在随机结合的情况下可以 把把（4.9）式改写为式改写为2 , 1,21111 nbbbnnn(4.10)下面给会出数值例子：下面给会出数值例子：某地区有某地区有10%的黑人是镰状网性盆血症隐性患者，如果控制

42、的黑人是镰状网性盆血症隐性患者，如果控制结合，根据结合，根据（4.9）式可知下一代式可知下一代 （大约（大约27年）的隐性患者年）的隐性患者将减少到将减少到5%；如果随机结合，根据如果随机结合，根据 （4.10）式，可以预言）式，可以预言下一代人中下一代人中 有有9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生是隐性患者，并且可计算出大约每出生400个黑人孩子，其中有一个是显性患者。个黑人孩子，其中有一个是显性患者。（近亲繁殖）（近亲繁殖）近亲繁殖是指父母双方有一个或两个共同的祖先，一般追踪近亲繁殖是指父母双方有一个或两个共同的祖先，一般追踪到四代，即至少有相同的曾祖父（母）或外曾祖父（母）。到四代

43、，即至少有相同的曾祖父（母）或外曾祖父（母）。为简单起见，我们来考察一对表兄妹（或堂兄妹）结婚的情为简单起见，我们来考察一对表兄妹（或堂兄妹）结婚的情况，其中况，其中代表男性，代表男性，代表女性。代表女性。 设曾祖父有某基因设曾祖父有某基因 对对a1a2，曾祖母有某基因，曾祖母有某基因 对对a3a4，容，容易求得：祖父母各自取得易求得：祖父母各自取得a1的概率为的概率为 1/2，故祖父母同有，故祖父母同有a1基基因的概率为因的概率为1/4；父母同有；父母同有a1基因的概率为基因的概率为 1/16，而子女从父，而子女从父母那里获得基因对母那里获得基因对a1a1的概率为的概率为 1/64，而获得相

44、同基因对（称，而获得相同基因对（称为为基因纯合子基因纯合子）a1a1、a2a2、a3a3或或a4a4之一的概率为之一的概率为 1/16,此概率被称为表兄此概率被称为表兄 妹妹(或堂兄妹或堂兄妹)结婚结婚(表亲表亲)的的近交系数近交系数。 类似可求得类似可求得半堂亲半堂亲（只有一个共同祖先）的近交系数为（只有一个共同祖先）的近交系数为1/32，从表亲（父母为表亲）的近交系数，从表亲（父母为表亲）的近交系数 为为1/64；非近亲结非近亲结婚婚不可能发生重复取某祖先的一对基因对中的某一基因作为自不可能发生重复取某祖先的一对基因对中的某一基因作为自己的基因对的情况，故近交系数己的基因对的情况，故近交系

45、数 为为0。（群体的近交系数）（群体的近交系数） 设某群体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望设某群体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望为该为该群体的近交系数群体的近交系数。例如，某村镇共有。例如，某村镇共有2000对婚配关系，对婚配关系，其中有其中有59对表亲，对表亲，22对半堂亲对半堂亲 和和28对从表亲，则该村镇的近对从表亲，则该村镇的近亲系数为亲系数为 0024. 0641200028321200022161200059 f现在，我们来研究近亲结现在，我们来研究近亲结 婚会产生什么结果。婚会产生什么结果。 设某基因对由设某基因对由 a、a两种基因组成，出现两种基因组成

46、，出现a的概率为的概率为p，出，出现现a的概率为的概率为q=1-p。在。在随机随机交配群体中，其子女交配群体中，其子女 为为aa、aa及及aa型的概率分别型的概率分别 为为p2、2pq及及q2。 对近交系数为对近交系数为f的群体，根据条件概率公式，后代出现的群体，根据条件概率公式，后代出现aa型基因对的概率为型基因对的概率为fpqqqfqqfqqf 222)1()1( 比较比较存在近亲交配存在近亲交配的群体与的群体与不允许近亲交配不允许近亲交配 (f=0)的群体，的群体， 令令fqpqfpqqr 122 若若a为某种隐性疾病的基因，易见，在为某种隐性疾病的基因，易见，在近交近交群体中，后代产群

47、体中，后代产 生遗传病（生遗传病（aa型）的概率增大了，型）的概率增大了， 且且f越大，后代患遗传病越大，后代患遗传病 的概率也越大。的概率也越大。 同样，后代出现同样，后代出现aa型基因对的概率型基因对的概率 为为p2+fpq。aa型不可型不可能是共同祖先同一基因的重复，故其出现的概率为能是共同祖先同一基因的重复，故其出现的概率为2pq(1-f)。例如例如，苯丙酮尿症苯丙酮尿症是一种隐性基因纯合子是一种隐性基因纯合子 aa型疾病（型疾病（a为为隐性疾病基因），隐性基因出现的频率隐性疾病基因），隐性基因出现的频率 ，求，求表表兄妹兄妹结婚及结婚及非近亲非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。结

48、婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。 由前，表兄妹结婚的近交系数为由前，表兄妹结婚的近交系数为 1/16,故其子女发生该疾故其子女发生该疾病的概率为病的概率为 而对禁止近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概率仅为而对禁止近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概率仅为q2=10-4。表兄妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病的概。表兄妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病的概率增大为大约率增大为大约7.19倍，由此可见，为了提高全民族的身体倍，由此可见，为了提高全民族的身体素质，近亲结婚是应当素质，近亲结婚是应当 禁止禁止的。的。1001 q4221019. 71001100991611001 fpqq例例4.10

49、x链遗传模型的一个实例链遗传模型的一个实例x链遗传链遗传是指另一种遗传方式：雄性具有一个基因是指另一种遗传方式：雄性具有一个基因a或或a，雌性具有两个基雌性具有两个基 因因aa，或，或aa，或，或aa。其遗传规律是雄性后。其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。中得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究下面，研究 与与x链遗传有关的近亲繁殖过程。链遗传有关的近亲繁殖过程。（a）假设）假设（i）从一对雌雄结合开始从一对雌雄结合开始 ,在它们

50、的后代在它们的后代 中中,任选雌雄各一任选雌雄各一 个成配偶个成配偶,然后在它们产生的后代中任选两个结成配然后在它们产生的后代中任选两个结成配 偶偶,如此继续下去如此继续下去 , (在家畜、家禽饲养中常见这种现在家畜、家禽饲养中常见这种现 象象)（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (a,aa),(a,aa),(a,aa),(a,aa),(a,aa),(a,aa) 6种。初始一种。初始一 对雌雄的同胞对，是这六种类型中的任一种，其后代的对雌雄的同胞对，是这六种类型中的任一种，其后代的 基因型如下表所示。基因型如下表所示。（iii）在每

51、一代中，配偶的同胞对也是六种类型之一，并在每一代中，配偶的同胞对也是六种类型之一，并 有确定的概率。为计算这些概率有确定的概率。为计算这些概率 ,设设an,bn,cn,dn,en,fn 分别是第分别是第n代中配偶的同胞对代中配偶的同胞对 为为(a,aa)，(a,aa)， (a,aa),(a,aa),(a,aa),(a,aa)型的概率，型的概率，n=0,1,。令令 （iv）如果第如果第n1代配偶的同胞对是代配偶的同胞对是 （a,aa）型，那么它）型，那么它 们的雄性后代将等可能地得到基们的雄性后代将等可能地得到基 因因a和和a，它们的雌，它们的雌 性后代的基因型将等可能地性后代的基因型将等可能地

52、 是是aa或或aa。又由于。又由于 第第n 代雌雄结合是随机的，那么代雌雄结合是随机的，那么 第第n代配偶的同胞对将等代配偶的同胞对将等 可能地为四种类型可能地为四种类型 (a,aa),(a,aa),(a,aa),(a,aa)之一，之一， 对于其它类型的同胞对，我们可以进行同样分析，对于其它类型的同胞对，我们可以进行同样分析， 因此有因此有, 1 , 0,),()( nfedcbaxtnnnnnnn, 2 , 1,)1()( nmxxnn11/20000aa01/2111/20aa00001/21aa11/2011/20a01/2101/21aa后后代代基基因因型型(a,aa)(a,aa)(a

53、,aa)(a,aa)(a,aa)(a,aa)父体父体母体的基因型母体的基因型(4.11)其中其中 14100000410141000004100410000041104100000411m从（从（4.11）式中易得）式中易得, 2 , 1,0)( nxmxnn经过计算，矩阵经过计算，矩阵 m的特征值和特征向量为的特征值和特征向量为 11 ，12 ，213 ，214 ，)51(415 ，)51(416 163361 ,121121 ,100000 ,0000014321eeee )53(411)51(41)51(411)53(415e, )53(411)51(41)51(411)53(416em

54、对角化，则有对角化，则有, 2 , 1,)0(1)( nxppdxnn(4.12) 其中：其中： )53(41)53(411110116200)51(41)51(413100)51(41)51(413100116200)53(41)53(411101p nnnnnd)51(41000000)51(41000000210000002100000010000001 020520555552052050020520555552052050024112112124100814141810132313231003132313211p当当 n 时时 0000000000000000000000000000

55、10000001nd因此，当因此，当 n 时，（时，（4.12）式中）式中)0(1)(000000000000000000000000000010000001xppxn 即即 0000000000)(32313231000031323132fedcbedcbaxn因此，在极限情况下所有同胞对因此，在极限情况下所有同胞对要么要么是是 （a,aa）型，）型，要么要么是是（a,aa）型。如果初始的父母体同胞对）型。如果初始的父母体同胞对 是（是（a,aa）型，即）型，即b0=1，而，而a0= c0= d0= e0= f0=0，于是，当，于是，当 n时时tnx 31, 0 , 0 , 0 , 0 ,3

56、2)(即同胞对是即同胞对是(a,aa)型的概率是型的概率是2/3，是，是(a,aa)型的概率为型的概率为1/3。（正则链与吸收链）（正则链与吸收链） 根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的类型，这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：类型，这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：正则链正则链与与吸收链吸收链。定义定义2 对于马氏链，若存在一正整对于马氏链，若存在一正整 数数k，使其转移矩阵，使其转移矩阵 的的k次幂次幂mk0（每一分量均大（每一分量均大 于于0），则称此马尔链为一正则），则称此马尔链为一正则（regula

57、r）链。）链。定理定理2 若若a为正则链的转移矩阵，则必有：为正则链的转移矩阵，则必有：（1）当当 时，时， ，其中，其中w为一分量均大于零为一分量均大于零 的随机矩阵。的随机矩阵。（2）w的所有列向量均相同。的所有列向量均相同。 twat定理定理3 记记定理定理 2中的随机矩阵中的随机矩阵w的列向量为的列向量为v=(v1,vn),则：则：（1）对任意随机向）对任意随机向 量量x，有，有（2）v是是a的不动点向量的不动点向量,即即va=v, a的不动点向量是唯一的。的不动点向量是唯一的。 vxatt 定义定义3 状态状态si 称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的

58、 第第i 列列满足：满足：pii=1，pij=0（ji）定义定义4 马氏链被称为马氏链被称为 吸收链吸收链，若其满足以下两个条件：，若其满足以下两个条件：（1）至少存在一个吸收状态）至少存在一个吸收状态 。（2）从任一状态出发）从任一状态出发 ,经经有限步有限步转移总可到达某一吸收转移总可到达某一吸收 状态状态 根据根据定义定义3，例例4.7中状态中状态s4即即为一吸收链为一吸收链 具有具有r个吸收状态，个吸收状态，nr个非吸收状态的吸收链，它的个非吸收状态的吸收链，它的nn转移矩阵的标准形式为转移矩阵的标准形式为 sroitr （注：非标准形式可经对状态重新编号（注：非标准形式可经对状态重新

59、编号 ）其中其中ir为为r 阶单位阵，阶单位阵，o为为rs零阵，零阵，r为为sr 矩阵，矩阵，s为为ss矩阵。令矩阵。令rnniotqs 其中的子阵其中的子阵sn表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经过过n步转移后，处于步转移后，处于s个非吸收状态的概率。个非吸收状态的概率。 在吸收链中，令在吸收链中，令f=(is) -1，称，称f为为 基矩阵基矩阵。定理定理4 吸收链的基矩吸收链的基矩 阵阵f中的每个元素，表示从一个非吸收中的每个元素，表示从一个非吸收 状态出发，到达另一非吸收状态的平均转移次数。状态出发，到达另一非吸收状态的平均转移次数。定理定理5 设

60、设n=fc，f为吸收链的基矩阵，为吸收链的基矩阵，c=(1,1,1)t，则，则n 的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收 状态被吸收之前的平均转移次数。状态被吸收之前的平均转移次数。定理定理6 设设b=fr=（bij），），其中其中f为吸收链的基矩阵，为吸收链的基矩阵，r为标准为标准 形式形式t中的子阵，则中的子阵，则bij表示从非吸收状表示从非吸收状 态态i出发，被吸收出发，被吸收状态状态 j吸收的概率。吸收的概率。例例4.12（竞赛问题竞赛问题）甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始