MATLAB求解微分方程实验

1、1实验实验experiments in mathematics微微 分分 方方 程程 求求 解解2实验目的实验目的实验内容实验内容matlab2、学会用、学会用matlab求微分方程的数值解求微分方程的数值解.实验软件实验软件1、学会用、学会用matlab求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.1 1、求简单微分方程的解析解求简单微分方程的解析解.2、求微分方程的数值解、求微分方程的数值解.3微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始条件初始条件, 自变量自变量)注意： y dy，y d2y 自变量名可以省略

2、，默认变量名t。例11)0(,12yydxdy输入：y=dsolve (dy=1+y2) y1=dsolve(dy=1+y2,y(0)=1,x)输出：y= tan(t-c1) （通解） y1= tan(x+1/4*pi) （特解）matlab软件求解5例2 常系数的二阶微分方程0)0( , 1)0(, 032 yyyyyy=dsolve(d2y-2*dy-3*y=0,x)y=dsolve(d2y-2*dy-3*y=0,y(0)=1,dy(0)=0,x)输入：y = c1*exp(-x)+c2*exp(3*x)y = 3/4*exp(-x)+1/4*exp(3*x)结果：6x=dsolve(d2

3、x-(1-x2)*dx+x=0, x(0)=3,dx(0)=0)例3 非常系数的二阶微分方程0)0( , 3)0(, 0)()( )(1 ()( 2xxtxtxtxtx无解析表达式！7x=dsolve(dx)2+x2=1,x(0)=0)例4 非线性微分方程0)0(, 1)()( 22xtxtxx = sin(t) -sin(t)若欲求解的某个数值解，如何求解？t=pi/2; eval(x)matlab软件求解8输入：x,y=dsolve(dx=3*x+4*y,dy=-4*x+3*y)x,y=dsolve(dx=3*x+4*y,dy=-4*x+3*y,x(0)=0,y(0)=1)例51)0(0)

4、0(3443yxyxdtdyyxdtdx输出： x =-exp(3*t)*(c1*cos(4*t)-c2*sin(4*t) y =exp(3*t)*(c1*sin(4*t)+c2*cos(4*t) x =exp(3*t)*sin(4*t) y =exp(3*t)*cos(4*t)matlab软件求解9解解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(dx=2*x-3*y+3*z, . dy=4*x-5*y+3*z,. dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(x) % 将x简化 y=simple(y) z=simple(z)结 果 为：x =c3*exp(2*t)+exp(-t)*

5、c1 y =c2*exp(-2*t)+c3*exp(2*t)+exp(-t)*c1 z =c2*exp(-2*t)+c3*exp(2*t)10微分方程的数值解微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。的相应近似值求出准确值，值处，即对的若干离散的开始其数值解是指由初始点，：对常微分方程nnnyyyxy

6、xyxyxxxxxxyxyyxfy, )(,),(),( )(),( 2121210000返 回11（二）建立数值解法的一些途径（二）建立数值解法的一些途径001)()( , 1, 2 , 1 , 0 , yxyx,yfynihxxii解微分方程：可用以下离散化方法求设1、用差商代替导数、用差商代替导数 若步长h较小，则有hxyhxyxy)()()( 故有公式：1-n,0,1,2,i )(),(001xyyyxhfyyiiii此即欧拉法欧拉法。122、使用数值积分、使用数值积分对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：)(,()(,(2)(,()()(11111i

7、iiiiixxiixyxfxyxfxxdttytfxyxyii实际应用时，与欧拉公式结合使用：, 2 , 1 , 0 ),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的计算。然后继续下一步，取时，当满足，对于已给的精确度）（ y y 2i111i)(1)1(1kikikiyyy此即改进的欧拉法改进的欧拉法。故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii133、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格龙格-库塔法库塔法、线性多步法线性多步法等方法。4、数值公式的精度、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差

8、可表示为o（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式阶公式。k越大，则数值公式的精度越高。欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。返 回14（三）用（三）用matlab软件求常微分方程的数值解软件求常微分方程的数值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0,tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-

9、芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.15 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成。 2、使用matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组。注意注意:( )(1)(1)( , , ,)(0), (0),(0)nnnyf t y yyyyy 选择一组状态变量(1)12,nnxy xyxy 122312,( ,)nnxxxxxf t x x

10、x16注意1、建立、建立m文件函数文件函数 function xdot = fun(t,x,y) xdot = x2(t)；x3(t)；f(t, x1(t), x2(t),xn(t)；2、数值计算、数值计算（执行以下命令）（执行以下命令） t,xt,x1 1,x,x2 2, ,x,xn n=ode45(=ode45(funfun,t,t0 0,t,tf f,xx1 1(0),x(0),x2 2(0),(0),x,xn n(0)(0)122312,( ,)nnxxxxxf t x xx17解解: 令 y1= x，y2= y1= x1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=

11、vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入命令： t,y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(t,y(:,1),-)3、结果如图050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5218解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=

12、-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令： t,y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(t,y(:,1),-,t,y(:,2),*,t,y(:,3),+)3、结果如图024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.19例例9 van der pol 方程方程：0)0( , 3)0(0)()( )(1 ()( 2xxtxtxtxtx令令 y1=x (t), y2 = x(t) 0)0(3)0()1(211221221yyyyyyyy该方程无解析

13、解！20（1）编写m文件 ( 文件名为 vdpol.m): function dy = vdpol(t,y); dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=(1-y(1)2)*y(2)-y(1); % 或 dy=y(2);(1-y(1)2)*y(2)-y(1);（2）编写程序如下:（vdj.m） t,y=ode23(vdpol,0,20,3,0); y1=y(:,1); % 原方程的解 y2=y(:,2); plot(t,y1,t,y2, - ) % y1(t),y2(t) 曲线图 pause, plot(y1,y2),grid % 相轨迹图，即y2(y1)曲线21 蓝色

14、曲线 y（1）；（原方程解） 红色曲线 y（2）；05101520-3-2-10123time,secondy(1)and y(2)van der pol solution 计算结果22-3-2-10123-3-2-10123y1y2相轨迹图23例10 考虑lorenz模型：)()()()()()()()()()()()(321233223211txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtx其中参数=8/3，=10，=28解：1）编写m函数文件(lorenz.m); 2) 数值求解并画三维空间的相平面轨线； (ltest.m)241、 lorenz.mfunction xdot=lorenz

15、(t,x)xdot=-8/3,0,x(2);0,-10,10;-x(2),28,-1*x;2、ltest.mx0=0 0 0.1;t,x=ode45(lorenz,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on250246810-20-10010203040500204060-20020-20-100102030图中，x1的图形为实线(蓝），x2的图形为“*” 线(绿)，x3的图形为“+”线（红）。取t0，tf=0，10。计算结果如下图：计算结果如下图：26曲线呈震荡发散状三维图形的混沌状05101520-200204060050-20020-50050010203040-40-200204060050-20020-50050若自变量区间取0，20、0，40，计算结果如下：27观察结果： 1、该曲线包含两个“圆盘”，每一个都是由螺线形轨道构成。某些轨道几乎是垂直地离开圆盘中