北航数学二学位常微方程复习-1

1、常微分方程复习课 王进良1变量分离方程、变量变换变量分离方程：若，则有，所以，另外，也是解。齐次方程：令，则原方程化为，是变量可分离方程，求其通解后，再将换为，得到原方程的通解。另外，若，也是解。可化为齐次方程：（1） 若，则是齐次方程（2） 若，则。令，则是变量分离方程（3） 若，则，令，其中，满足，原方程化为2一阶线性微分方程一阶齐线性方程：通解（全部解）一阶非齐线性方程：通解（全部解），常数变易法Bernoulli方程：令，原方程化为3恰当方程、积分因子对称式方程：若，此方程是恰当方程，通解为：或解方程组：或分项组合法求解：记住几个常用的全微分公式。积分因子的求法：若，则积分因子若，则积

2、分因子4一阶隐方程（1），其中两边对求导，是显式方程，按以前的方法求解若解为，则原方程的解为：。若解为，则原方程的解为：。若解为，则原方程的解为：。（2），其中两边对求导，是显式方程，按以前的方法求解若解为，则原方程的解为：。（3），其中参数化： ，得到，。则原方程的解为：。（4），其中参数化： ，得到，。则原方程的解为：。5一阶微分方程界的存在唯一性定理定理：如果在上连续，且关于满足Lipschitz条件：，则方程存在唯一的解，定义在区间上，连续且满足初始条件，其中，。证明思路：（1）先证的解等价于的连续解。（2）证明积分方程的解存在唯一任取，令，若，则是积分方程的解；否则令，若，则是积分方

3、程的解；否则重复上述步骤，一般地，作函数，得到函数序列，若对于某个，则是积分方程的解若没有上述情况发生，则可以证明：，一致成立。对于（*）两边取极限: .是积分方程的解。注：是次近似解，且6奇解（积分曲线的包络）求微分方程：的奇解消去得到微分方程的曲线在进一步验证，若是解曲线，则是奇解；否则不是奇解。特别地，Clairaut方程：通解：奇解：7线性微分方程的解的结构存在唯一性定理：叠加是（4.2）的解是（4.2）的解（4.2）的解在上线性无关在上，。（在a,b恒为0，或恒不为0）齐线性方程通解定理： 是（4.2）的个线性无关解，则（4.2）的通解（所有解）可表示为：注：全体解构成一个维线性空间

4、非齐线性方程解的性质：（i）(4.1)的解与(4.2)的解之和为(4.1)的解。（ii）(4.1)的两解之差为(4.2)的解。非齐线性方程通解定理： 是（4.2）的个线性无关解，而（4.1）的解，则（4.2）的通解（所有解）可表示为：。已知（4.2）的基本解组，用常数变易法求（4.1）的解8常系数齐线性微分方程的解法特征方程：（1）单个实特征根，对应（4.19）的一个解：；（2）单个复特征根，对应（4.19）的两个解：，；（3）重实特征根，对应（4.19）的个解：；（4）重复特征根，对应（4.19）的个解：，；由此可以找到（4.19）的个线性无关解，即基本解组。Euler方程：通过，可以将（4

5、.29）化为（4.19）的形式。特征方程：重实根对应（4.29）的个线性无关解：。重复根对应（4.29）的个线性无关解：。9常系数非齐线性微分方程的解法比较系数法：（1），其中是次多项式有特解：，其中，是待定的次多项式，为作为特征根的重数（2），其中是不高于次多项式。有特解：，其中，是待定的次多项式，为作为特征根的重数Laplace变换法：令，并利用性质：，将（4.32）化为关于的代数方程，解出，再做Laplace逆变换得到。10高阶方程的降阶（1）令，原方程化为阶方程（2）令，则，一般地可以用表示出。原方程化为阶的方程（3）齐线性方程的降阶若已知该方程的个线性无关的解：令，则原方程化为关于的

6、阶齐线性方程，并且的系数为零。再令，得到关于的阶齐线性方程和个线性无关的解：。重复上述步骤：可以得到阶齐线性方程。特别地，二阶齐线性微分方程：若已知一个非零解，则可以化为一阶齐线性方程，可解通解：（刘维尔公式）11线性微分方程组解的存在唯一性定理阶线性方程可以化为由个一阶线性方程组成的方程组定理：设是方阵，是维列向量，它们都在上连续，则对于和任意维列向量，方程组存在唯一解定义在上且满足初始条件。12线性微分方程组的解的结构（1）齐线性微分方程组：叠加原理：是（5.15）的解是（5.15）的解（5.15）的解在上线性无关在上，。（在a,b恒为0，或恒不为0）齐线性方程组通解结构定理： 是（5.1

7、5）的个线性无关解，则（5.15）的通解（所有解）可表示为：或表示为，其中基解矩阵，为任意列向量。注：（5.15）的基解矩阵存在，且具有性质：（i）是基解矩阵，是非奇异矩阵，则也是基解矩阵（ii），都是基解矩阵，则存在非奇异矩阵使得（2）非齐线性方程：（iii），解的性质：（i）(5.14)的解与(5.15)的解之和为(5.14)的解。（ii）(5.14)的两解之差为(5.15)的解。非齐线性方程通解结构定理： 是（5.15）的基解矩阵，而是(5.14)的解，则(5.14)的通解（所有解）可表示为：。已知（5.15）的基解矩阵，用常数变易法求得，(5.14)的满足初始条件的解：(5.14)的满

8、足初始条件的解：13常系数线性微分方程组的解法矩阵指数：是（5.33）的实基解矩阵，且。基解矩阵的求法：（1） 若有个线性无关的特征向量，它们分别属于，则（5.33）有基解矩阵; .特别地，互不相同时，结论当然成立。利用可以求实的基解矩阵。（2） 若没有个线性无关的特征向量时，即有重根的情形。设有个不同的特征值，重数分别为，其中，。对于每一个，解线性方程组，得到解空间于是，即，都有，其中，。此时，（5.33）满足初始条件：的解为：对于，按上述公式分别计算，., 可以求出复习题一、问答题1一阶线性微分方程的通解形式为 。2Clairaut方程：的通解为 ，奇解的参数方程为： 。3Bernoull

9、i方程：化为一阶线性方程的形式，需要做的变换 。4方程：是恰当方程的充要条件为 。5有仅与有关的积分因子的充要条件为 ，此时，积分因子为 。6有仅与有关的积分因子的充要条件为 。此时，积分因子为 。7微分方程（）的p-判别曲线为 。8阶齐线性微分方程存在且最多存在 个线性无关的解。9阶非齐线性微分方程存在且最多存在 个线性无关的解。10阶齐线性微分方程的个解构成的Wronsky行列式在方程系数连续的区间上只能恒为零或恒不为零，对吗？11设是阶齐线性微分方程的个线性无关的解，则方程的通解可表示为 。12设是阶线性微分方程的一个解，而是相应的齐线性方程的基本解组，则方程的通解可表示为 。13阶齐线

10、性微分方程的基本解组是否唯一？14齐线性微分方程组的基解矩阵必定存在，但不唯一。对吗？15设齐线性微分方程组的基解矩阵，则方程的通解可表示为 。16设是线性微分方程组的解矩阵，在区间上连续，则非奇异的充分必要条件是存在某个，使得。17设是的基解矩阵，则的满足初始条件的解为 。18叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理及其证明思路二、计算题1 解方程（变量分离）（1），（2）（3） 解：（1）及，（2）（3）2 解方程（齐次、可化为变量分离）（1），（2）（3），（4）解：（1），（2），（3），（4）3 解方程（一阶线性方程）（1），（2），（3），（4）解：（1），（2），（3）及，（4）4

11、解方程（Bernoulli方程）（1），（2），（3）解：（1）及，（2）及，（3）5 解方程（全微分方程）（1），（2），（3），（4）解：（1），（2），（3），（4）6 解方程（可化为全微分方程、积分因子）（1），（2），（3），（4）解：（1），（2），（3），（4）7解方程（隐式方程）（1），（2），解：（1），（2），8解方程（求可能的奇解满足p-曲线）（1），（2），（3），（4）解：（1），（2），（3）及，（4）9解方程（非线性高阶方程）（1），（2），解：（1），（2）及10解方程（高阶常系数齐线性方程）（1），（2），（3）解：（1），（2），（3）11解方程（高阶常系数非齐线性方程）（1），（2）的特解形式，（3）的特解形式，（4）解：（1），（2），（3），（4）12解方程（常系数线性方程组）（1）求方程组：的基解矩阵，实基解矩阵，及通解，其中。（2）求方程组：的基解矩阵，及满足初始条件的解和通解，其中。（3）求方程组：满足初始条件的解，其中，。解：（1），通解：（2），通解：（3），通解：三、 应用