勾股定理练习

1、一选择题（共16小题）1如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A1B2C3D42如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A+1B+1C1D3若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A13B13或C13或15D154已知ABC中，A=B=C，则它的三条边之比为（）A1：1：B1：2C1：D1：4：15已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）A3cm2B4cm2C6cm2D12cm26等腰三角形的

2、腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A13B8C25D647RtABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A8B4C6D无法计算8一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（）A4BC4或D29如图，RtABC中，C=90，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A150cm2B200cm2C225cm2D无法计算10点P（4，3）到原点的距离是（）A3B4C5D711如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A1B1CD1+12在RtABC中，三条边不可能满足的条件是（）Aa2b2=c2Ba2=b2=Ca2+b2=c2Da2=b2=c2

3、13如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（xy），下列四个说法：x2+y2=49，xy=2，2xy+4=49，x+y=9其中说法正确的是（）ABCD14如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且BC=3，则AM的长是（）A1.5B2C2.25D2.515如图，一架梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1米，则梯子顶端A下落了（）A1米B2米C3米D5米1

4、6如图，在55的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（）A6B7C8D9二填空题（共2小题）17已知a、b、c是ABC的三边长，且满足关系式+|ab|=0，则ABC的形状为18如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米三解答题（共12小题）19已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？20一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）

5、这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？21如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90，求四边形ABCD的面积22如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90，求证：A+C=18023已知a、b、c满足|a|+（c4）2=0（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由24已知：如图，在四边形ABCD中，B=90，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求DA

6、B的度数25如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？26如图，从高8米的电杆AC的顶部A处，向地面的固定点B处拉一根铁丝，若B点距电杆底部的距离为6米现在准备一根长为9.9米长的铁丝，够用吗？请你说明理由27如图，四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13试判断ACD的形状，并说明理由28三个半圆的面积分别为S1=4.5，S2=8，S3=12.5，把三个半圆拼成如图所示的图形，则ABC一定是直角三角形吗？说明理由29如图，

7、在正方形ABCD中，E是边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DC试判断BEF的形状，并说明理由30如图，在数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留画图痕迹）参考答案与试题解析一选择题（共16小题）1（2016株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A1B2C3D4【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的

8、求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3【解答】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c

9、2，S1+S2=S3（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3综上，可得面积关系满足S1+S2=S3图形有4个故选：D【点评】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握2（2016春高阳县期末）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A+1B+1C1D【分析】先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标【解答】解：图中的直角三角形的两直角边为1和

10、2，斜边长为：=，1到A的距离是，那么点A所表示的数为：1故选C【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离3（2016春浠水县期末）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A13B13或C13或15D15【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解【解答】解：当12是斜边时，第三边是=；当12是直角边时，第三边是=13故选B【点评】如果给的数据没有明确

11、，此类题一定要分情况求解4（2016秋北仑区期末）已知ABC中，A=B=C，则它的三条边之比为（）A1：1：B1：2C1：D1：4：1【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比【解答】解：A=B=C，A+B+C=180，A=30，B=60，C=90，c=2a，b=a，三条边的比是1：2故选：B【点评】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算特殊三角形边的比5（2016春阿荣旗期末）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）A3cm2B4cm2C6cm2D12

12、cm2【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角ABE中，利用勾股定理就可以求解【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，BE=EDAD=9cm=AE+DE=AE+BEBE=9AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2解得AE=4ABE的面积为342=6故选C【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方6（2016春石家庄期末）等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A13B8C25D64【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62

13、+x2=102，解得：x=8故选B【点评】本题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度7（2016春沧州期末）RtABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A8B4C6D无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值【解答】解：RtABC中，BC为斜边，AB2+AC2=BC2，AB2+AC2+BC2=2BC2=222=8故选A【点评】本题考查了勾股定理正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键8（2016春柳江县期末）一直角三角形两边分别为3和5，则第三边

14、为（）A4BC4或D2【分析】因为在本题中，不知道谁是斜边，谁是直角边，所以此题要分情况讨论【解答】解：当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是4；当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是=故选C【点评】注意此类题一点要分情况进行讨论，熟练运用勾股定理进行求解9（2016春恩施市期末）如图，RtABC中，C=90，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A150cm2B200cm2C225cm2D无法计算【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方两正方形面积的和为AC2+BC2，对于RtABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2AB长度已知，故可以

15、求出两正方形面积的和【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在RtABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，则AC2+BC2=225cm2故选C【点评】本题考查了勾股定理勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中10（2016春长春校级期末）点P（4，3）到原点的距离是（）A3B4C5D7【分析】先画图，根据图可知道OA=4，AP=3，再利用勾股定理可求OP【解答】解：如图所示，P点坐标是（4，3），OA=4，AP=OB=3，OP=5故选：C【点评】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识点，此题比较简单注意数形思想的应用11（2016春

16、南陵县期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A1B1CD1+【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB=，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上在直角BOC中，OC=2，BC=1，则根据勾股定理知OB=，OA=OB=，a=1故选A【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴找出OA=OB是解题的关键12在RtABC中，三条边不可能满足的条件是（）Aa2b2=c2Ba2=b2=Ca2+b2=c2Da2=b2=c2【分析】根据勾股定理直角三角形的两边的平方之和等于斜边的平方

17、，分别对每一项进行判断即可【解答】解：A在RtABC中，当A=90时，c2+b2=a2，a2b2=c2正确；B、a2=b2=c2，a2+b2=c2+c2=c2，正确；C、在RtABC中，当C=90时，a2+b2=c2，正确；D、在RtABC中，三条边不可能全相等，三条边不可能满足a2=b2=c2，错误；故选D【点评】此题考查了勾股定理，关键是灵活运用勾股定理，对每一个式子进行变形，判断出三角形的三边关系13（2010河池）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（xy），下列四个说法：x2

18、+y2=49，xy=2，2xy+4=49，x+y=9其中说法正确的是（）ABCD【分析】大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得x2+y2=49；小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即xy=2；还可以得出四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4xy+4=49，化简得2xy+4=49；其中x+y=，故不成立【解答】解：大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得x2+y2=49，故选项正确；小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2=x，即xy=2，故选项正确；根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面

19、积，即4xy+4=49，化简得2xy+4=49，故选项正确；，则x+y=，故此选项不正确故选B【点评】本题利用了勾股定理、面积分割法等知识14（2010柳州）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，且BC=3，则AM的长是（）A1.5B2C2.25D2.5【分析】连接BM，MB，由于CB=3，则DB=6，在RtABM和RtMDB中由勾股定理求得AM的值【解答】解：设AM=x，连接BM，MB，在RtABM中，AB2+AM2=BM2，在RtMDB中，BM2=MD2+DB2，MB=MB，AB2+AM2=BM2=BM2=MD2+DB2，即9

20、2+x2=（9x）2+（93）2，解得x=2，即AM=2，故选B【点评】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解15（2013海拉尔区校级二模）如图，一架梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1米，则梯子顶端A下落了（）A1米B2米C3米D5米【分析】根据梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理解答即可【解答】解：在RtABC中，AB=5m，BC=3m，根据勾股定理得AC=4米，RtCDE中，ED=AB=5m，CD=BC+DB=3+1=4米，根据勾股定理得CE=3，所以AE=ACCE=1米，即梯子顶端

21、下滑了1m故选A【点评】本题考查了勾股定理的应用，连续运用两次勾股定理，分别求得AC和CE的长，进一步求得AE的长16（2012连云港一模）如图，在55的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（）A6B7C8D9【分析】如图，在55的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数【解答】解：根据题意可得以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 8个故选C【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要注意找出所有符合条件的点二填空题（共2小题）17（2012巴中）已知a、b、c是ABC的三边长，且满足关

22、系式+|ab|=0，则ABC的形状为等腰直角三角形【分析】已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为0，两非负数同时为0，可得出c2=a2+b2，且a=b，利用勾股定理的逆定理可得出C为直角，进而确定出三角形ABC为等腰直角三角形【解答】解：+|ab|=0，c2a2b2=0，且ab=0，c2=a2+b2，且a=b，则ABC为等腰直角三角形故答案为：等腰直角三角形【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质：绝对值及算术平方根，以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握非负数的性质及勾股定理的逆定理是解本题的关键18（2008株洲）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落

23、在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是8米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边【解答】解：AC=4米，BC=3米，ACB=90，折断的部分长为=5，折断前高度为5+3=8（米）【点评】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力三解答题（共12小题）19（2013广东模拟）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果连接BD，在直角三角形ABD中

24、可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由RtABD和RtDBC构成，则容易求解【解答】解：连接BD，在RtABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在CBD中，CD2=132BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，DBC=90，S四边形ABCD=SBAD+SDBC=，=36所以需费用36200=7200（元）【点评】通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单20（2016贵阳模拟）一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（

25、2）如果梯子的顶端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【分析】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC的长，进而得出答案【解答】解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB=24（米），答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA=20米，BC=15（米），则：CC=157=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键21（2016春乐陵市期末）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，A=90，求四边形ABCD的面积【分析

26、】连接BD，根据已知分别求得ABD的面积与BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积【解答】解：连接BD，AB=3cm，AD=4cm，A=90BD=5cm，SABD=34=6cm2又BD=5cm，BC=13cm，CD=12cmBD2+CD2=BC2BDC=90SBDC=512=30cm2S四边形ABCD=SABD+SBDC=6+30=36cm2【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算连接BD，是关键的一步22（2016秋宜宾期末）如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，B=90，求证：A+C=180【分析】连接AC首先根据勾股定理求得AC

27、的长，再根据勾股定理的逆定理求得D=90，进而求出A+C=180【解答】证明：连接ACAB=20，BC=15，B=90，由勾股定理，得AC2=202+152=625又CD=7，AD=24，CD2+AD2=625，AC2=CD2+AD2，D=90A+C=360180=180【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及四边形内角和定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键23（2016春临清市期末）已知a、b、c满足|a|+（c4）2=0（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由【分析】（1）根据非

28、负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；（2）根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可【解答】解：（1）a、b、c满足|a|+（c4）2=0|a|=0，=0，（c4）2=0解得：a=，b=5，c=4；（2）a=，b=5，c=4，a+b=+54，以a、b、c为边能构成三角形，a2+b2=（）2+52=32=（4）2=c2，此三角形是直角三角形，S=【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键24（2016春西城区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，B=90，AB=BC=2，CD=3，AD=1，求DAB的度数【分析】由于B=90，A

29、B=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求BAC=45，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证ACD是直角三角形，于是有CAD=90，从而易求BAD【解答】解：B=90，AB=BC=2，AC=2，BAC=45，又CD=3，DA=1，AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，AC2+DA2=CD2，ACD是直角三角形，CAD=90，DAB=45+90=135故DAB的度数为135【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理解题的关键是连接AC，并证明ACD是直角三角形25（2016秋衡阳期末）如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同

30、地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？【分析】根据题目提供的方位角判定AOBO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度【解答】解：甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，AOBO，甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，OB=161.5=24海里，AB=30海里，在RtAOB中，AO=18，乙轮船航行的速度为：181.5=12海里【点评】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据题目提供的方位角判定直角三角形26（2004秋武侯区期中）如图，从高8米的电杆AC的顶部A处，向地面的固定点B处拉一根铁丝，若B点距电杆底部的距离为6米现在准备一根长为9.9米长的铁丝，够用吗？请你说明理由【分析】因为ABC是个直角三角形，因而根据勾股定理可求出AB的长，从而可判断绳子是否够用【解答】解：在ABC中，C=90，AB=10109.9所以绳子不够长【点评】本题考查直角三角形中，勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边的长和绳子