15.3.1等腰三角形的性质

1、第第15章章 轴对称图形与等腰三角形轴对称图形与等腰三角形课堂讲解课堂讲解课时流程课时流程12u等腰三角形的轴对称性、三线合一等腰三角形的轴对称性、三线合一u等腰三角形的边角性质：等边对等角等腰三角形的边角性质：等边对等角u等边三角形的性质：每个角都等于等边三角形的性质：每个角都等于60逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业 等腰三角形是一类特殊的三角形等腰三角形是一类特殊的三角形. .等腰三角形等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特除具有一般三角形的性质外，还具有什么样的特殊性质呢？殊性质呢？1知识点知识点等腰三角形的轴对称性、三线合一等腰三角形的轴对称性、三线合

2、一知知1 1讲讲等腰三角形的轴对称性：等腰三角形的轴对称性：“三线合一三线合一”定理定理1：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边结论：等腰三角形结论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高边上的高相相 互重合互重合(简称简称“三线合一三线合一”)知知1 1讲讲要点精析：要点精析：(1)含义含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是一组：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是一组定理，应用过程中，在三角形是等腰三角形前定理，应用过程中，在三角形是等腰三角形前提下，提下，“顶角的平分线、底边上的中线、底边顶角的平分线、底边上的

3、中线、底边上的高上的高”只要知道其中只要知道其中“一线一线”，就可以说明，就可以说明是其他是其他“两线两线”知知1 1讲讲(3)对称性对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线或底边上的高、底边上的中线)所在的所在的直线直线是它的对称轴是它的对称轴(2)作用作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要方法，应用广泛的重要方法，应用广泛知知1 1讲讲(4)应用格式应用格式：如图，在：如图，在ABC中，中，ABAC，ADBC，AD平分平分BAC(或或BDCD)；ABAC，BDDC，ADBC(或或A

4、D平分平分BAC)；ABAC，AD平分平分BAC，BDDC(或或ADBC)（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲例例1 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AD是是BC边上的中边上的中线，线，ABC的平分线的平分线BG交交AC于点于点G，交，交AD于点于点E，EFAB，垂足为，垂足为F.(1)若若BAD25，求，求C的度数；的度数；(2)求证：求证：EFED.知知1 1讲讲解：解： (1) ABAC，AD是是BC边上的中线，边上的中线， BADCAD， BAC2BAD50. ABAC， CABC11(180)(18050 ) 65.22BAC 知知1 1讲讲证明：证明： (2) ABAC，A

5、D是是BC边上的中线，边上的中线， ADBC，BDE90. EFAB， BFE90，BFEBDE. 又又BG平分平分ABC，FBEDBE. BE为公共边，为公共边， BDE BFE，EFED.（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲总总 结结等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一”的性质是证明角相等、线的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为题目的；因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一三线合一”的性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应的性质的应用也是单一的，一般得出一个结

6、论，因此应用要灵活在等腰三角形中，作用要灵活在等腰三角形中，作“三线三线”中中“一线一线”，利用利用“三线合一三线合一”是等腰三角形中常用的方法是等腰三角形中常用的方法 （来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲例例2 如图所示，如图所示，ABAE，BCDE，BE， AMCD，垂足为，垂足为M.求证：求证：CMMD.导引：导引：由已知由已知AMCD和结论和结论CMMD，联想到等腰三角形联想到等腰三角形“三线合一三线合一”的性质，由此连接的性质，由此连接AC，AD构造构造等腰三角形等腰三角形知知1 1讲讲证明：证明：如图，连接如图，连接AC，AD. 在在ABC和和AED中，中， ABC AED(SAS

7、)ACAD.又又AMCD，CMMD.AB AEBEBC ED ，知知1 1讲讲总总 结结对于单一等腰三角形构造对于单一等腰三角形构造“三线合一三线合一”的基本的基本图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根图形，作底边上的高、中线还是顶角平分线，可根据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形构造据解题需要作辅助线；对于叠合等腰三角形构造“三线合一三线合一”的基本图形，则需巧作辅助线，下面的基本图形，则需巧作辅助线，下面就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：就如下几种图形说明巧作辅助线的方法：知知1 1讲讲总总 结结知知1 1讲讲总总 结结1如图甲的情形，需作底边上的高；如图甲的情形，需作底边上的高

8、；2如图乙的情形，需作顶角平分线；如图乙的情形，需作顶角平分线；3如图丙的情形，需作中线；如图丙的情形，需作中线；4如图丁的情形，需连接如图丁的情形，需连接AD并延长再证其是并延长再证其是“三线三线”即可即可 （来自（来自点拨点拨）知知1 1练练1如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，ADBC于点于点D，DEAB于点于点E，DFAC于点于点F，下列结论：，下列结论：BADCAD；DEDF；BDCD；若点若点P在直线在直线AD上，则上，则PBPC.其中正确的是其中正确的是()A BC DD2知识点知识点等腰三角形的边角性质：等边对等角等腰三角形的边角性质：等边对等角知知2 2讲讲操作操作 画一

9、个等腰三角形画一个等腰三角形ABC，如图，如图(1).把边把边AB叠合到边叠合到边AC上，这时点上，这时点B与点与点C重合，并出现折痕重合，并出现折痕AD.知知2 2讲讲操作操作如图如图(2).观察图形：观察图形：ADB与与ADC有什么关系？有什么关系？图中哪些线段或角相等？图中哪些线段或角相等？AD与与BC垂直吗？为什么？垂直吗？为什么？等腰三角形是轴对称图形，底边上等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴的中线所在的直线是它的对称轴. .知知2 2讲讲等腰三角形的边角性质：等边对等角等腰三角形的边角性质：等边对等角定理定理1：等腰三角形的两底角：等腰三角形的两底角相等相等

10、(简称简称“等边对等角等边对等角”)要点精析：要点精析：(1)适用条件适用条件：必须在同一个三角形中：必须在同一个三角形中(2)应用格式应用格式：在：在ABC中，因为中，因为ABAC，所以，所以B C.(3)作用作用：它是证明角相等常用的方法，应用它可省：它是证明角相等常用的方法，应用它可省 去三角形全等的证明，因而更简便去三角形全等的证明，因而更简便 知知2 2讲讲例例3 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，BAC= 120，点，点 D，E是底边上两点，且是底边上两点，且BD=AD，CE=AE.求求DAE的度数的度数.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨

11、）解：解：AB=AC，（已知），（已知） B=C.（等边对等角）（等边对等角） B=C= 又又 BD=AD，（已知），（已知） BAD=B=30.（等边对等角）（等边对等角） 同理，同理，CAE=C=30. DAE=BAC- -BAD- -CAE =120- -30- -30=60. 1(180120 )=30.2 知知2 2讲讲 本例中去掉本例中去掉AB=AC这个条件，能否求得这个条件，能否求得DAE的度数？的度数？ 本题给你怎样的启示？本题给你怎样的启示？知知2 2讲讲例例4 (1)在在ABC中，中，ABAC，若，若A50，求，求B； (2)若等腰三角形的一个角为若等腰三角形的一个角为70

12、，求顶角的度数；，求顶角的度数； (3)若等腰三角形的一个角为若等腰三角形的一个角为90，求顶角的度数，求顶角的度数导引：导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三角形用三角形 的内角和定理与等腰三角形的两底角相的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角不确等的性质求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两种情况求解定，则要分两种情况求解知知2 2讲讲解：解：(1)ABAC，BC.ABC180，502B180，解得，解得B65.(2)当底角为当底角为70时，顶角为时，顶角为18070240.当顶角为当顶角为7

13、0时，时，70即为所即为所求因此顶角为求因此顶角为40或或70.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）(3)若顶角为若顶角为90，则底角为，则底角为若底角为若底角为90，则三个内角的和将大于，则三个内角的和将大于180，不符合三角形内角和定理不符合三角形内角和定理因此顶角为因此顶角为90.1809045.2 知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总总 结结 在等腰三角形中求角在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确时，要看给出的角是否确定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的定为顶角或底角若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是内角和定理求解；若没有指出所给的角是

14、顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理若等腰三角形中给出的一内角是直角或角和定理若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角钝角，则此角必为顶角 知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）例例5 （广西贺州广西贺州）如图，在等腰）如图，在等腰ABC中，中，ABAC，DBC15，AB的垂直平分线的垂直平分线MN交交AC于点于点D，则则A的度数是的度数是_50知知2 2讲讲导引：导引：根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得相等可得ADBD，根据等边对等角可得，根据等边对等角可得A

15、ABD，然后表示出，然后表示出ABC，再根据等腰三，再根据等腰三角形两底角相等可得角形两底角相等可得CABC，然后根据，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可三角形的内角和定理列出方程求解即可知知2 2讲讲MN是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，ADBD，AABD，DBC15，ABCA15，ABAC，CABCA15，AA15A15180，解得解得A50.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲总总 结结（来自（来自点拨点拨）由线段的垂直平分线可以得到相等的线段，由线段的垂直平分线可以得到相等的线段，运用等腰三角形性质可以将同一个三角形中线段运用等腰三角形性质可以将同一个三角形中线段的相等关系转

16、化为所对内角之间的相等关系的相等关系转化为所对内角之间的相等关系 知知2 2讲讲例例6 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB= AC，点，点D在在AC上，且上，且BD=BC=AD，求，求A和和C的度数的度数.（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲解：解：AB=AC，BD=BC=AD，（已知），（已知） ABC=C=BDC，A=ABD.(等边对等角）等边对等角） 设设A=x，则，则BDC=A+ABD=2x. （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ABC=C=BDC=2x, x+ 2x + 2x=180.(三角形内角和等于三角形

17、内角和等于 180） 解方程，得解方程，得x= 36. A=36，C=72.（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲例例7 求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等形全等.已知：如图已知：如图(1)，在，在RtABC和和RtABC 中，中，C=C=90，AB=AB，AC=AC. 求证：求证：RtABC RtABC.本例是本例是14.2节中已经学过节中已经学过的判定两个直角三角形全的判定两个直角三角形全等的定理等的定理“HL”的证明的证明.知知2 2讲讲证明：证明：在平面内移动在平面内移动RtABC和和RtABC，使点，使点A和和点点A、点、点

18、C和点和点C重合，点重合，点B和点和点B在在AC的两侧的两侧图图(2). BCB=90+90=180,（等式性质）（等式性质） B，C，B三点在一条三点在一条直线上直线上.（平角的定义）（平角的定义）知知2 2讲讲证明：证明：在在ABB中，中， AB=AB， ( (已知已知) ) B=B.( (等边对等角等边对等角) ) 在在RtABC和和RtABC中，中， RtABC RtABC. ( (AAS) )ACBACBBBAB AB ， （ 已已 知知 ）， （ 已已 证证 ）， （ 已已 知知 ）（来自教材）（来自教材）知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）1(中考中考盐城盐城)若等腰三角形的

19、顶角为若等腰三角形的顶角为40，则它的底，则它的底角度数为角度数为() A40 B50 C60 D70D知知2 2练练(中考中考湘西州湘西州)如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，BD平分平分ABC，A36，则，则1的度数的度数为为()A36 B60 C72 D1082（来自（来自典中点典中点）C3知识点知识点等边三角形的性质：每个角都等于等边三角形的性质：每个角都等于6060知知3 3讲讲等边三角形的性质等边三角形的性质1.定义：三边都定义：三边都相等相等的三角形是等边三角形的三角形是等边三角形 要点精析要点精析： (1)它是特殊的等腰三角形，具备等腰三它是特殊的等腰三

20、角形，具备等腰三角形的所有性质；角形的所有性质；(2)它是特殊的等腰三角形，任意它是特殊的等腰三角形，任意两边都可以作为腰，任意一个角都可以作为顶角两边都可以作为腰，任意一个角都可以作为顶角知知3 3讲讲2性质：性质：(1)等边三角形的三边都相等；等边三角形的三边都相等；(2)等边三角等边三角形的三个内角形的三个内角相等相等，每一个内角都等于，每一个内角都等于60.(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、各边上的高、中线、对角的平分线重合，且长度相等对角的平分线重合，且长度相等

21、 知知3 3讲讲例例8 如图，如图，ABC是等边三角形，是等边三角形，D，E， F分别是三边分别是三边AB，AC，BC上的点，上的点， 且且DEAC，EFBC，DFAB， 计算计算DEF各个内角的度数各个内角的度数知知3 3讲讲导引：导引：要计算出要计算出DEF各个内角的度数，有两个途径，各个内角的度数，有两个途径，即证即证DEF 为等边三角形或直接求各个内为等边三角形或直接求各个内角的度数，由垂直定义及等边三角形的性质，角的度数，由垂直定义及等边三角形的性质，显然直接求各个内角的度数较容易显然直接求各个内角的度数较容易 知知3 3讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：因为因为ABC是等边三角形，

22、是等边三角形， 所以所以ABC60. 因为因为DEAC，EFBC，DFAB， 所以所以AEDEFCFDB90， 所以所以ADE90A906030， 所以所以EDF 180309060. 同理可得同理可得DEFEFD60. 即即DEF各个内角的度数都是各个内角的度数都是60.知知3 3讲讲总总 结结（来自（来自点拨点拨）利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都用等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都为为60的性质，找出要求角与已知角间的关系来进的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行计算；有时还要结合全等图形

23、等知识来解决行计算；有时还要结合全等图形等知识来解决知知3 3讲讲 例例9 如图，已知如图，已知ABC，BDE都是都是 等边三角形求证：等边三角形求证：AECD.导引：导引：要证要证AECD，可通过证分别含，可通过证分别含有有AE，CD的两个三角形全等的两个三角形全等来实现，即证来实现，即证ABE CBD，所需条件可从等边三，所需条件可从等边三角形中去寻找角形中去寻找（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲证明：证明：ABC和和BDE都是等边三角形，都是等边三角形， ABBC，BEBD，ABCDBE60. 在在ABE与与CBD中，中，ABE CBD(SAS)AECD. ,BDBECBDABECBA

24、B（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲总总 结结（来自（来自点拨点拨）运用等边三角形性质证明线段相等的方法：运用等边三角形性质证明线段相等的方法：把把要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等要证的两条线段放到一个三角形中证其为等腰或等边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形边三角形或者放到两个三角形中，利用全等三角形的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三的性质证明；注意等边三角形的三个内角相等、三条边相等、三线合一是隐含的已知条件条边相等、三线合一是隐含的已知条件 知知3 3讲讲例例3 如图，如图，ABC是等边三角形，分别延长是等边三角形，分别延长AB至点至点F，BC至点至点D，CA至点至点E，使，使AF3AB，BD3BC，CE3CA，求证：求证：DEF是等边三角形是等边三角形导引：导引：利用等边三角形定义判定利用等边三角形定义判定（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲证明：证明：ABC是等边三角形，是等边