工程经济学例题与练习

1、第二章 资金的时间价值一、例题【例】有一笔50000元的借款，借期3年，年利率为8%试分别计算计息方式为单利和复利 时，其应归还的本利和。【解】用单利法计算：F = P(1+i n) = 50,000 x (1+8%x 3) = 62,000(元)用复利法计算：Fn=P(1+i)n=50,000 x (1+8%)3=62,(元)【例题2-3】现设年名义利率r二15%，贝U计息周期为年、半年、季、月、日、无限小时的年实际利率为多少？解：年名义利率r = 15%时，不同计息周期的年实际利率如下表年名义利率(r)计息周期年计息次数(m)计息周期利率(i = r/m)年实际利率(ieff )15%年1

2、15%半年2%季4%月12%周52%日365%无限小OO无限小%、练习(1) 假设年利率i=6%,第一年初存入银行100元，且10年中每年末均存入100元，试计算:1.到第十年末时的本利和？2其现值是多少？3.其年金是多少？解：首先画出现金流量图如图1所示，图1可转化为图2 1F1。 110年-11。11 10 年1000110011图1图2那么结果为：111.(1 0.06) 1F A(F/A,6%,1 1)1001497.16(兀)2、P A(P/A,6% ,1 0)呷 0.0610 1A100 10-100836.01(兀)10假设五年后一次还清本息共应归还本息多少元？假设五年内每年末归

3、还当年利息，第五年末还清本息，五年内共还本息多少元？假设五年内每年末归还等额的本金和当年利息，五年内共还本息多少元？等额本金还4 款5假设五年内每年末以相等的金额归还这笔借款，五年内共还本息多少元？等额本息还这四种方式是等值的吗?103、1 0.060.06/一、A P(A/P,6%,1 0) 836.01而113.59(兀)1 0.06 1(2) 年利率i=12%,某企业向金融机构贷款100万元。(1)(2)(3)款)(1)FP(1i)r1 10051 0.12176.23 (万元)(2)TPi nP 125100160万元(3)T100i80 i60 i 40i 20i 100129.67

4、.24.82.4100136 万元(4)51 0.120.12AP(A/P,12% ,5)100527.7410.121TA527.745138.7 (万元)0万元解：(5)同理，由得8000 10000.0905 n以上四种方式是等值的.某人存款1000元，8年后共得本息2000元，这笔存款的利率是多少？假设欲使本息和翻两 番，这笔钱应存多少年？ 解：由nF P 1 i得2000 10009.05%1.0905 n24(年)ln8 nIn 1.0905四、复利计算：1 年利率r=12%按季计息，1000元现款存10年的本息和是多少？2 年利率r=12%按月计息，每季末存款300元，连续存10

5、年，本利和是多少？3年利率r=9%,每半年计息一次，假设每半年存款 600元，连续存10年，本利和是多少?F 1000 10.1210 4(2)由(3)由300 -i半年600五、证明:(1) (P/A,证明：右式=通分后有:4m1 m3d 0.031 -3400.03030.03033262.04 (元)3.03%22774.84 (元)丄 009 0.045m 2201 0.045118822.85 (元)0.045i,n )=(P/A,i, n-1)+(P/F,i, n)n 1i.ni1FT11iini1(P/A,i, n)1 i i左式(2) P (A/P, i , n)-L(A/F

6、, i ,P为原值，L为残值的固定资产的折旧(年金)的计算 证明：左式=Pn) = (P-L)(A/P, i , n)+Lin1 i in1 i1 L 1 in，减一个Li1n_i11ni i1 i n1 11ni i1ni 1PLPL上式中加一个LinP 1 i ip Ln=右式Li Lin丄Li1六.假设你从9年前开始，每月月初存入银行50元，年利率为6%按月复利计息，你连续存 入71次后停止，但把本息仍存在银行。你方案从现在起一年后，租一套房子，每月月末付100元租金，为期10年。试问：你的存款够支付未来 10年房租吗?解：5070108121240 月i 月0.5%12F 50(F/A

7、 ,i, 71)(150i)7110.0051505010.0055452.680.005A 5452.68(A/ P,i,n)1201 0.0050.0055452.68佃1 0.0051=元100 元故这笔存款不够支付10年房租。七.某人借了 5000元，打算在48个月中以等额按月每月末归还，在归还 25次之后，他想以一次支付的方式归还余额，假设年利率为 12%按月计息，那么,1假设他在第26个月末还清，至少要还多少？2假设他在第48个月末还清，至少要还多少？解：首先画出现金流量图牛5000I玄0 125 26 | 48V月+IAT26=？常 T48=?12%121%A P(A/P ,12

8、%, 48)50001 0.01 48 0.011 0.01 48 1131.67u2648 j 月-T26T 26A(P/A,1% ,2 2) A131.67221 0.01 1131.672720.35 元0.01同理832.32 元26282648舁 月25 648 屮 月IT48=?0 123|召T481 0 01 23 1T48A(F/A,1%,2 3)131.673386.07 元0.01八.某公司1998年1月1日发行2004年1月1日到期、利息率为8%勺半年计息并付息一次、面值为1000元的债券。如果某人拟购此债券，但他希望能获得年利率为12%按半年计息的复利报酬，问在1998

9、年1月1日该债券的价值是多少？解:A100040仆hr=12%、P=?转化为5000AX0 0 112半年、P= ?i=6%A(P/A ,6% ,12)1000(P/F ,6% ,12)128% 1 0.06 1 10001000旷1 .234 5(4年);iP=?12%88i4 年1 1 0.06 0.06 1 0.06九.某工厂购置了一台机器，估计能使用20年，每4年要大修一次，每次大修费用假定为5000 元，现在应存入银行多少钱才足以支付 20年寿命期间的大修费支出？按年利率 12%每半年计息一次。解：画出现金流量图5000500050005000AAA159.38%841 0.5938

10、1P A(P/A, i, n)5000 47115.39 元1 0.59380.5938第三章投资方案的评价指标一、练习一.假设某工程现金流量图如下, 益率。单位：万元ic=10%。试求工程的静态、动态投资回收期，净现值和内部收R= 8012100150ic=10%解：上图可转化为单位：万元R= 80305012100 150ic=10%-kI1.2.工程的静态投资回收期I *=100+150-30-50=170I170P-3t R80工程的动态投资回收期*3I 100110%150万元5.13210%30 1 10%5030万元Pt, 彳 231.60.1ln 18001In 136.593

11、.工程的净现值NPV 10%1001501 0.1301 0.1 2500.1 38091 0.1 10.1 12 0.1=万元4.工程的内部收益率NPV IRR 100 型一1 IRR3021 IRR501 IRR8091 IRR112 01 IRR IRR设：r 1=20%那么 NPV =r 2=25% 那么 NPV =IRR 20% (25%20%)21.27%11.387333.3502.如果期初发生一次投资，每年末收益相同，在什麽条件下有:Pt IRR 1解：画出该工程的现金流量图R根据定义有:PtNPV IRRR1 I R1由上式I1IRRn1R1IRRnIRR亦即P 1IRRn1

12、t1IRRnIRR所以Pt IRRIRR 01nIRR1又因为1nIRR即(1+IRR) 1所以，当1 n趋于时，1 IRR11 IRR因而，当1 nx时，Pt IRR1I1n0nIRRIRR10IRR此题表示如果建设工程寿命较长，各年的净现金流量稳定且大致相等的话，工程的 等于Pt的倒数。IRR三.现金流量如以下图,试求Pt与IRR、M N之间的关系。Ail. /卜0 1M M1+1NlI解：根据指标的定义，有:MI “P tMAI 1 IRRIRR所以有 丄A1 IRR1 IRRMN M1IRR_I 即PA1 IRRN M1 IRR1 IRR1N M1 IRR1 IRRN -M40 11n

13、Ic年I第四章多方案的比选、例题【例】有4个方案互斥，现金流如下，试选择最正确方案。ic=15%工程1234现金流00-5000-8000-10000万元110年0140019002500Pt1 IRR1 IRRIRRM (1(1 IRR) N 1IRR)_N1 _IRR此式说明工程建设期 M工程总寿命N、静态投资回收期Pt与内部收益率IRR之间的关系四假设现金流量图如下，试求证当n-x时，NpvicPt证明： NPVAnIcIcnNPVNPVIcAIcn1 Ic 1n1 Ic因为 limnn1 Ic1n1 Ic所以 NPV Ic又因为P 丄t AIA所以 NPVA i1PtNPV 15500

14、0140010.15101010.150.152026.18(万元)比拟方案3与2,根据现金流量差额评价原那么，应有A NPV 15 3 280005000(19001400)(P/A, 15%,10)490.62(万元)0说明方案2优于3。再比拟方案2和4。A NPV 15 4 2100005000(25001400)(P/A, 15%,10)520.65(万元)0说明方案4优于2。因为方案4是最后一个方案，故4是最正确方案。【例】有4个方案互斥，现金流如下，试选择最正确方案。ic=15%工程1234现金流00-5000-8000-10000万元110 年0140019002500解：同理，

15、因为1方案净现值为零，故取2方案为基准方案A NPV(A IRR 3 2)3 2得：AIRF3 210.59% ic再比拟方案2和4。A NPV A IRR4 2 4 2得：A IRR 4 217.69%1比拟方案3与2,根据现金流量差额评价原那么，应有3000500 P, A, A IRR 3 2,10015% 说明方案2优于3。50001100 PA, A IRR4 2,100ic 15% 说明方案4优于2。因为方案4是最后一个方案，故4是最正确方案。【例】4种具有相同功能的设备 A B C、D,其使用寿命均为10年，残值为0,初始投资和 年经营费如下。假设ic=10%，试选择最有利设备。

16、4种设备的原始数据单位：万元设备ABCD初始投资30384550年经营费18解：由于功能相同，故可只比拟费用；又因为各方案寿命相等，保证了时间可比，故可利用 净现值指标的对称形式一一费用现值指标 PC选优。判据是选择诸方案中费用现值最小者。 解：PCa103018 PA,10%,10140.6PCb103817.7PA,10%,10146.8PCc104514.7PA,10%,10135.3PC105013 2P 10% 10131 1所以，应该选择设备D。2经济性工学的解法第一步：按投资额由小到大排序后，先根据静态数据淘汰无资格方案。单位：万元设备投资I年经营费CR AICai无资格万案重算

17、 R /无资格万案重算 R/ /IA3018180.63018 0.63018z0.630B381817.7B38300.037517 714 71814.7CC4545380.428645300.2214.713.21813.2D50504550300.30.24第二步：从剩余方案中比选最优方案。本例中仅剩A、D两种设备备选，假设用 IRR指标，那么应令0A ,100.2420% ic 10% I A p , IRR, n AR 代入数据，那么有A p , IRR d IRR“D A故应选择设备Do【例】如果设备A B C D的投资、收益数据如下表所示，各方案寿命均为无限大。设备工程ABCD

18、初始投资万元20304050年净收益万元试问：1假设：ic = 10%，应选哪种设备?2 ic在什么区间，选择B设备最为有利？解：第一步，按投资额由小到大排序后，先根据静态数据淘汰无资格方案。单位：万元设备投资1年收益C r/ AI无资格方案人I IRR排序A20AB3018%C40CD5012%因为 nx, (p/A ,i, g ) =1/i ,可知，n g时的 |RR=A R/ I。 第二步：根据上表计算结果绘出排序图。 IRR1812ic 二 10%0B1 .1B D10 1 2 3 4 5 I(万元) IRR排序图所以，由 NPV=A R ( P/A , IRR , g ) - I =

19、 0 ,第三步：可根据 IRR ic，选优: 当ic = 10%时，显然 IRR0 b和 IRRb-d都符合标准，因此应选择 D设备。 根据上述准那么，12% ic d 二12%vic,不符合选中的标准。也就是说，按经济性工学应选择 IRR由大于ic转变为小于ic之前的增量方案。如1 中的B D，即D设备和2中的0B，即卩B设备。【例】有A、B两种设备均可满足使用要求，数据如下:设备投资I万元每年净收益万元寿命年A10004004B20005306假设有吸引力的最低投资收益率 MARR=1Q%试选择一台经济上有利的设备解：A、B寿命期不同，其现金流如下:40053010002000其最小公倍数

20、为12年 1A 1卜 A I0 1、；45、e 912400400400年1000 1000 1000A530530ANPVA 1000400 (1 0J441 (1 0.1)4 0.111(1 0.1)4琵575.96(万元)NPVB 200061 0.1 1 n530 6 1 0.1 0.11p0p482.31(万元)因为NPV，NPV，,又因为A工程与A工程等效；B 工程与B工程等效，故A工程优 于B工程。【例】某厂为增加品种方案，考虑了两种方案产量相同，收入可忽略不计，假定ic=15%,现金流如下：0V1250屮140:;6项目AB初期投资万元12501600年经营本钱万元340300

21、残值万元100160寿命年69解：画出现金流量图100LV1601V30016001第一种不成认方案未使用价值。取6年为研究期：PC A 12503401049(万兀610.150.15610.15PC1600B1300i10.1561160=2666.1万兀610.150.15(10.15 )6因为PCVPCB1,此时A方案优于B方案(2)预测方案未使用价值在研究期末的价值并作为现金流入量。(这种方法取决于对处理回收预测的准确性。如果重估值有困难，一般采用回收固定资产余值。)1600 160残值 16036409610 151640一一PC 1600300 .6 6

22、 = 2458.66 (万兀)B26610.150.1510.15因为P(AP(B2,所以B方案优于A方案。二、练习一.两个互斥的投资方案A、B,基准贴现率在什么范围内应挑选方案 A?在什么范围内应挑选 方案B?净现金流量如下表：万案年末净现金流量(兀)01234A-1000100350600850B-10001000200200200解：首先计算出A B工程及A、B差额工程的内部收益率。IRRA=23%IRRB=34% IRRA-B=13%( NPV=NPV)但由于这里A、B工程的投资相等，所以不能用前面的原理来选择，即用投资多的工程减 去投资少的工程，假设此时的 IRRic，贝U投资多的工

23、程优于投资少的工程。我们可以通过画图的方式来选择。由上图看出：当0 ic 13% 时，选A工程当13% ic 34%时，选B工程.具有同样功能的设备 A、B,有关资料如下表；不计设备残值，假设两台设备的使用年限均为8年，贴现率为13%设备初始投资产品加工费A20万元8元/件B30万元6元/件(1) 年产量是多少时，设备 A有利？(2) 假设产量为13000件/年，贴现率i在什麽范围时，A设备有利？(3) 假设产量为15000件/年，贴现率为13%使用年限为多长时，A设备有利?解：(1)设年产量为Q万件,20 Q 810.13810.13解得：Q % 此时选择设备A有利。(3)PC An10.1

24、311.5810.130.13PCB301.5n0.13n16 -10.130.130.130.130.131.13 n1nIn 1.13In 1.76471.13 n1.76473.33333.3333n10.131n1解得 n 1710iic1ic7ic1ic7ic1717ic01ic11ic7icI1ic7ic即：10004001000 20020004803.33332.554.16673.33331- 4.16671 ic ic4.160471 ic 171 ic4.8684ic厂当ic=25%得 %ic %彳-71ic:丁.1 ic ic3.1611当 ic=20%71 ic 17

25、1 ic ic3.60462差额内部收益率法欲使B方案不仅可行而且最优，那么有:1000 IRRB IRRc IRRd IRRbBicicicic对于方程1当 r1 =35%方程1左边=100020003000当 r2 =40% 对于方程2当 r1 =10%当 r2 = 5%对于方程3方程1左边=方程2左边=方程2左边=当 r1 =15%当 r2 =10%对于方程4当 r1 =25%方程3左边=方程3左边=方程4左边=当 r2 =20%联立以上4个方程结果，有方程4左边=1 irrdBA117 IRRb a IRRbA1 irr_C7B11 iRRc-b 7 iRRcB1 irrd7B117

26、IRRd b IRRdB74000200048000900 1 IRR1 IRR a 71BB7 IRRB irrb IRRC IRRdIRRb35.15%9.28%14.96%23.06%icicicic设备投资1年收益 r/ 一无资格重算无资格重算14.96% ic 23.06%(3)经济性工学解法R iR万案万案A20005005000.25A20009005009000.3900B300090030000.42000300030000.31100900C4000110040000.23000C138011001380900D5000138050000.28300050000.24300

27、0由上表可淘汰A、C方案，故只需计算B、D方案NPV 口 0BIRR B ic IRRd b ic NPVd b 0或所以有14.96%ic23.06%思考：能否求出ic在什么范围时，A或者C方案不仅可行而且最优。A或者C方案为无资格方案，无论ic在什么范围都不可能成为最优方案.如果有A B、C、D四个互斥投资方案，寿命期为无穷大，其它数据如下:万案ABCD投资I万元100200300400净现金流量R万元103645601假设ic=10%,应选哪个方案?2假设希望B为最优投资规模，ic应调整在什麽范围? 解：1求各个方案的NPV因为寿命为无穷大，故NPV可表示如下；NPV(10 =1ic )n1I旦I R -=1ic)icic1000.136NPVA10100NPVB10200NPVC10300NPVD104000.1450.160