d定积分在几何上的应用PPT学习教案

1、会计学1d定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )近似值精确值第二节 第1页/共32页三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 第六六章 第2页/共32页ybxa)(2xfy )(1xfy O1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,bab

2、xax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd第3页/共32页22,xyxy在第一象限所围所围图形的面积 . 解解: 由xy22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1第4页/共32页Oxy224 xyxyxy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy44236

3、1y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有42Ayyyd第5页/共32页ab12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxxdxyO第6页/共32页xya2O)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin

4、162042216a4321223 a20Attad)cos1 (2022第7页/共32页,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A xO第8页/共32页对应 从 0 变解解:)0(aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积 . a2xO第9页/共32页心形线 xa2Ottadcos82042所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令

5、28a43212223a心形线第10页/共32页定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnM当折线段的最大边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称OAByx第11页/共32页sdabyxO)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs第12页/共32页)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tt

6、td)()(2222)(d)(ddyxs第13页/共32页)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)第14页/共32页ttyxdcos2解解:,0cosx此题22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos2220022sin222x4第15页/共32页)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttas

7、d2sin2202cos22ta02a8xyOa2第16页/共32页d222aa相应于 02一段的弧长 . 解解:)0(aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aaxa2Oar 第17页/共32页设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,第18页/共32页Oxy)(yx2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时,有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成

8、的立体体积时,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy x第19页/共32页ayxb12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x第20页/共32页a2xyO)cos1 ()sin(tayttax)0(a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称利用对称性性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)

9、cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202第21页/共32页xyOa2a)cos1 ()sin(tayttax)0(aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注)(1yxx 注 第22页/共32页并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRR

10、xxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .ORxyx第23页/共32页1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A第24页/共32页P300面积：面积：1（1），（），（3），），2（2），），6， 体积：体积：8（1），（），（2），），9弧长：弧长：13（1），（），（2）第25页/共32页一、一、 变力沿

11、直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体的侧压力液体的侧压力三、三、 引力问题引力问题定积分在物理学上的应用 第六六章 第26页/共32页设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到,bx 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(第27页/共32页一个单求电场力所作的功 . qOrabrrrd11解解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 第28页/共32页面积为 A 的平板设液体密度为 深为 h 处的压强: hgph当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为第29页/共32页小窄条上各点的压强xgp332Rg 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图.所论半圆的22xRy)