D几何中的应用PPT学习教案

1、会计学1D几何中的应用几何中的应用2:2: 空间直线与平面的方程空间直线与平面的方程空间直线的点向式方程空间直线的点向式方程: :空间平面的点法式方程空间平面的点法式方程: :000 xxyyzzmnp000()()()0A xxB yyC zz第1页/共33页过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置位置.TM空间光滑曲线在点空间光滑曲线在点 M 处的处的切线切线为此点处为此点处割线的极限割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停点击图中任意点动画开始或暂停第2页/共33页)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方

2、程之分母同除以得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTMM:的方程割线MM第3页/共33页)(00 xxt此处要求此处要求)(, )(, )(000ttt也是也是法平面的法向量法平面的法向量,切线的方向向量切线的方向向量:称为称为曲线的切向量曲线的切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如个别为如个别为0, 则理解为分子为则理解为分子为 0 .M不全为不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得因此得法平面方程法平面方程 T第4页/共33页zyxo求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 kz

3、RyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程切线方程 Rx法平面方程法平面方程xR022kzkxR即即002RykRzRxk即即解解: 由于由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为对应的切向量为0)(2kzk在在),0,(kRT, 故故第5页/共33页2. 曲线方程为曲线方程为( )( )yxzx000(,):M xyz则 在点处的切线方程000001()()xxyyzzxx000(,):M xyz则 在点处的法平面方程00000()()()()()0 xxxyyxzz( )( )xxy

4、xzx第6页/共33页光滑曲线光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点曲线上一点),(000zyxMxyz, 且且有有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 时时, 可表示为可表示为处的切向量为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(, )(, 100 xxT第7页/共33页 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx Myx

5、GF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zzMMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(第8页/共33页0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yyMxzGFxxMzyGF0)(),(),(0zzMyxGF第9页/共33页0,6222zyxzyx在点在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程切线方程121zyx解法解法1 令令,222zyxGzyxF则则即即0202yzx切向量切向量;0),(),

6、(MxzGFMzy1122Mzy)(2;60666),(),(MyxGF)6,0, 6(T第10页/共33页0) 1(6)2(0) 1(6zyx即即0 zxxxzzxyydddd解法解法2. 方程组两边对方程组两边对 x 求导求导, 得得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点曲线在点 M(1,2, 1) 处有处有:切向量切向量解得解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1第11页/共33页切线方程切线方程121zyx即即0202yzx法平面方程法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即即0 zx点点 M (1,2, 1)

7、 处的处的切向切向量量011)1,0, 1(T第12页/共33页小结小结:空间直线的切线与法平面方程空间直线的切线与法平面方程( )1) :( )( )xtytzt切线方程切线方程000zzyyxx)(0t)(0t)(0t)(00 xxt)( )(00yyt0)(00zzt法线方程法线方程第13页/共33页( )2)( )yxzx000001()()xxyyzzxx00000()()()()()0 xxxyyxzz切线方程切线方程法线方程法线方程第14页/共33页( , , )03) :( , , )0F x y zG x y z 000zzyyxxMzyGF),(),(切线方程切线方程法平面

8、方程法平面方程MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz第15页/共33页0),(:zyxF设设 有有光滑曲面光滑曲面通过其上定点通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点对应点 M,)(, )(, )(000ttt不全为不全为0 . , )(, )(, )(:tztytx且且任意任意引一条光滑曲引一条光滑曲线线则则 在在切线方程为切线方程为)()()(000000tzztyytxx点点 M 的的切向量切向量为为)(, )(, )(000tttTMT第16页/共33页下面证明下面证

9、明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面. 上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上. MT第17页/共33页MT在在 上上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令令nT 切向量由于曲线由于曲线 的任意性的任意性 , 表明这些切线都在以表明这些切线都在以

10、为法向量为法向量n的平面上的平面上 , 从而切平面存在从而切平面存在 .n第18页/共33页)( ),(0000 xxzyxFx曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第19页/共33页)( ),(000 xxyxfx曲面曲面时时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点则在点),(zyx故当函数故当函数 ),(yxf),(00yx1)

11、,(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令令有在点),(000zyx在点在点有连续偏导数时有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0()0zz,xxfF 切平面方程切平面方程第20页/共33页,法向量法向量用用2211cosyxff将将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff表示法向量的方向角表示法向量的方向角, 并假定法向量方向并假定法向量方向.为锐角则分别记为分别记为则则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上向上,) 1, ),(, ),(0000yxfyxfnyx第21页/共33页3632222zyx在点在

12、点(1 , 2 , 3) 处的处的切切平面及法线方程平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量法向量令令)6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n第22页/共33页zyx222zyx在点在点),(000zyxM解解: 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切, 故故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点又点 M

13、在球面上在球面上,32202020azyx故于是有于是有000zyx2a相切相切.333a与球面与球面, ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有因此有20y20z2第23页/共33页1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程 000zzyyxx法平面方程法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲空间光滑曲线线切向量切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT第24页/共33页( )2)( )yxzx000001()()xxy

14、yzzxx00000()()()()()0 xxxyyxzz切线方程切线方程法线方程法线方程切向量切向量00(1,(),()Txx第25页/共33页切线方程切线方程法平面方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量切向量,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zzT第26页/共33页空间光滑曲面空间光滑曲面0),(:zyxF曲面曲面 在点在点法线方

15、程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况隐式情况 .的的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第27页/共33页空间光滑曲面空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222y

16、xyyxxffffff法线的法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn第28页/共33页1. 如果平面如果平面01633zyx与椭球面与椭球面相切相切,提示提示: 设切点为设切点为, ),(000zyxM则则223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行二法向量平行) (切点在平面上切点在平面上)(切点在椭球面上切点在椭球面上)第29页/共33页证明证明 曲面曲面)(xyfxz 上任一点处上任一点处的的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此则通过此0()0zz)(0 xxxzM)(0yyyzM证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为点的切平面为第30