D671对坐标曲线积分PPT学习教案

1、会计学1D671对坐标曲线积分对坐标曲线积分函数函数(物理量的分布物理量的分布)数量场数量场 (数性函数数性函数)场场向量场向量场(矢性函数矢性函数)如如: 温度场温度场, 电势场等电势场等数量场的等值面数量场的等值面( , , )u x y zc向量场的向量线向量场的向量线( , , )( , , ), ( , , ),( , , )A x y zX x y z Y x y z Z x y z第1页/共31页1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xOy 平面内从点平面内从点 A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L 移动到点移动到点

2、 B, 求移求移cosABFW “大化小大化小” “常代变常代变”“近似和近似和” “取极限取极限”恒力沿直线所作的功恒力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO第2页/共31页1kMkMABxy2) “常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功为,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykxO第3页/共31页4) “

3、取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中其中 为为 n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO第4页/共31页设设 L 为为xOy 平面内从平面内从 A 到到B 的一条的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二

4、类曲线积分第二类曲线积分.其中其中, ),(yxPL 称为称为积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线 .称为称为被积函数被积函数 , 在在L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作记作),(yxF),(yxQ第5页/共31页LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若若 为空间曲线弧为空间曲线弧 , 记记称为对称为对 x 的曲线积分的曲线积分;称为对称为对 y 的曲线积分的曲线积分.若记若记, 对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxP

5、sFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地类似地, 第6页/共31页(1) 若若 L 可分成可分成 k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 , 则则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段

6、的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !第7页/共31页(3) 若由闭合曲线C所围成的平面区域被划分为两个无公共内点的区域1和2 ，它们的边界分别记作C1 ，C2 ，那么沿闭合曲线C的第二型线积分等于按同一方向闭合曲线 C1和C2 的第二型线积分之和，即CddP xQ y其中曲线C、C1和C2 或者都取正向或者都取负向.12CCddddP xQ yP xQ y第8页/共31页12+C+CADBAABEAADBBAABBEA ADBBEAC将上式两端同乘以-1，并利用性质2就有12-C-C -C第9页/共31页定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数

7、方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,存在, 且有第10页/共31页特别是, 如果 L 的方程为,:),(baxxy则)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 第11页/共31页13例例1 122(1)dd ,:cos ,sin ,(02 )CIyxxy C xat yatt 求223(2)6

8、d10d ,:(1,1)(2,8)CIx y xxyyC yx求其中从到的一段解解22(1)ddCIyxxy求2023330sincosdattt 022(2)6d10dCIx y xxyy求212591630dxxx261013xx61023 24 2222sin(sin )cos( cos ) datatat att23626() 10 ()(3) dxxx xxxoxy1 23132第12页/共31页,dLxyx其中L 为沿抛物线xy2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xx

9、yyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yyxL54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1(A第13页/共31页yxO其中 L 为,:, 0aaxyBAaa(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(1

10、32334aaaxd00则则第14页/共31页,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO第15页/共31页例例5 5解解oxy3222d3dCyxyx yx计算(0,0)(1,1)OBC其中起点和终点分别为和的积分路径 为2(1)(0,0), (1,0),

11、 (1,1),(2),(3)OAByxyx依次联结的有向折线AB322(1)2d3dCyxyx yxOAAB 1002 dy y0y 1x 322(2)2d3dCyxyx yx1405dyxxx322(3)2d3dCyxyx yx215240(223)dyxxxxxx111第16页/共31页BAyxzO作用下, 质点由沿 移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d试求力场对质点所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk222

12、k其中 为 ),(zxyFsFWdsFWd第17页/共31页,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2zyxO第18页/共31页O)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cxyz为折线 ABCOA(如图), 计算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 121

13、01d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd第19页/共31页例例9. 质量为质量为m的质点，从空间一点的质点，从空间一点A沿某光滑曲线沿某光滑曲线C移动到另一点移动到另一点B，求重力所做的功，求重力所做的功W。第20页/共31页(,)(cos ,cos,cos )dx dy dzeds ds dsoxyABCM ( , , ) d( , , )dCCA x y zsA x y zes dddcoscoscosdCCX xY yZ zXYZsAdsds222(d )(d )(d )ddsxyzsd sd ,d ,dx y zedszd d d x iy jz kd ,d ,d

14、x y z( , , ), ( , , ),( , , )AX x y z Y x y z Z x y z() d s()CCA MA M e ds第21页/共31页oxyABCMAdsz两型线积分的异同（1）第一型线积分无方向， 第二型线积分有方向。（2）第一型线积分是对弧长的积分， 第二型线积分是对坐标的积分（3）第一型线积分对应参数的下限小，上限大， 第二型线积分对应参数的下限为起点，上限为终点（4）第一型线积分用于求质量、质心、转动惯量等， 第二型线积分用于求变力作功、引力场作功等。（5）两类线积分的被积函数都定义在曲线上。（6）两类线积分的计算都是化为定积分计算的。第22页/共31页

15、将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周第23页/共31页1. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L

16、 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!第24页/共31页,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(第25页/共31页zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszR

17、yQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 第26页/共31页 F原点 O 的距离成正比,1. 设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到, ),0(bBO),(yxMxy)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解见 P196 例5), ),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk 思考思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 第27页/共31页解解:OzxyABzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A线移动到, )2,4,4(B向坐标原点,其大小与作用点到 xOy 面的距离成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点222zyxkzjyixzk第28页/共31页2222a