北航考研通信类大综合之电磁场(北航内部资料)第3讲场论

1、12内容：场论内容：场论-梯度、散度、高斯定理、拉普梯度、散度、高斯定理、拉普 普拉斯算符普拉斯算符要求：梯度、散度的物理意义，数学推导思要求：梯度、散度的物理意义，数学推导思 路，广义坐标系下的计算式路，广义坐标系下的计算式3 位移的方向余弦和单位矢量：位移的方向余弦和单位矢量： 对给定的矢量线元对给定的矢量线元( (位移位移) )332211dsidsidsisd方向余弦方向余弦cos,cos,cos321dsdsdsdsdsdscoscoscos3210iiisd,三个方向角三个方向角41coscoscos222且且cos,cos,cos方向余弦方向余弦1u3u2u1i2i3i),(32

2、1cccP5dsdf在在 方向上的方向导数方向上的方向导数fs dsd321,dududu332211duufduufduufdfdsduufdsduufdsduufdsdf332211表示所有表示所有r r构成的曲面构成的曲面0( ,)f r tC对应位移对应位移 , ,可导标量场的变化量为可导标量场的变化量为dfdf则则s d6dsduhuhfdsduhuhfdsduhuhfdsdf333322221111dsdsuhfdsdsuhfdsdsuhfdsdf333222111coscoscos332211uhfuhfuhfdsdf7coscoscos321333222111iiiuhfiuh

3、fiuhfidsdf0333222111sduhfiuhfiuhfidsdff梯度梯度标量场在某方向的方向导数为标量场在某方向的方向导数为该点梯度在该方向上的投影该点梯度在该方向上的投影8333222111uhfiuhfiuhfifgradf在任意方向在任意方向A上的方向导数上的方向导数AAiifdAdf,为为 矢量的单位向量。矢量的单位向量。A910zfiyfixfifgradfzyxzfirfirfifzccrc1sinrssssffdffiiirrr 直角坐标：直角坐标：柱坐标：柱坐标：球坐标：球坐标：11 zxyrf2zyxiiiA22方向方向上的导数；在点（上的导数；在点（2 2，1

4、 1，0 0）处，在）处，在 方向上的导数；方向上的导数；解：解：zyxiiiB22标量场标量场 在在222xyixyzizyizdfiyfixfifzyxzyx直角坐标：直角坐标：12323231zyxAiiiAAi 22323431xyxyzzyifAfA323132zyxBiiiBBi 1334323232)0, 1 ,2(22)0, 1 ,2()0, 1 ,2(xyxyzzyifBfB141 1、一个标量场的梯度为矢量场。、一个标量场的梯度为矢量场。2 2、在空间任何一点，标量场的梯度总是与过这、在空间任何一点，标量场的梯度总是与过这 点的等值面相垂直，即标量场梯度方向与等点的等值面相

5、垂直，即标量场梯度方向与等 值面法向一致。值面法向一致。00sdfdsdf0sdfsd在在等值面等值面上取线元上取线元153 3、空间任何一点，标量场梯度的模等于标量场、空间任何一点，标量场梯度的模等于标量场 在该点的方向导数可能取得的最大值。在该点的方向导数可能取得的最大值。fiffdAdfAifA0),(max| ),cos()(夹角为零：夹角为零：AAAiiffifdAdf),cos(夹角夹角为为 的切线方向的切线方向A164 4、空间任何一点，标量场梯度方向总是指向标、空间任何一点，标量场梯度方向总是指向标 量场场量增加的方向。量场场量增加的方向。sdffsdfdsdf,cos0fds

6、df0,s dffdsdfs df,fs d与与同向同向fs d与与反向反向175 5、单值标量场梯度的线积分、单值标量场梯度的线积分 只与曲线的只与曲线的 起止点有关，与曲线起止点有关，与曲线C C的形状无关。的形状无关。csdf,)(0dfdssdf,0dss ds ds ddss d0dfsdfdssdf)(0)()(0110pfpfdfsdfppc18)()(uvvuvu)()(vuvuuvuv191P2P2P 2P1sdsd2sd等值面等值面1等值面等值面2相同的相同的dfdf，但但sdsdsdsd21,21,maxdsdfdsdfdsdfdsdf梯度：标量场空间变化量梯度：标量场空

7、间变化量20要点：要点：r不是常矢量。不是常矢量。zayaxarazyxaaiaiaizayaxarazzyyxxzyx求求ra的梯度（的梯度（a是常矢量）。是常矢量）。21场线：曲线的空间各点均与场矢量相切，曲场线：曲线的空间各点均与场矢量相切，曲 线切线方向为场矢量方向；线切线方向为场矢量方向；场流图：由一族场线构成，场线的密度与场场流图：由一族场线构成，场线的密度与场 量幅度成正比。量幅度成正比。MMANA PANPMMAQNP QA NA22VadAPAPAdivsPV)(0lim)()(PVSVadAAsV0lim23对矢量函数及坐标变量运算的函数表达式对矢量函数及坐标变量运算的函数

8、表达式PuhhAuhhAuhhAPhPhPhPAPAdiv)()()(1)()(32132312132132124251u3u2u1i2i3i1a),(321pppuuuP1a2a2a3a3a1u3u2u),(321ooouuuo26ooouuuuuua3322111,: 3332221111,:uuuuuuuuuaooo333222111,uhsuhsuhs321321321uuuhhhsssV27332211aaaaaaSadAadAadAadAadAadAadA323211111,:1duduhhiaduuuaao2832),(321323211332112321111321111),(

9、),(),(duduhhAduduuuuuhuuuuhuuuuAadAauuuuooaoao293333222232),(32113211uuuuuuuuhhAadAooooauuo30ou132111),(321),(321)()(3211321uuuOuuhhAhhAadAoouau3132321111,: 1duduhhiaduuaao132132),(321auuuhhAadAo3232111),(321),(),(321)()(3213,2132111uuuOuuhhAhhAadAadAooouuuaa333213),(2132),(3121),(321)()()(321221321

10、uuuuhhAuhhAuhhAadAooouuSu34)()()(21331232121),(),(21331),(),(31232),(),(321321321321321321321uuuOuuuOuuuOuuhhAuuhhAuuhhAoooooouuuuuu35pouu111111),(pouu222222),(pouu333333),(36PuhhAuhhAuhhAphphphpApAdiv)()()(1)()(32132312132132137)()()(1332122311132321uAhhuAhhuAhhhhhA381、矢量场的散度构成标量场；、矢量场的散度构成标量场；2、某点

11、有矢量场的净通量，、某点有矢量场的净通量， 有场线发出，散度为正；有场线发出，散度为正； 有场线汇入，散度为负；有场线汇入，散度为负； 有场线穿过，散度为零；有场线穿过，散度为零；3、散度具有通量体密度量纲；、散度具有通量体密度量纲；4、)()(ABBABAAffAAf)(39KiAx0AXYKyiAx0 AXY40KxiAxKAXYKiAcrcrKA 41crrKiAc0, 0crA42条件：条件：场在场在S S及及V V上上连续，可导，连续，可导，称为良态。称为良态。mVmPmSVSsVdvAadA43)()()(1)()()(332132231211321321333222111ufhhhuufhhhuu