线性方程组的表示、消元法

1、1第四章第四章 向量与线性方程组向量与线性方程组2定义定义1211112211211222221122ij,(system of linear equations),a (1,2, ;1,2, )(1,n2, )nnnnnsssnnsxxxa xa xa xba xa xaxba xa xa xbis jnis 1 1i i含含有有n n个个未未知知变变量量的的一一次次方方程程组组元元线线性性方方程程组组称称为为称称为为，b b称称系系数数为为常常数数项项. .1 线性方程组的表示、消元法线性方程组的表示、消元法3111212122212nnsssnaaaaaaAaaa ， 1122,nnxb

2、xbXxb 让让(,).AA AA 系系数数矩矩称称为为线线性性方方程程组组阵阵增增的的， 称称为为广广矩矩阵阵. .412A=(,),nA 对对系系数数矩矩阵阵进进行行列列分分块块则则可可得得到到线线性性方方程程组组的的：向向量量形形式式1122.nnxxx 线线性性方方程程也也可可以以表表示示为为求求和和形形式式：nijj= 1a, (1, 2,).jixbis .A X ： 矩矩 阵阵 形形 式式借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为512000,AX=.nccnXAXXc 维维向向量量若若满满足足则则称称是是线线性性方方程程组组的的一一个个，方方程程组组解

3、解的的全全体体构构成成的的集集合合称称为为解解集集合合相相等等的的方方程程组组称称为为同同解解方方程程组组 常常数数项项有有非非零零项项的的线线性性方方程程组组称称为为，常常数数项项全全为为零零的的解解解解集集合合非非齐齐次次线线性性方方程程组组齐齐次次线线为为性性方方程程组组称称6线性方程组研究的主要问题为：线性方程组研究的主要问题为：（1）线性方程组是否有解？）线性方程组是否有解？（2）线性方程组如有解，有多少个解）线性方程组如有解，有多少个解?（3）线性方程组如有解，如何求解？）线性方程组如有解，如何求解？如解有无穷多，如何表示所有的解？如解有无穷多，如何表示所有的解？7引例引例)1(求

4、解线性方程组求解线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342用消元法解下列方程组的过程用消元法解下列方程组的过程2 8解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx13429)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 ,

5、 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：10解得解得 3344321xcxcxcx.3可任意取值可任意取值x方程组的解可记作方程组的解可记作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx.为为任任意意常常数数其其中中c 30340111cx即即(2), 3, 3, 443231 xxxxx方程组的解为方程组的解为令令,3cx 11 从上面的例子我们可以看出，用消元法解线从上面的例子我们可以看出，用消元法解线性方程组，实际上是对线性方程组施行了以下性方程组，实际上是对线性方程组施行了以下三种变换：三种变换：(

6、1)互换两个方程的位置；互换两个方程的位置；(2)用一用一非零非零数数c乘某一方程；乘某一方程；(3)(3)把其中一个方程的把其中一个方程的k倍加到另一个方程上倍加到另一个方程上我们称以上三种变换为线性方程组的初等变换我们称以上三种变换为线性方程组的初等变换 12 这三种初等变换只改变了线性方程组这三种初等变换只改变了线性方程组的系数和常数，而未知量保持不变。因此，的系数和常数，而未知量保持不变。因此，如果将未知量与系数和常数项分离开来，如果将未知量与系数和常数项分离开来，实际上是对系数和常数项构成的实际上是对系数和常数项构成的增广矩阵增广矩阵作了三种初等作了三种初等行行变换。因此解线性方程组

7、变换。因此解线性方程组时只需对由系数和常数项所构成的增广矩时只需对由系数和常数项所构成的增广矩阵作初等阵作初等行行变换。变换。 13问题：问题：（1）为什么经过一系列的初等）为什么经过一系列的初等行行变换以后得变换以后得到的新的方程组的解为原方程组的解。我们到的新的方程组的解为原方程组的解。我们需要给出它的理论依据。需要给出它的理论依据。(2)(2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么是否任意一个线性方程组都有解，在什么条件下方程组无解？条件下方程组无解？ 14(,)(.),(,AACCAXCXCXAX 理理 论论 根根 据据这这 个个 过过 程程 相相 当当 于于 对对作作 有有限限 多多

8、次次 初初 等等变变 换换 ， 变变 为为消消 元元 法法 解解 线线 性性 方方 程程 组组 的的：对对 线线 性性 方方 程程 组组做做 有有 限限 多多 次次 初初等等 变变 化化 换换 化化 为为 线线 性性 方方 程程 组组则则与与行行同同 解解% % %150000010(,)PACPAPA PCPAPBXAXAXPCXXCXPAX %这这是是因因为为存存在在可可逆逆矩矩阵阵 ，使使得得，得得，。如如果果是是的的解解，则则，用用 左左乘乘等等式式两两端端得得到到；反反之之，若若满满足足，用用左左乘乘等等式式两两端端得得，故故两两方方程程组组同同解解。16阶梯矩阵阶梯矩阵定义定义()

9、,A. Jordan)()A.ijm nAa 设设矩矩阵阵的的每每一一行行的的第第一一个个非非零零元元称称为为该该行行的的若若A A的的所所有有元元素素全全为为零零的的行行如如果果存存在在这这样样的的零零行行 都都位位于于最最下下端端，而而不不全全为为零零的的行行依依次次的的首首元元所所在在的的列列标标是是严严格格增增加加的的，则则称称A A是是（l la ad dd de er r m ma at tr ri ix x) ). .若若首首元元皆皆为为1 1, ,同同时时首首元元所所在在列列其其余余元元素素皆皆为为零零的的阶阶梯梯形形矩矩阵阵首首元元阶阶梯梯形形矩矩阵阵若若当当（称称阶阶梯梯形

10、形为为例例001011001, 第一，二，三行的首元所第一，二，三行的首元所在的列依次为在的列依次为2，1，3，不是严格增的，故不是阶不是严格增的，故不是阶梯行梯行.17（1）可划出一）可划出一条阶梯线，线的条阶梯线，线的下方全为零；下方全为零；5 00000310003011040101B （2）每个台）每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵特点：特点： 0000010000001000011018回顾回顾:

11、消元法解方程的过程实际上就是用一系列消元法解方程的过程实际上就是用一系列初等初等行行变换把增广矩阵化为变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵阶梯形矩阵(特别是特别是若当阶梯形若当阶梯形)的过程的过程. ,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx现重新用初等行变换化增广矩阵为现重新用初等行变换化增广矩阵为Jordan阶梯形的方法求解线性方程组阶梯形的方法求解线性方程组19 97963422644121121112)(bAA 979634226421112412111,2 行行交交换换第第解解20 979632113221112412111/23行行

12、乘乘以以第第 3433063550613304121143-132-122-1行行倍倍加加到到第第行行的的第第行行，倍倍加加到到第第行行的的第第行行，倍倍加加到到第第行行的的第第21 9300043/4000613304121141235/3-2行行，倍倍加加到到第第行行的的第第行行，倍倍加加到到第第行行的的第第 310003100023/1110412113/144/33-1/32行行乘乘以以第第，行行乘乘以以第第，行行乘乘以以第第22 000003100023/1110412114-13行行倍倍加加到到第第行行的的第第阶梯形阶梯形 000003100030110702111-132-1/3

13、3行行倍倍加加到到第第行行的的第第行行倍倍加加到到第第行行的的第第23 000003100030110401011-12行行倍倍加加到到第第行行的的第第若当阶梯形若当阶梯形于是得到原方程组的同解方程组于是得到原方程组的同解方程组132344,3,3,0 0,xxxxx 134224例例 解线性方程组解线性方程组 6312242212121xxxxxx25解：写出增广矩阵解：写出增广矩阵 ，对其进行初等行变换，对其进行初等行变换化简：化简：以以 为增广矩阵的线性方程组有一矛盾方为增广矩阵的线性方程组有一矛盾方程程0=47，从而原方程组无解。，从而原方程组无解。 ABAA4794001021294

14、501021274506021614312221),(5)2()3(1)3()2(1)1()3(2)1()2( B26注：若原方程组与同解方程组中出现注：若原方程组与同解方程组中出现矛盾方程，则原方程组无解。矛盾方程，则原方程组无解。 27例例 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组 2421325232121321xxxxxxxx28解：解：3133178100010001269860063000126356002102113115210450211215421032211/A29所以原方程组的解为所以原方程组的解为 ，与用，与用Gramer法则所得结果一样。法则所得结果一样。 13172

15、4310X30例例 解齐次线性方程组解齐次线性方程组AX=0，其中系数矩阵，其中系数矩阵 026311421121A31解：解： BA000031001121310031001121026311421121与原方程组同解的齐次线性方程组与原方程组同解的齐次线性方程组BX=0的一般形式为，的一般形式为， 32 0032200030224342143421xxxxxxxxxx或很显然对于任意的很显然对于任意的 都能解出都能解出 令令 ，得，得 42, xx31, xxlxkx 42,lxlkx3,2231 方程组的解为方程组的解为 为为任任意意常常数数lklkllklk,1302001232233

16、从上面的例子可以看出，求解线性方程组分为以从上面的例子可以看出，求解线性方程组分为以下几步：下几步：1.对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形；对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形；2. 若阶梯形增广矩阵对应的最后一个不为零的方若阶梯形增广矩阵对应的最后一个不为零的方程为程为 ，则原方程组无解；否则方，则原方程组无解；否则方程组一定有解程组一定有解.3.有解的情况下有解的情况下:当阶梯形增广矩阵非零数行等于当阶梯形增广矩阵非零数行等于未知数个数时未知数个数时,则解唯一则解唯一;否则非零行数就小于未知否则非零行数就小于未知数数,这时候方程组有无穷多解这时候方程组有无穷多解.要解出方程组要解出方程组,就需要

17、继续对阶梯形增广矩阵进行就需要继续对阶梯形增广矩阵进行初等行变换初等行变换,最终化为若当阶梯形最终化为若当阶梯形.若当阶梯形增广若当阶梯形增广矩阵对应的方程组实际上就是解矩阵对应的方程组实际上就是解(让非首元对应的让非首元对应的未知数取任意数未知数取任意数).0,0 dd34证明：必要性。设证明：必要性。设 满足满足 。若若 ，则，则 A可逆，有唯一解可逆，有唯一解 矛盾，故矛盾，故 。 00 X00 AX0 A001 A0 A充分性。当充分性。当n=1时，时， 有非有非零解，假设零解，假设n-1时结论成立。时结论成立。 00 ,0111 xA定理定理1 设设A为为n阶方阵，则齐次线性方程组阶

18、方阵，则齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是 。 0 A35当为当为n时，设时，设A经初等变换化为阶梯形矩阵经初等变换化为阶梯形矩阵B： ，其中，其中C为为n-1阶方阵，阶方阵，P为为n阶可逆矩阵。取行列式得阶可逆矩阵。取行列式得 。解同解方程组解同解方程组 。若。若b=0，则，则 是一个非零解；是一个非零解； PACbBA 0 CbAPB 00 BXT)0 , 0 , 1(36若若 ，则，则 ，由归纳假设，齐次，由归纳假设，齐次线性方程组线性方程组有非零解有非零解 ，代入，代入 的的第一个方程，因为第一个方程，因为 的系数的系数 ，可，可解出解出 。于是。于是 是是 的一的一个非零解。由归纳法结论成立。个非零解。由归纳法结论成立。 0