数列综合应用

1、数列综合应用(1)用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常岀现在高考的压轴题中, 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.二、典例讲解1 .先求和后放缩例1 .正数数列 an的前n项的和Sn,满足2 Sn Bn 1,试求:(1)数列an的通项公式;(2 )设bn，数列bn的前n项的和an a n 1为Bn，求证：Bn -22.先放缩再求和 .放缩后成等差数列，再求和例2 已知各项均为正数的数列 an的前n项和为Sn ,且a2an2

2、Sn.(1)求证:求证:Sn2 2anan 1 .放缩后成等比数列，再求和例3 .(1)设 a， n N*，a2，证明：2n,、n,、na(a) (a 1) a ;(2)1等比数列an中，a,1，前n项的和为An，2且A7 , A9 , A8成等差数列设 bn1前n项的和为Bn，证明：Bn 2)个不同数的排列 P1P2Pn 中, 若1 Pj (即前面某数大于后面某数) 则称Pi 与 P构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数记排列(n 1)n(n1)321的逆序数为an，如排列21的逆序数a11，排列321的逆序数a36 (1 )求a4、as，并写出an的表达式;(2)令bn

3、电也，证明:an 1an2n S b2bn 2n 3，n =12 .高考真题再现:1. (06浙江卷)已知函数f(X)32X X，数列xn(Xn 0)的第一项X1 = 1，以后各项按如下方式取定:曲线y f (x)在(xn 1, f (xn 1)处的切线与经过(0, 0 )和(Xn， f (Xn)两点的直线平行(如图)求证：当n N*时,2(I ) xnxn3xn 12xn 1 ；(n)（2）XnG)n2.（ 06福建卷）已知数列 an满足ai1,an 12an 1(n N ).（I）求数列an的通项公式；(Il)证明：n1a1a2.a n(n N*)23 a2a3an 123.（ 07浙江）

4、已知数列 an中的相邻两项a2k 1, a2k2kk是关于x的方程X2（3k 2k）x 3k 2k 0的两个根，且a2k 1 w a2k（k1,2,3,L ) (I):求 ，a?,a3 ，a7；(II)求数列 an的前2n项和S2n ；1 sin n（山）记 f(n)13 ,2 sin nTn(1严（1严（1）f（4）(DEnSia2a3a4比比a2n 1 a2n15*求证: Tn 1 mx ；(ii)对于n 6，已知1mmm1求证1，m1,2丄，n ；n 32(III)求出满足等式3n 4n L(n 2)n (n 3)m的所有正整数n .5.( 08辽宁)在数列 anbn 中，印 2,b|4

5、,且an,bn, a 1成等差数列，bn, an 1,bn 1成等比数列求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测 an , bn的通项公式，并证明你的结论；1115证明：L.a1 b1 a2 b2an bn 12数列综合应用(1)用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常岀现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.二、典例讲解1 .先求和后放缩例1 正数数列 an的前n项的和Sn，满足2 Sn Sn 1，试求：(1

6、)数列an的通项公式；1(2 )设bn，数列bn的前n项的和Sn Sn 1为Bn，求证：Bn -22.先放缩再求和放缩后成等差数列，再求和例2 已知各项均为正数的数列 an的前n项和为Sn,且a2an2Sn.求证：Sn2 2 anan i4求证:Sn2Sn 1 1、2放缩后成等比数列，再求和(1)设 a, n N*,a 2，证明:2na(a)n (a 1) an(2)等比数列an中，a1 ”，刖2项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列.设bn2an，数列bn1 an前n项的和为Bn，证明:1Bn 2)个不同数的排列 P1P2Pn中, 若1 Pj (即前面某数大于后面某数)则称Pi 与 Fj

7、构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列（n 1）n（n1）321的逆序数为an,如排列21的逆序数a11，排列321的逆序数a36 .（1 ）求a4、a5，并写出an的表达式；（2 ）令b _a丄，证明：an 1 an2n b1 b2bn2n 3, n =1,2,.高考真题再现:1. （06浙江卷）已知函数f（X）X3 X2，数列xn（Xn 0）的第一项X1 = 1，以后各项按如下方式取定:曲线y f（X）在（Xn 1, f （Xn 1 ）处的切线与经过(n)（2）Xn(2)n(0, 0)和（Xn， f（Xn）两点的直线平行（如图）求证：当n N时，2c 2小(I )

8、 Xn Xn3Xn 12Xn 1 ；2.（ 06福建卷）已知数列 an满足2an 1(n N ).（1）求数列an的通项公式；(II)证明:n1a1a2ann*n(nN)23a?aan 12ai1,an i3.（ 07浙江）已知数列 an中的相邻两项a2k卩a2k是关于x的方程x2 (3k 2k)x 3k 2k 0的两个根，且 a2k 1 a2k(k 1,2,3,L ).(I)求 a1 , a2 ,a3,a7 ；(II)求数列 an的前2n项和S2n ；1sin n（山）记 f(n)-3 ,2sin n/八ff (3)/ 八 f(4)/八 f(n1)n(1)(1)(1)(1)a1a2a3a4a5a6a2n 1 a2n求证：丄 Tn 1 mx ；(ii)对于n 6，已知1m1求证1-，m 1,2 丄，n ；2(III)求出满足等式3n 4n L(n 2)n (n 3)m的所有正整数n .5. （08 辽宁