弹性力学空间问题的解答201306071

1、弹性力学空间问题的解答空间问题的解答第八章第八章合肥工业大学本科生教学合肥工业大学本科生教学弹性力学弹性力学主讲教师：袁海平主讲教师：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)弹性力学一、按位移求解空间问题一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答第八章空间问题的解答内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的解答3按位移求解空间问题按位移求解空间问题一一在直角坐标系中，按位移求解空间问

2、题，与平面问题相似，求在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，求解步骤：解步骤：将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，得将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，得用位移分量表示应力分量的弹性方程用位移分量表示应力分量的弹性方程：1、取、取u,v,w为基本未知函数。为基本未知函数。2、引用几何方程，将应变用位移来表示。、引用几何方程，将应变用位移来表示。(8-1)zwEyvExuEzyx211211211xwzuEzvywEyuxvEzxyzxy121212其中体积应变其中体积应变zwyvxu弹性力学空间问题的解答43、将式、将式 (8-1)代入平衡微分方程

3、，得代入平衡微分方程，得在在V内求解位移的基本方程内求解位移的基本方程 按位移求解空间问题按位移求解空间问题一一(8-2)2222222.xyz 其中拉普拉斯算子其中拉普拉斯算子021112021112021112222zyxfwzEfvyEfuxE弹性力学空间问题的解答5,11222xsEumvunwulfxxyxz ( , ; , ,).x y z u v w(c)(上在s ,suu()(d)us在 上位移边界条件仍为位移边界条件仍为:( , ; , ,).x y z u v w按位移求解空间问题按位移求解空间问题一一4、将式、将式(8-1)代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：代

4、入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：(d)弹性力学空间问题的解答6（2） 上的应力边界条件上的应力边界条件(c) ；（3） 上的位移边界条件上的位移边界条件(d) 。sus这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。 （1）V内的平衡微分方程内的平衡微分方程(8-2) ；wvu,按位移求解空间问题按位移求解空间问题一一归结：归结：按位移求解空间问题，位移按位移求解空间问题，位移 必须满足：必须满足：在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：能适用于各种边界条件。能适用于各种边界条件。未知函数及方程的数目少。而按应力求

5、解时，没有普遍性的未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的应力函数存在。应力函数存在。近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。 弹性力学空间问题的解答7按位移求解空间轴对称问题按位移求解空间轴对称问题: : 在柱坐标在柱坐标 中，可以相似地导出位移中，可以相似地导出位移 应满足：应满足： ),(zzuu ,（1 1）V内的平衡微分方程，内的平衡微分方程， 按位移求解空间问题按位移求解空间问题一一(8-4)按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程。按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程。021112021112222zzfuzEfuuE弹性力

6、学空间问题的解答8 轴对称的拉普拉斯算子为轴对称的拉普拉斯算子为2221.SuS其中体积应变其中体积应变 ;zuuuz（2 2） 上的应力边界条件。上的应力边界条件。 （3 3） 上的位移边界条件。上的位移边界条件。 按位移求解空间问题按位移求解空间问题一一弹性力学一、按位移求解空间问题一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答第八章空间问题的解答内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间

7、问题的解答10 设有设有半空间体，受自重体力半空间体，受自重体力 及边界的均布压力及边界的均布压力q。半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力二二gfz解：解：按位移求解：按位移求解：位移位移u,v,w应满足平衡微分方程及边应满足平衡微分方程及边界条件。界条件。考虑考虑对称性，对称性，本题的任何本题的任何x面和面和y面面均为对称面，可设均为对称面，可设)(, 0, 0zwwvu(a)zwzwyvxu22, 0, 0zwzyx体积应变体积应变弹性力学空间问题的解答11（1）将位移将位移( (a) )代入平衡微分方程代入平衡微分方程(8-2)(8-2)，前两式自然满足，第三前两式自然满足，

8、第三式成为常微分方程：式成为常微分方程： 半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力二二0211122222gzwzwEgEzw121122BAzgEwAzgEzw2122111211积分积分其中其中、为待定常数。为待定常数。(b)021112021112021112222zyxfwzEfvyEfuxE弹性力学空间问题的解答12半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力二二将将(b)代入用位移分量表示的应力分量弹性方程，得：代入用位移分量表示的应力分量弹性方程，得：01zxyzxyzyxAzgAzg，(c)（2）边界条件：）边界条件：在在z=0=0的负的负z面，应力边界条件面，应力

9、边界条件为为qqfffnmlzzzyx001, 0，边界条件代入边界条件代入(c)01zxyzxyzyxgzqgzqgqA，(d)弹性力学空间问题的解答130)(hzw设设z=h为刚性层，则由为刚性层，则由 可以确定可以确定 B 。半空间体受重力及均布压力半空间体受重力及均布压力二二将位移边界条件代入将位移边界条件代入(b)212211gqhgEB最大铅直位移发生在边界上最大铅直位移发生在边界上 20max211211ghqhEwwz2221211zhgzhqEw弹性力学空间问题的解答14侧压力系数：侧压力系数：侧面压力与铅直压力之比。由侧面压力与铅直压力之比。由(d)得得 半空间体受重力及均

10、布压力半空间体受重力及均布压力二二(8-5)1zyzx讨论：讨论： 当当 时，时， ，三向相同应力状态，侧向，三向相同应力状态，侧向变形最大，侧向压力也最大变形最大，侧向压力也最大 , 说明物体的刚度极小，接近于流体。说明物体的刚度极小，接近于流体。 当当 时，正应力不引起侧向变形，说明物体的刚度极时，正应力不引起侧向变形，说明物体的刚度极大，接近于刚体。大，接近于刚体。21。zyx0弹性力学一、按位移求解空间问题一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题四、按应力求解空间

11、问题第八章空间问题的解答第八章空间问题的解答内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的解答16解：解：本题为本题为空间轴对称问题。空间轴对称问题。 , 0uuzu设有设有半空间体半空间体, ,在在o点受有法向集中力点受有法向集中力F。半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力三三按柱坐标位移求解，不计体力，按柱坐标位移求解，不计体力，位移位移 而而 和和 应满足应满足:（1）平衡微分方程）平衡微分方程(8-4).zuuuz其中其中02110211222zuzuu(a)弹性力学空间问题的解答17（2）在在 z=0 的边界上，除原点的

12、边界上，除原点o以外的应力边界条件为以外的应力边界条件为 。00, 0zz, 00, 0zz, 0zF; 0d20Fzzz（3）由于）由于 z=0 边界上边界上o点有集中力点有集中力F的作用，的作用，取出取出 z=0至至 z=z的平的平板脱离体板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：平衡条件：半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力三三(b)(c) 由于轴对称，其余的由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。个平衡条件均为自然满足。弹性力学空间问题的解答18,21212zRRzERFu;122122RzERFuz布西内斯克布西内斯克得

13、出满足上述全部条件的得出满足上述全部条件的解答解答为为 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力三三(8-6),3212322RzzRRRF,221zRRRzRF,2353RFzz253,2zFzR 1222.Rz其中 (8-7)弹性力学空间问题的解答19 应力特征：应力特征：; 0,应力R。应力 , 0Rzz 和（3）水平截面上的全应力，指向F作用点O。 （2）水平截面上的应力 与弹性常 数无关。（1）当 当 边界面上任一点的沉陷：沉陷： 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力三三(8-8)EFuzz201弹性力学空间问题的解答20 若单位力均匀分布在 的矩

14、形面积上，其沉陷解为： 将F代之为 ，对 积分，便得到K点在矩形之外的沉陷量。 baybaFdd1dy,半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力三三kikiFEa21(8-9)弹性力学一、按位移求解空间问题一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答第八章空间问题的解答内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学空间问题的解答221. 按应力求解空间问题的思路：按应力求解空间问题的

15、思路： 形变可以通过物理方程用应力表示；位移要通过对几何方程形变可以通过物理方程用应力表示；位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。 （2） 其他未知函数用应力表示其他未知函数用应力表示:（1） 取取x yz为基本未知函数为基本未知函数。 因此因此 , 位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以所以按应力求解按应力求解通常只解全部为通常只解全部为 应力边界条件的问题应力边界条件的问题。 按应力求解空间问题按应力求解空间问题四四弹性力学空间问题的解答2

16、32.2.应力求解空间问题的方程应力求解空间问题的方程 :;,222222222222222yxxyxzzxzyyzxyyxzxxzyzyz.2,2,2222yxyxzzxzxzyyzyzyxxzzxyzxyyyzxyzxxxyzxyz（2）相容方程（相容方程（6个）个）:（1）平衡微分方程（平衡微分方程（3个）。个）。（3）假设全部为应力边界条件假设全部为应力边界条件（4）对于多连体，还应满足位移单值条件对于多连体，还应满足位移单值条件。其中：其中：(1),(3) 是静力平衡条件；是静力平衡条件； (2),(4)是位移连续条件。是位移连续条件。 按应力求解空间问题按应力求解空间问题四四(8-

17、10)(8-11)弹性力学空间问题的解答24（2）形变满足相容方程 , 对应的位移存 在且连续物体保持连续； 形变不满足相容方程, 对应的位移 不存在 , 物体不保持连续。（1）物体满足连续性条件, 导出形变和 位移之间的几何方程, 导出相容方 程。 对于相容方程相容方程说明如下： 所以所以相容方程是位移的连续性条件。相容方程是位移的连续性条件。 按应力求解空间问题按应力求解空间问题四四弹性力学空间问题的解答25（3）用应力分量表示相容方程）用应力分量表示相容方程222222222112111211121yxzxyzyyzzfffxxyzfffyyzxfffzzxy 按应力求解空间问题按应力求解空间问题四四222222111111yzyzxzzxyxxyffy zyzffz xzxffx yxy (8-12)弹性力学空间问题的解答26不考虑体力时