广西桂林市逸仙中学高二数学《空间的角和距离》课件

1、求空间的角和距离方法总结1. 解立体几何问题的基本思路：化立体几何问题为平面几何问题.2. 熟练掌握所学习的定义、定理，掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的 相互位置关系的内在联系，灵活的进行互相转化是解立体几何证明题的基础.3. 关于空间的角和距离的计算问题，要依据定义转化为平面概念，然后灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量方法进行计算.要严格按照“一作、二证、三计算”，即先构造、 再定性、后定量的程序进行.4. 空间向量是解决立体几何问题的有力工具.要熟练掌握向量的各种运算的定义、几 何意义，恰当的引入向量运算，化几何证明、逻辑推理为简单的代数运算，以降低解题难度. 角和距离一、例题

2、例1在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，ZBAD = 90 , ADBC, AB=BC=a, AD=2a,且PA丄底面ABCD, PD与底面成30 （PD和其在底面上的射影所成的角）.若AE丄PD,垂足为E,求证:BE1PD；求异面直线AE与CD所成角的大小一解：以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz,由题意知 A(0, 0,0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0),ZAD(0, 2a, 0) 证明(1)： VPD在底面上的射影是DA,且PD与底面成30 , .-.ZPDA=30 , .P(O,O,扌仮)，VAE1PD, J AE=-AD= a,E(),

3、-a,a)2 2 21 Jj2 厂BE (，一,u PD (0,2,J3), 223PA* *a2* * BEPD = O()+ 2 + (-6/) = 0,/. B1PD,即 BE1PD.2273斤 2解：由知旋二（0,2啊），CD = （/afl:.AE 云=2 2 2k/AE CD乂 I AE = d,l CD I二 J2a; cos( AE,CD)=r /.异面直线AE与CD所成角的大小为arccos 472T/ AECD例2如图，正四棱锥S - ABCD中，所有棱长都是2, P为SA的中点,四、小结:点的坐标与向量的坐标一般不同，只有表示向量的有向线段的起点是坐标原点时有向线段终点的

4、坐标与向量的坐标相同这一点务必向学生讲 清楚；明确用向量坐标法证明或计算几何问题的基本步骤：建系设坐标T向量 点的坐标化T向量的直角坐标运算.运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问 题时，关键是建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，建立坐标系时，要充分 利用图形的几何性质掌握运用向量求角、距离的方法.五、课后作业:4. (2009全国II)如图，直三棱柱ABC-AtBiCi中，AB丄AC,D、E分别为AA】、B】C的中点,DE丄平面BiBCCi(I )证明：AB=AC(II)设二面角A-BD-C为60 ,求BiC与平面BCD所成的角的大小【解析】(1 )以A为坐标原点，

5、射线AB为x轴的正半轴，建立如 图所示的直角坐标系Axyzo设 B (1, 0, 0), C (0, b, 0), D (0, 0, c),则妨(1, 0, 2c), blbtE (, c) 于是DE二(,，0), BC二(-1, b,0)2 22 2曲DE丄平面CC；知DE1BC, 血血二0,求得b二1, 所以AB=ACo(II )设平面BCD的法向量品 = (x,y,z),则品BC = O,AN虚 = 0. 又 BC二(-1, 1,0),fx+ y = 0BD- (-1, 0, c),故X + cz = 01t|令 X二 1,则 y二 1, Z二，AN二(1,1,-). CC又平面ABD的

6、法向量AC= (0, 1, 0)bILILl LtLlLl由二面角 A-BD-C为 60 矢I, =0 ,i/WtLt 1/11/0/1t/U/irrvwwj故 ACAN=ACAN cos60 ,求得 c二VWU/lt/UztMF.于是 an = (LLV2) , CB, = (b - bV2)IMiAN CB1 QH/ff/r /cos = 她f血竹 =，v AN. CB. = 60I I I CB, I 21所以与平面BCD所成的角为305.(2009江西高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,P4丄平面ABCD, PA = AD=4,AB = 2以BD的中点0为球心、BD

7、为直径的球面交PD于点M.(1) 求证：平面ABM丄平面PCD；(2) 求直线PC与平面/W所成的角；(3) 求点0到平面仙M的距离.【解析】方法一：(1) 依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM1PD.因为 P A1 平面 ABCD,则 P A1AB,又 AB1AD,所以AB丄平面PAD,则AB丄P D,因此有PD丄平面A BM,所以平面ABM丄平面PCD.CX(2) 设平面ABM与PC交于点N,因为ABCD,所以AB平面PCD,则ABMNCD, 由(1)知，PD丄平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影，所以ZPNM就是PC与平面ABM 所成的角，住上PNM = /PCDtan ZP

8、NM = tan ZPCD = = 2JlDC所求角为arctan 2(3)因为0是BD的中点，则0点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的-半,由(1)知，PD丄平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面AB)I距离.因为在RtAPAD中，B4=AD=4, PDLAM，所以必为“中点，DM二则0点到平面般方法二(1)同方法一;(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), P(0,0,4), 3(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0), M (0,2,2),2x = 02y + 2z = 0,令 z = 1，则 y = 1,fflAIAUL flAIALlUl设平面的一个法向量n = (x,y,z),由比丄AAM