随机信号与系统第五章习题部分答案

1、第五章 习题5-1 设某信号为（1）试求x(t)的傅里叶变换X(jw)，并绘制X(jw)曲线；（2）假设分别以采样频率为fs=5000Hz和fs=1000Hz对该信号进行采样，得到一组采样序列xk，说明采样频率对序列xk频率特性X(ejW)的影响。解：（1）.X(jw)的曲线如下图所示：（2）设采样周期为T，则采样输出为.由时域相乘等于频域卷积，有.即序列xk频率特性X(ejW)是原信号频谱X(jw)以为周期进行延拓而成的，而采样频率，所以采样频率越高，序列xk频率特性的各周期越分散，越不容易发生频谱混叠。5-2 假设平稳随机过程x(t)和y(t)满足下列离散差分方程式中，|a|1；ek，vk

2、N(0，s 2)分布，且二者互不相关。试求随机序列yk的功率谱。解：对进行离散时间傅里叶变换（DTFT），且记DTFT(xk)=X(ejW)，DTFT(ek)=E(ejW)，则有式中，W=wTs，称为数字频率（rad），w为实际频率（rad/s），Ts为采样周期（s）。如果把上式看作以ek为输入、以xk为输出的线性滤波器，则有式中，H(W)称为线性滤波器的频率传递函数。根据线性系统的功率传递函数，若记输入序列ek的功率谱为N(W)，则输出序列xk的功率谱Sx(W)可表示为将AR(1)模型参数估计值a和噪声功率估计值2代入上式中相应的项，即可得到AR(1)序列xk的AR谱估计： 由可知：对进行离

3、散时间傅里叶变换（DTFT），且记DTFT(yk)=Y(ejW)，DTFT(vk)=V(ejW)，则有：所以：5-3 已知某一线性系统的单位脉冲响应函数为假定输入x(t)是一零均值的高斯白噪声，其功率谱为Sx(f)=N0，试求该线性系统输出响应y(t)的功率谱和协方差函数。解：系统的频率响应函数为则 而输出响应y(t)的功率谱，所以该线性系统输出响应y(t)的功率谱为 .可见y(t)的功率谱不是常数，所以输出响应y(t)不再是白噪声。y(t)的自相关函数为 直流分量功率 输出响应y(t)的协方差函数.5-4 请分别用Levinson递推算法和Burg算法估计信号的功率谱。式中，f1=150Hz

4、，f2=200Hz，f3=210Hz；e(t)是方差为0.1的白噪声过程。解：MATLAB程序如下：f1=150;f2=200;f3=210; % 信号频率f1，f2，f3；Fs=1000; N=155; % 采样频率Fs，序列点数N；k=0:1/Fs:N/Fs;x=cos(2*pi*f1*k)+cos(2*pi*f2*k)+cos(2*pi*f3*k)+randn(size(k);% xk 序列R=zeros(1,N+1); % 相关函数初始化，R0=R(1)% 估计 xk 的相关函数for m=1:N+1 RXm=0; for k=1:N+2-m RX=x(k+m-1)*x(k); RXm

5、=RXm+RX; end R(m)=RXm/N;enda=zeros(N+1,N+1); sigma2=zeros(1,N+1); % 参数ak和估计量方差sk2 FPE=zeros(1,N+1); % 最终预测误差准则FPE% 计算一阶AR模型的未知参数sigma2(1)=R(1); a(1,1)=-R(2)/R(1);sigma2(2)=(1-(abs(a(1,1)2)*sigma2(1);FPE=sigma2(2)*(N+2)/N; % 一阶AR模型的最终预测误差FPE% Levinson递推算法for k=2:N RXk=0; for m=1:k-1 aRX=a(k-1,m)*R(k-

6、m+1); RXk=RXk+aRX; end a(k,k)=-(R(k+1)+RXk)/sigma2(k); for m=1:k-1 a(k,m)=a(k-1,m)+a(k,k)*a(k-1,k-m); end sigma2(k+1)=(1-(abs(a(k,k)2)*sigma2(k); FPE(k)=sigma2(k+1)*(N+k+1)/(N-k+1); % k阶AR模型的最终预测误差FPEend% 确定AR模型阶次min=FPE(1);for k=2:N if FPE(k)min min=FPE(k); p=k; endenddisp(输出模型阶次 p);disp(p);disp(输出

7、AR(p)模型参数 a);for k=1:p disp(a(p,k);enddisp(估计量协方差 sigma2);disp(sigma2(p+1);% AR谱估计H=0; W=0:0.01:pi;for k=1:p H=H+a(p,k).*exp(-j*k*W);endSx=sigma2(p+1)./(abs(1+H).2);f=W*Fs/(2*pi); % 将角频率转化为频率figure（1）；plot(f,10*log10(Sx);grid % 打印对数功率谱AR模型阶次pAR模型参数ak估计量方差se218-0.0714 0.1957 0.2604 0.0682 -0.0729 -0.

8、0442 0.0944-0.0318 -0.0508 0.0400 0.0610 -0.0126 0.0217 -0.06470.0356 0.1552 0.2256 0.15651.2218Burg算法程序：f1=150;f2=200;f3=210; % 信号频率f1，f2，f3；Fs=1000; N=155; % 采样频率Fs，序列点数N；k=0:1/Fs:N/Fs;x=cos(2*pi*f1*k)+cos(2*pi*f2*k)+cos(2*pi*f3*k)+randn(size(k);% xk 序列R=zeros(1,N+1); % 相关函数初始化，R0=R(1)% 估计 xk 的相关函

9、数for m=1:N+1 RXm=0; for k=1:N+2-m RX=x(k+m-1)*x(k); RXm=RXm+RX; end R(m)=RXm/N;enda=zeros(N+1,N+1); sigma2=zeros(1,N+1); % 参数ak和估计量方差?k2 FPE=zeros(1,N+1); % 最终预测误差准则FPE% 计算一阶AR模型的未知参数sigma2(1)=R(1); a(1,1)=-R(2)/R(1);sigma2(2)=(1-(abs(a(1,1)2)*sigma2(1);FPE=sigma2(2)*(N+2)/N; % 一阶AR模型的最终预测误差FPE% Lev

10、inson递推算法for k=2:N RXk=0; for m=1:k-1 aRX=a(k-1,m)*R(k-m+1); RXk=RXk+aRX; end a(k,k)=-(R(k+1)+RXk)/sigma2(k); for m=1:k-1 a(k,m)=a(k-1,m)+a(k,k)*a(k-1,k-m); end sigma2(k+1)=(1-(abs(a(k,k)2)*sigma2(k); FPE(k)=sigma2(k+1)*(N+k+1)/(N-k+1); % k阶AR模型的最终预测误差FPEend% 确定AR模型阶次min=FPE(1);for k=2:N if FPE(k) )

11、 ef=zeros(p,N); eb=zeros(p,N); de=zeros(p,p); ef(1,:)=x(n); eb(1,:)=x(n); cov(1)=x*x/N; k(1)=0; for m=2:p+1 mol=0; den=0; for n=m:N mol= mol+ (-2)*ef(m-1,n)*eb(m-1,n-1); den=den+(ef(m-1,n)2+(eb(m-1,n-1)2; endk(m)=mol./den; de(m,m)=k(m);h(1)=cov(1)*(1-de(1,1)2); for n=m:N ef(m,n)=ef(m-1,n)+k(m).*eb(m-1,n-1); eb(m,n)=eb(m-1,n-1)+k(m).*ef(m-1,n); endendk=k(1,2:p+1);de=de(2:p+1,2:p+1);for m=2:p for i=1:m-1 de(m,i)=de(m-1,i)+k(m)*de(m-1,m-i); h(