华中农业大学微积分方红第八章第一节

1、第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分 一、问题的提出一、问题的提出 1 1、曲线型构件的质量、曲线型构件的质量 oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii 分割：分割： 近似：近似： 求和：求和： 取极限：取极限： 密度均匀：密度均匀： sm 线密度为线密度为 ),(yx , ,步骤：步骤： ; ,11分割曲线分割曲线用点用点 nmm ;),(iiiism ;),(11iniiiniismm niiiism10.),(lim2 2、柱面的面积、柱面的面积 xyzo分割：分割： 近似：近似： 求和：求和： 取极限：取极限： ; ,11分割曲线分割曲线用点用点 nmm ;),(iiii

2、sha ;),(11iniiiniishaa niiiisha10.),(lim),(yxhz 1 imim),(ii 以上两个问题最终都归结为同一类和似的极限，以上两个问题最终都归结为同一类和似的极限， 即第一类曲线积分。即第一类曲线积分。二、第一类曲线积分的概念二、第一类曲线积分的概念 定义：定义： .,),(),(lim),(10或对弧长的曲线积分或对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分也叫第一类曲线积分上的曲线积分上的曲线积分在在为数量值函数为数量值函数称称lyxfsfdsyxflniiii lniiiisfdsyxf10),(lim),(积分弧段积分弧段被积函数被积函数 积分和式积分和式

3、;),(),()1(存在存在则则若若 ldsyxflcf:)2(性质性质; ),(),(),(),( llldsyxgdsyxfdsyxgyxf线性性：线性性： 21.),(),(),(llldsyxfdsyxfdsyxf可加性：可加性： 则则若若,21lll ldsyxfl.),(,)3(常写成常写成为封闭曲线为封闭曲线若若三、第一类曲线积分的计算方法三、第一类曲线积分的计算方法 定理：定理： )( )()()(),(),(:,),()( , )()( , 22 ldttytxtytxfdsyxflyxfttyytxxl则则上连续上连续在在且函数且函数由以下参数方程给出由以下参数方程给出设平

4、面光滑曲线弧设平面光滑曲线弧;)1( 一定小于上限一定小于上限上式定积分中的下限上式定积分中的下限;)2(情形情形上述公式可推广到三元上述公式可推广到三元特殊情形：特殊情形： ;)(1)(,),( , )(:)1(2 lbadxxyxyxfdsyxfbxaxyyl则有则有若若;)(1),(),( , )(:)2(2 ldcdyyxyyxfdsyxfdycyxxl则有则有若若.)()(sin)(,cos)(),( , )(:)3(22 ldrrrrfdsyxfrrl则有则有若若例例1 1、 ).20( )cos1(),sin(:,2 ttayttaxldsyl求求例例2 2、 .)2, 1)2

5、, 1(4:,2的一段的一段到到上从上从求求 lxylyds例例3 3、 . 0,:,22222 yrxyxldsyxrl求求例例4 4、 .20 ,sin,cos:, kzayaxxyzds求求例例5 5、 . 0,:,22222 zyxazyxdsx求求四、几何与物理意义四、几何与物理意义 ldsyxmlyx;),(,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当 ldslyxf;,1),()2(弧长弧长时时当当 ldsyxfsyxlyxf.),( ,),(),()3(柱面面积柱面面积处的高时处的高时上的柱面在点上的柱面在点表示位于表示位于当当., :)4(22 lylxdsxidsyiyx轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对., :)5( lllldsdsyydsdsxx曲线弧的质心坐标曲线弧的质心坐标例例6 6、 ).1(2,设线密度为设线密度为量量于它的对称轴的转动惯于它的对