重庆大学自动控制原理课程设计

1、张三：倒立摆系统的控制器设计自动控制理论课程设计倒立摆系统的控制器设计学生姓名：张三指导教师：李斌 班 级：自动化01班 重庆大学自动化学院二O一三年十二月目 录目 录1倒立摆系统概述21.数学建模31.1直线一级倒立摆数学模型概述31.2直线一级倒立摆的物理模型31.2.1小车受力分析41.2.2摆杆受力分析51.3系统实际模型62 开环响应分析63 频率特性法73.1 频率响应分析73.2 频率响应设计93.3 Simulink仿真134 根轨迹法设计144.1原系统的根轨迹分析144.2根轨迹校正144.2.1确定期望闭环零极点154.2.2设计控制器154.3 Simulink仿真18

2、5.PID控制分析196.总结20参考文献：20倒立摆系统概述 随着科学技术的迅速发展，新的控制方法不断出现，倒立摆系统作为检验新的控制理论及方法有效性的重要实验手段得到广泛研究。倒立摆控制系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能客服随机扰动而保持稳定的位置。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。 其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域

3、中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发生中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。按照倒立摆的结构类型可以分为：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。本设计是以直线一级倒立摆为被控对象来进行设计的。通过对直线一级倒立摆系统的研究，不仅可以轻松解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。 倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制

4、理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法。下面几幅图是生活中常见的倒立摆实例： 1.数学建模1.1直线一级倒立摆数学模型概述直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。系统的建模可分为两种：机理建模和实验建模。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。而实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应

5、用数学手段建立起系统的输入输出关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文采用机理模型对直线一级倒立摆进行建模分析。1.2直线一级倒立摆的物理模型 若忽略空气阻力和各种摩擦力，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，其受力情况如图1所示。图1若将小车和摆杆分别进行受力分析，则可得到两者的受力分析图，如图2和图3所示。根据牛顿力学，建立起小车和摆杆的运动方程，进而得到小车各种传递函数。图2（小车受力分析）图3（摆杆受力分析）工程符号实际含义数值单位M小车质量1.096kgm摆杆质量0.109kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴到质

6、心长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg.m2F小车受到的外力变量Nx小车的位置变量m摆杆与垂直向上方向的夹角变量radN摆杆与小车在水平方向的相互作用力变量N摆杆与垂直向下方向的夹角变量radP摆杆与小车在竖直方向的相互作用力变量N 表 倒立摆数学模型符号说明1.2.1小车受力分析小车水平方向的合力： （1-1）摆杆水平方向的合力 ： （1-2）摆杆水平方向的运动方程 ： （1-3）1.2.2摆杆受力分析摆杆力矩平衡方程： （1-4）（注：因，所以等式前面有负号）摆杆垂直方向的合力： （1-5）摆杆垂直方向的运动方程： （1-6）水平方向的运动方程： （1-7）垂直方向的运动方程： （1-

7、8）用u来代表被控对象的输入力F，线性化后，两个运动方程如下其中： （1-9） （1-10） 摆杆角度和小车位移的传递函数： （1-11）摆杆角度和小车加速之间的传递函数：（1-12）摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： 其中 （1-14）1.3系统实际模型将表一中的实际参数代入，可得到系统的实际模型：实际参数如下： M=1.096Kg m=0.109Kg b=0.1N/m/sec l=0.25m I=0.0034 kgm2摆杆角度对于小车位移的传递函数： （1-15）摆杆角度对于小车加速度的传递函数： （1-16） 摆杆角度对于小车所受外界作用力的传递函数： （1-17）小车位移对于小车

8、加速度的传递函数： （1-18） 2 开环响应分析 数学模型建立好之后，我们得到摆杆角度对于小车加速度的传递函数式（1-16）和小车位移对于小车加速度的传递函数式（1-18）。当输入为小车加速度时，利用MATLAB的Simulink仿真工具进行仿真，可得到原系统的开环传递阶跃响应曲线和脉冲响应曲线。 仿真系统的结构如图4. 从以上4幅响应曲线可知，当输入为小车加速度时，摆杆角度和小车位置的阶跃响应和脉冲响应都是发散的，系统是不稳定的。下面对以小车加速度为输入，以摆杆角度为输出的系统，对开环传递函数设计校正装置，使系统稳定并具有符合条件的良好的性能指标。3 频率特性法3.1 频率响应分析经过前面

9、的模型建立，得到实际系统的开环传递函数为：其中输入为小车的加速度V (s)，输出为摆杆的角度(s)。题目要求：利用频率特性法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：(1)系统的静态位置误差常数为10；(2)相位裕量为 50；(3)增益裕量等于或大于10 分贝。利用 MATLAB 绘制原系统的Margin (Bode)图（图9）。 s=tf(s);G0=0.02725/(0.0102125*s2-0.26705);Margin(G0);grid on 图9利用 MATLAB 绘制原系统的Nyquist图(图10)。s=tf(s);G=0.02725/(0.0102125*s2-0.26705)

10、;figure;Nyquist(G);图10由图10可以看出，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半平面。根据奈奎斯特稳定判据可知系统不稳定，需要设计控制器来校正系统。3.2 频率响应设计直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题：考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为式（1-16）：设计控制器，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50度，增裕量等于或大于10 分贝。根据要求，控制器设计如下：1)选择控制器 上面我们已经得到了系统的Bode 图，可以看出，在中频段，Bode图是以-20的斜率穿过零分贝轴，因此给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：

11、 （3-1）则已校正系统具有开环传递函数Gc (s)G(s)令： （3-2）式（3-2）中2) 根据稳态误差要求计算增益K （3-3）所以于是： 3) 在MATLAB中画出的Bode图(图11)：s=tf(s);G0=98*0.02725/(0.0102125*s2-0.26705);Margin(G0);grid on图11由图11可以看出，系统的相角裕量为0，根据设计要求，系统的相角裕量为50，因此需要增加的相角为50，增加超前校正装置会改变Bode图的幅值曲线，开环截止频率会增加，因此必须对开环截止频率增加所造成的相位滞后增量进行补偿，实际需要增加的相角裕量为55。4)计算超前校正网络参

12、数= （3-4） （3-5）在图11中找到的点，该点的频率就是校正后系统的截止频率，图中实际找到即：，该频率就是超前校正网络最大超前角处对应的频率，也即是系统校正后的截止频率。5)计算超前校正网络的参数T （3-6） 由此得到的校正装置为：校正后的传递函数为： （3-7）6) 画出校正后系统的Bode图和Nyquist图Bode图编程s=tf(s);G0=0.02725*985.782*(s+8.9885)/(0.0102125*s2-0.26705)*(s+90.416);Margin(G0);grid on图12Nyquist图编程 s=tf(s);G0=0.02725*985.782*(

13、s+8.9885)/(0.0102125*s2-0.26705)*(s+90.416);Nyquist(G0);grid on图13从图12和图13可知，校正后的系统相角裕量和幅值裕量符合设计要求，根据奈奎斯特判据可知校正后的系统稳定（零型系统，右半平面有一个开环极点，逆时针包围点（-1,j0）一次，所以稳定）。7）分析系统动态性能是否满足要求时域曲线图22 MATLAB编程如下：a=985.782*0.02725 985.782*0.02725*8.9885;b=0.0102125 0 -0.26705;c=1 90.416;den=conv(b,c);sys=tf(a,den);jiaoz

14、hengsys=feedback(sys,1);t=0:0.01:20;Step(jiaozhengsys,t);axis(0 1 0 2); 图14 图15从图14可看到，系统的超调量较大，可进行优化，多次仿真改进如下：从图15可看到，此时系统的超调量减小，调节时间短，稳定性好，符合设计要求且性能指标良好。相角裕度57，增益余量18.4，静态位置误差常数为8.32。3.3 Simulink仿真仿真结构图如下：仿真结果如图17： 由图17能看到校正后系统的稳定性，快速性和准确性都比较好，符合设计要求。4 根轨迹法设计4.1原系统的根轨迹分析根据传递函数式（1-16）知 利用MATLAB得到原系

15、统的根轨迹如图18。两个极点为p1=5.11，p2=-5.1，无零点。MATLAB编程如下：s=tf(s);G0=0.02725/(0.0102125*s2-0.26705);Rlocus(G0)图18 由根轨迹图可知，有一条根轨迹起始于右半平面的极点p=5.1处，两条根轨迹沿着虚轴分别向上下无限远处延伸，因此无论改变增益，系统都不稳定。因此要加加控制器对其进行校正。 4.2根轨迹校正根据要求，设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足最大超调量 调节时间4.2.1确定期望闭环零极点由传递函数式（1-16）可知，原系统是二阶振荡系统，根据系统的性能指标要求，令0.1，由超调量： （4-1）得到0

16、.591155，取=0.65由=可得，又由调节时间：=0.5s（=2%） （4-2）将=0.65代入式（4-2）得到=13.846特征根为s1,2= （4-3）将=0.65，=13.846代入式（4-3）得到期望主导极点s1,2 =-8.999910.522j4.2.2设计控制器从图18根轨迹中可知，根轨迹并不通期望主导极点S1和S2，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为： （4-4）根据对系统动态性能要求确定了一对期望的闭环共轭附属主导极点S1和S2，现取S1，如图19所示。引用串联校正装置后，由于在根轨迹上，所以应当满足相角条件，即: （4-5）图19根据正弦定理有 （4-6） （4-7

17、） （4-8）因为能够提供的Zc和Pc不是唯一的，常采用使系数为最大可能值的方法来确定零极点的位置，即根据： （4-9） 可得 ： （4-10）代入式（4-6）及式（4-7）得 (4-11) （4-12）校正后的系统的开环传递函数为： （4-13）根据幅值条件|=1，可得到K=145.092则得到控制器为： （4-14）将控制器装入原系统，可以得到校正后系统的根轨迹如图20：得到响应曲线，如图21s=tf(s);G=(0.02725*145.092*(s+6.75284)/(s+28.3887)*(0.0102125*s2-0.26705);Rlocus(G);G0=G/(1+G);t=0:0

18、.05:5;Step(G0 ,t) 图20 图21 从图21可以看到，系统稳定性较好，响应速度快，但超调量为68%太大。因此对控制器进行进一步的改进。将增加的这一对零极点左移，以减少闭环零点和极点的影响，利用sisotool如图22找到零点为-7和极点为-48，利用simulink多次仿真找到增益为680时，系统有较好的性能指标。响应曲线如图22，根轨迹如图23。得到控制器为： （4-15） 图22 图23由图22的响应曲线可看到，校正后的系统能在0.5秒内稳定，具有很好的稳定性，并且超调量有大大的减小，为33%，平稳性增强。4.3 Simulink仿真仿真模型如图24：图24仿真结果如下：图

19、25由图25可看到，系统的超调量为33%，调节时间短，性能指标较好，系统校正成功。5.PID控制分析 经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要知道被控对象的精确模型。PID 控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。Simulink仿真结构图如下：图26 经过反复试探分析和仿真知道：Kp增加，响应速度加快，但是超调量也增加，平稳性变差；KI增加时，稳态误差减小；Kd增加时响应速度变慢，经过多次仿真：当Kp=300,Ki=15,Kd=12时，系统的超调量较小，调节时间短，稳定性好。仿真结果如下：图27得到校正函数为：校正后的系统超调量为10%，调节时间为0.3s，稳态误差为0.035；满足设计要求。6.总结1） 三种校正方法的比较：频率设计法：计算量相对少一些，根据设计要求求出Kp后，用MATLAB画出原系统的Bode图，可以清晰地看到幅值裕度和相角裕度，根据要求计算出相应参数，再利用sisotool进行优化，但是往往很难同时满足设计的指标，本次设计中，Kp的值为8.32，相比设计要求的10小一些