隐函数和参数方程求导

1、 3.4隐函数和参数方程求导 第3章 一、隐函数的求导法则隐函数的求导法则二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率三、相关变化率 31xy一、隐函数的求导法则若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y例1. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0

2、ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数例2. 求椭圆191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx例3. 求)0(sinxxyx的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx 1) 对幂指函数v

3、uy 可用对数求导法求导 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .例如例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb又如, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x

4、二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22tt则0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt )()(tt )(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .

5、利用新的参数方程,可得)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例4. 设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 已知解解:)()(tftfty注意注意 :例5. 设由方程) 10(1sin 222yytttx确定函数, )(xyy 求.ddxy解解: 方程组两边对 t 求导 , 得故xydd)cos1)(1(ytttyddtxddt 2yttycos12dd22 tycostydd0) 1(2ddttxtyddtxdd 三、相关变化率)(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系

6、称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对 t 求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例6. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以100 mmi

7、n 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500对 t 求导2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求试求当容器内水Rhxhr例7. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR两边对 t 求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRh,2时当hx hxhRr故txdd) scm

8、(25dd3tV) scm(100dd2Rtx体积为 V , 则R例例8 8解解?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上升几米米时米时问水深问水深的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流入水库中秒的体流量流入水库中米米河水以河水以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhdtdV 38000,/288003小时小时米米 dtdV小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米时米时当当 h内容小结1.

9、隐函数求导法则直接对方程两边求导2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式思考与练习1. 求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解: 化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222, ),0(2M 切线方程为22xy22. 设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分别用对数微分法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx3. 设)(xyy 由方程eyxey确定 , , )0(y解解: 方程两边对 x 求导, 得0yxyyey再求导, 得2yey yxey)(02 y当0 x时, 1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求. )0(y 求其反函数的导数 .,xexy解解:xyddyxdd方法方法1xe11方法方法2 等式两边同时对 求导y1xeyxdd备用题xe1