空间角的向量方法

1、利用向量解决空间角问题利用向量解决空间角问题123( ,)aa a a1.若，123( ,),bb b b则：数量积数量积： a b 夹角公式夹角公式： 111222( ,), (,)A x y zB xyz2.若，则：1 12 23 3222222123123aba ba baaabbbbaba,cos332211babababa,cosbaba|a|;332221aaaaa模长公式模长公式： AB),(121212zzyyxx3、空间直线的方向向量P A lAPluuu r叫 做 直 线 的 方 向 向 量 。l直 线 的 方 向 向 量 有 无 数 多 个 ，直 线 上 任 意 两 点

2、的 向 量 都 是 方 向 向 量 。4、平面的法向量la A.a, a确定的为法向量的平面是完全以向量过点那么和一个向量给定一点AA注意:平面的法向量有无数多个,都是共线向量.),3 , 2 , 2(),6 , 4 , 4(),1 , 0 , 1 (的一个法向量求平面已知ABCCBA引例引例:怎样求平面法向量？一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：(1)(2, 1, 2),(6, 3, 6)(2)(1,2, 2),( 2,3,2)(3)(1,0,1),(0,0, 3)ababab rrrrrr练一练：(1)( 2

3、,2,5),(6, 4,4)(2)(1,2, 2),( 2, 4,4)(3)(2, 3,5),( 3,1, 4)uvuvuv rrrrrr1、设 分别是直线 的方向向量，根据下列条件判断直线 的位置关系：,a brr21,ll21,ll2、设 分别是平面 的法向量，根据下列条件判断平面 的位置关系：,u vr r,21/ll21ll 相交但不垂直与21ll/相交但不垂直与AA1BB1CC1E1111111,2,1,.ABCABCABBCABBCBBEBBAECAAC C如图 在直三棱柱中为的中点求证平面平面例1：【常见错误常见错误】（1）不知道面面垂直就是法向量垂直；）不知道面面垂直就是法向量

4、垂直；（2）压根就不会求法向量；）压根就不会求法向量；（3）计算错误，不会找点的坐标；）计算错误，不会找点的坐标；（4）不会建立恰当的空间直角坐标系）不会建立恰当的空间直角坐标系【失误防范失误防范】（1）建立坐标系的时候要点明三条轴两两垂直；）建立坐标系的时候要点明三条轴两两垂直； （2）深刻理解空间向量与垂直和平行的关系；）深刻理解空间向量与垂直和平行的关系； （3）要夯实基本功，准确解题，要快、准、狠！）要夯实基本功，准确解题，要快、准、狠！当这个题目一眼看不出辅助线的话，何当这个题目一眼看不出辅助线的话，何不就直接建立坐标系，用向量法呢？不就直接建立坐标系，用向量法呢？异面直线所成角的范

5、围： ABCD1D,CD AB 与 的关系？思考：思考：结论：结论：coscos,CD AB |题型一：线线角题型一：线线角相等或互补相等或互补2, 0AB例例1：090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),

6、AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 113041053421BD1AF所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为3010题型一：线线角题型一：线线角练习：练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8,

7、 4),AD 10AM AD 1.ADAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M题型二：线面角题型二：线面角直线与平面所成角的范围：直线与平面所成角的范围： ABO, n BA 与 的关系？思考：思考：n结论：结论：sincos, n AB 题型二：线面角题型二：线面角直直线线AB与平与平面面所成的所成的角角可可看成是看成是向量与平面向量与平面的法的法向量向量所成的所成的锐角的余角。锐角的余角。2,2BAnBAn或2, 0n例例2：题型二：线面角题型二：线面角在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点

8、,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD AD 2 55ADANM与平面所成角的正弦值是2 55练习：练习： 1111ABCDABC D的棱长为的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角题型二：线面角题型二：线面角正方体正方体ABCD1A1B1C1D2n 题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：1n2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO

9、关键：观察二面角的范围，关键：观察二面角的范围，注意锐角与钝角的区别。注意锐角与钝角的区别。, 02121,nnnn或)2, 0(),2(2n 锐锐角角钝钝角角题型三：二面角题型三：二面角,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示，ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDS例例3：,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， ABCD 是一直角梯形， ABC=90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0,1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量例例3：设平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是小结：小结：1.异面直线所成角：异面直线所成角