双曲线专题复习

1、双曲线专题复习一、考点解析1 双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a0，c0：(1)当ac时，P点不存在2 双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系

2、c2a2b2 (ca0，cb0)二、规律、结论1 双曲线的定义用代数式表示为|MF1|MF2|2a，其中2a|F1F2|，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值(2)2a0，b0)的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小三、典型例题题型一求双曲线的标准方程例1(1)(2011山东)已知双曲线1 (a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_思维启迪：设双曲线方程为1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于

3、a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c.答案(1)1(2)1解析(1)椭圆1的焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，因此a2b27.又双曲线的离心率e，所以，所以a2，b2c2a23，故双曲线的方程为1.(2)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.探究提高求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公

4、共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)解(1)设双曲线的标准方程为1或1 (a0，b0)由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13.b2c2a225.双曲线的标准方程为1.题型二双曲线的几何性质例2中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为37.

5、(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值思维启迪：(1)分别设出椭圆方程为1 (ab0)，双曲线方程为1 (m0，n0)(2)由已知条件分别求出a、b、m、n的值(3)利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求出cosF1PF2.解(1)由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线半实、虚轴长分别为m、n，则，解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.探究提高在研究双

6、曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多由于e是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形求e，并且需注意e1. (1)(2012大纲全国)已知F1、F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A. B. C. D.(2)(2011浙江)已知椭圆C1：1 (ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则 ()Aa2 Ba213Cb2 Db22答案(1)C

7、(2)C解析(1)由x2y22知，a22，b22，c2a2b24，a，c2.又|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|，|PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|2c4，由余弦定理得cosF1PF2.(2)由题意知，a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，直线截椭圆的弦长d2a，解得a2，b2.题型三直线与双曲线的位置关系例3过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积思维启迪：写出直线方程，然后与双曲线

8、方程联立组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|；求O到直线的距离，代入面积公式得AOB的面积(1)解由双曲线的方程得a，b，c3，F1(3,0)，F2(3,0)直线AB的方程为y(x3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270.x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.(2)解直线AB的方程变形为x3y30.原点O到直线AB的距离为d.SAOB|AB|d.探究提高双曲线的综合问题主要是直线与双曲线的位置关系问题解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的

9、关系及整体代入的思想解题设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|x1x2|. 已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线C2的方程为1 (a0，b0)，则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21，故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得，k2且k22，得x1x2y

10、1y22，2，即0，解得k23.由得k20，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故|AB|，依题意4a，2，e212，e.5 已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标准方程为_答案1或1解析双曲线C的离心率为2，2，可设双曲线C的标准方程为1或1，把P(2，)代入得，a23或a2，所求双曲线C的标准方程为1或1.6 双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_.答案解析由题意知a21，b2，则a1，b. 2，解得m.7 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为

11、60，则双曲线C的离心率为_答案解析如图，B1F1B260，则cb，即c23b2，由c23(c2a2)，得，则e.8 (10分)已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程解椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.设双曲线G的方程为1 (a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，双曲线G的方程为1.9 (12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线

12、方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积(1)解e，可设双曲线方程为x2y2.过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)证明方法一由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2，0.方法二(32，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2.M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)解F1MF2的底|F1F2|4，由(2)知m.F1MF2的高h|m|，SF1MF246.B组专项能力提升(时间：25分钟

13、，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ()A. B.C. D.答案D解析设双曲线方程为1(a0，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为yx，而kBF，()1，整理得b2ac.c2a2ac0，两边同除以a2，得e2e10，解得e或e(舍去)，故选D.2 已知点F是双曲线1 (a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 ()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2，

14、)答案D解析根据双曲线的对称性，若ABE是钝角三角形，则只要0BAE|EF|就能使BAEac，即b2a2ac，即c2ac2a20，即e2e20，得e2或e1，故e2.故选D.3 若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21 (a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 ()A32，) B32，)C. D.答案B解析由a214，得a，则双曲线方程为y21.设点P(x0，y0)，则y1，即y1.x0(x02)yx2x012，x0，故的取值范围是32，)，故选B.二、填空题(每小题5分，共15分)4 (2012重庆)设P为直线yx与双曲线1 (a0，b0)左支的交点，F1是左焦点

15、，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e_.答案解析直线yx与双曲线1相交，由消去y得x，又PF1垂直于x轴，c，即e.5 设点F1，F2是双曲线x21的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积为_答案3解析据题意，|PF1|PF2|，且|PF1|PF2|2，解得|PF1|8，|PF2|6.又|F1F2|4，在PF1F2中，由余弦定理得，cosF1PF2.所以sinF1PF2，所以SPF1F2683.6 已知双曲线1 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_答案解析由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，得e，即e的最大值为.三、解答题7 (13分)直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由解(1)将直线l的方程ykx1代入双曲线C的方程2x2y21后，整理得(k22