变化率与导数市级公开课

1、变化率与导数江陵二中数学组 徐勤丰一、教学设计1、教学目标分析知识与技能：知道什么是变化率问题，掌握平均变化率概念及其计算步骤。深刻理解平均变化率的实际意义，提高用数形结合的思想方法解决问题的能力。过程与方法：通过大量实例让学生直观感知，自主构建平均变化率概念，感受平均变化率广泛存在于日常生活中，经历运用数学去描述和刻画现实世界的过程。情感态度与价值观：让学生认识到“数学是有用的，它源于生活，又服务于生活”，从而提高他们学习数学的热情。并且通过本节课的学习培养他们勇于探索、积极思考的学习精神。2、教学内容解析本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.

2、1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。教学重点：函数平均变化率的概念。3、教学问题诊断本节课的教学对象为高二年级理科生，在物理中，学生已学过平均速度、瞬时速度、加速度等概念，这些都直接或间接地涉及到平均变化率的思想，同时学生又具备了一定的函数知识与解析几何知识，这些都有利于本节课的顺利进行。平均变化率对于学生来说既陌生又熟悉

3、，熟悉是因为现实生活中有大量问题涉及到平均变化率，所以说它是实践性很强的内容。但是学生没有明确的系统的学习过平均变化率，不知道他的精确定义及内涵。由于学生通过自己的亲身体验，亲自去解释生活中的一些问题，才能体会到平均变化率的基本思想。因此需要学生具有高度的概括能力和深刻的思维能力，对学生的思维是一次挑战，因此，平均变化率的理解与转化是本节课的难点。4、教学对策分析 为将抽象的导数问题具体化，确定如下教学对策：（1）教法设计：探讨教学法，即教师通过问题诱导演示讨论探索结果归纳总结（2）学法设计：自主思考，参与探究、合作交流、形成共识（3）教学手段：以“多媒体辅助教学手段”为辅，以“问题的探讨，学

4、生发言、演板，老师黑板板书”为主5、教学基本流程创设情景引入课题实例建构归纳新知典例示范数学应用知识应用独立思考合作学习交流思想巩固练习归纳小结6、教学过程设计 教学环节教师活动学生活动设计意图创设情景，引出问题问题情境：请看雅典奥运会上刘翔奋力拼搏的雄姿（观看视频）引导学生观察整个过程的平均速度与直线斜率的关系。思考：问题：他是不是每秒钟都跑了8.52m呢？问题：通过观察速度变化曲线，你能帮助他的教练分析他各阶段的平均速度吗？问题情境的创设贴近生活，能够激起学生探究激情。实例 建构，归纳新知问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径

5、增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?（观看动画）思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? （1）当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。实例 建构，归纳新知问题2 高空崩极观察小男孩崩极时的平均速度变化（1）第0秒到第1秒这段时间内（2）第1秒到第2秒这段时间内作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：m)与

6、跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系h(t)= -gt2问题3 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度,在这段时间里，；在这段时间里，如果用小男孩在某段时间内的平均速来描述其运动状态，那么（1）在0t1这段时间内（2）在1t2这段时间内hto 可以看出，随着跳后的时间的推移，小男孩下落的速度越来越大。思考：小男孩跳后的时间从t1变化到t2时，平均速度是多少？在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这

7、段时间里的平均速度，并思考以下问题：1 动员在这段时间内使静止的吗？2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。应用新知归纳总结形成概念：上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率为：思考：观察函数f(x)的图象，平均变化率：表示什么?例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算在区间-3-1，0，5上 f(x)及g(x) 的平均变化率. 思考:一次函数y=kx+b在区间m,n上

8、的平均变化率有什么特点？例2 、已知函数f(x)=x2-x，求：在区间求1,2和区间2,3上的平均变化率。问：你能总结出计算平均变化率的步骤吗？进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。课堂练习质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 回顾总结1平均变化率的概念;2函数在某点处附近的平均变化率.二、教学反思本节课是在学生学习了函数的概念的基础上，研究函数值变化的快慢，由于教材中没有安排严格的极限知识，因此对教学设计提出了更高的要求。在本节课教学过程中，我采取了用问题引导教学，让学生在探究中获取新知。注意信息

9、技术在数学教学中的应用，虽然课本略去了极限知识的学习，但通过几何画板的演示，将变化率问题生动形象的呈现在大家的面前，起到了失之东隅，收之桑榆的良好效果。课题：变化率与导数各位评委、各位老师:大家好！今天我说课的内容是变化率与导数（第一课时）。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程和教学评价五个方面逐一加以分析和说明。一、教材分析1、教材所处地位、作用微积分学是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果,恩格斯称微积分是“人类精神的最高胜利”。导数是微积分的核心概念之一，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步

10、学习微积分奠定基础 。导数在天文、经济等领域中有着广泛应用，促进了生产技术和自然科学的发展。平均变化率是导数概念的起始课，主要刻画函数值变化的“快、慢”程度，在应用数学知识、建立数学模型上能很好地激发学生的探索灵感和创新意识。鉴于这种认识，我认为它对导数概念的形成起着重要的奠基作用。2、教学目标根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准，我确定了三个层面的教学目标：知识与技能：知道什么是变化率问题，掌握平均变化率概念及其计算步骤。深刻理解平均变化率的实际意义，提高用数形结合的思想方法解决问题的能力。过程与方法：通过大量实例让学生直观感知，自主构建平均变化率概念，感受平均变化率广泛存在于日常

11、生活中，经历运用数学去描述和刻画现实世界的过程。情感态度与价值观：让学生认识到“数学是有用的，它源于生活，又服务于生活”，从而提高他们学习数学的热情。并且通过本节课的学习培养他们勇于探索、积极思考的学习精神。3、重点与难点根据上述教学目标，我认为本节课的重难点是：教学重点：函数平均变化率的概念。教学难点：平均变化率的理解与转化。二、学情分析我认为对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要，所以我对学生的学情作了如下分析：平均变化率对于学生来说既陌生又熟悉，熟悉是因为现实生活中有大量问题涉及到平均变化率，所以说它是实践性很强的内容。但是学生没有明确的系统的学习过平均变化率，不知道他的精确定

12、义及内涵。由于学生通过自己的亲身体验，亲自去解释生活中的一些问题，才能体会到平均变化率的基本思想。因此需要学生具有高度的概括能力和深刻的思维能力，对学生的思维是一次挑战，因此，平均变化率的理解与转化是本节课的难点。三、教法与学法 1、导入新课时采用了情境创设法，目的是激起学生兴趣，让学生乐学、好问。 2、讲授新课时采用了多媒体演示法，调动学生感官，吸引学生注意力，还采用了“观察、设疑、析疑、解疑”四环节的启发式教学法，逐步突破难点，突出重点。四、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图创设情景，引出问题问题情境：请看雅典奥运会上刘翔奋力拼搏的雄姿（观看视频）引导学生观察整个过程的平均速度与直线

13、斜率的关系。思考：问题：他是不是每秒钟都跑了8.52m呢？问题：通过观察速度变化曲线，你能帮助他的教练分析他各阶段的平均速度吗？问题情境的创设贴近生活，能够激起学生探究激情。实例 建构，归纳新知问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?（观看动画）思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? （1）当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（2）当

14、V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。实例 建构，归纳新知问题2 高空崩极观察小男孩崩极时的平均速度变化（1）第0秒到第1秒这段时间内（2）第1秒到第2秒这段时间内作崩极时，小男孩落下的高度h(单位：m)与跳后的时间 t (单位：s)存在函数关系h(t)= -gt2问题3 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度,在这段时间

15、里，；在这段时间里，如果用小男孩在某段时间内的平均速来描述其运动状态，那么（1）在0t1这段时间内（2）在1t2这段时间内hto 可以看出，随着跳后的时间的推移，小男孩下落的速度越来越大。思考：小男孩跳后的时间从t1变化到t2时，平均速度是多少？在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：3 动员在这段时间内使静止的吗？4 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。应用新知归纳总结形成概念：上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率为：思考：观察函数f(x)的图象，平均变化率：表示什么?例1、已知函数f(x)=2x+1, g(x)=-2x ,分别计算在区间-3-1，0，5上 f(x)及g(x) 的平均变化率. 思考:一次函数y=kx+b在区间m,n上的平均变化率有什么特点？例2 、已知函数f(x)=x2-x，求：在区间求1,2和区间2,3上的平均变化率问：你能总结出计算平均变化率的步骤吗？进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由