双曲线习题课

1、学习如赶路，不能慢一步。学习如赶路，不能慢一步。 2021年10月22日星期五一一.双曲线的定义双曲线的定义把平面内与两个定点把平面内与两个定点F1、F2的距离的的距离的_等于常等于常数数(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这的点的轨迹叫做双曲线，这_叫做叫做双曲线的焦点，双曲线的焦点， _叫做双曲线的焦距叫做双曲线的焦距自学导引自学导引差的绝对值差的绝对值两个定点两个定点两焦点间的距离两焦点间的距离想一想想一想：在双曲线的定义中，必须要求在双曲线的定义中，必须要求“常数小于常数小于|F1F2|”，那么，那么“常数等于常数等于|F1F2|”，“常数大于常数大于|F1F2|”或或“常数

2、为常数为0”时，动点的轨迹是什么？时，动点的轨迹是什么？双曲线的标准方程双曲线的标准方程焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上标准方程标准方程_(a0，b0)_(a0，b0)焦点坐标焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的的关系关系c2_二二a2b2提示提示如果如果x2项的系数是正的，那么焦点在项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，轴上对于双曲线，a不一不一定大于定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在

3、哪一个坐标轴上点在哪一个坐标轴上xa或xa ya ya或)0 ,( a), 0(abyxa ayxb ace)(222bac其中关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双曲线双曲线22221(0,0)yxabab 22221(0,0)yxabab 范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象三三. .双曲线的几何性质双曲线的几何性质e是表示双曲线是表示双曲线开口开口大小的一个量大小的一个量, e越越大大开口越开口越大大! e 的范围的范围：e的含义：的含义：2221( ) ,abcbeaaa (1,)(0,),bbeeaa 当当时时，且且 增增大大也也增增

4、大大e 增增大大时时，渐渐近近线线与与实实轴轴的的夹夹角角增增大大. .(1)双曲线的双曲线的离心率离心率cea 1e 21.bea 四四. .双曲线的重要结论双曲线的重要结论221() ,1bbeeaa (2)等轴双曲线等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫做实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线.等轴双曲线的离心率为等轴双曲线的离心率为:2e 等轴双曲线的两渐近线渐近线为等轴双曲线的两渐近线渐近线为y=x, 22(0)xy等轴双曲线的两渐近线互相垂直等轴双曲线的两渐近线互相垂直.(3)特征三角形特征三角形Mxyob2A1A2B1Bca222cab xyo2Fbca(4) “共渐近线共

5、渐近线”的双曲线的双曲线22221xyab 与与共共渐渐近近线线的的双双曲曲线线方方程程为为(5) “共焦点共焦点”的双曲线的双曲线与椭圆与椭圆 有共同焦点的双曲线方程表有共同焦点的双曲线方程表 示为示为22221(0)xyabab 22221xyab 与双曲线与双曲线 有共同焦点的双曲线方有共同焦点的双曲线方程表示为程表示为22221xyab 2222(0)xyab ， 为为参参数数22221(00),xyabab22()ba 22()ba 五五.直线与圆锥曲线问题解法：直线与圆锥曲线问题解法： 2.求与圆求与圆 A: (x- -5)2+y2=49和圆和圆B:(x+5)2+y 2=1 都外都

6、外切的圆的圆心切的圆的圆心 P 的轨迹方程为的轨迹方程为_.ABPxyo 1|7|rPBrPA| PA | | PB | = 6221(0)916yxx P 的轨迹是以的轨迹是以A, B为焦点为焦点,实轴长为实轴长为 6 的的双曲线的左支双曲线的左支.26,5,ac 216.b 2211222OxyMAOM 已已知知圆圆：( () ), ,动动圆圆过过定定点点( ( ， 0 0) ), ,且且与与圆圆相相切切, ,则则动动圆圆圆圆心心的的轨轨迹迹方方程程为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .解解点点 在在圆圆外外. .221:(2 2)016 2,AO 动圆动圆M与圆

7、与圆O1可能外切也可能内切可能外切也可能内切.11|2 |2 |.MAMOMAMO 或或1|2.|MAMO 即即M的轨迹是以的轨迹是以O1(- -2,0), A(2,0)为焦点的双曲线为焦点的双曲线.2272,.22cab ，22221.7xy方程为方程为3.M222217xyAO1题型题型三三与双曲线有关的轨迹问题与双曲线有关的轨迹问题【例例3】 4.（09辽宁辽宁)已知已知F是双曲线是双曲线 的左焦点的左焦点, A(1, 4), P是双曲线右支上的动点，则是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值的最小值为为_.221412yx9 914 | 49169.F A F1(4, 0),

8、 |PF|- -|PF1|=4. 则只需则只需|PF1|+|PA|最小即可最小即可,|PF|+|PA|= 4+|PF1|+|PA|.即即P, F1 , A三点共线三点共线.AyF1FxOP【例例1】规律方法规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出系数法求出a，b的值若焦点位置不确定，可按焦点在的值若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意轴上两种情况讨论求解，此方法思路

9、清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0)，通过，通过解方程组即可确定解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法，避免了讨论，实为一种好方法求适合下列条件的双曲线的标准方程：求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a3，c4，焦点在，焦点在x轴上；轴上；(2)焦点为焦点为(0，6)，(0，6)，经过点，经过点A(5，6)解解(1)由题设知，由题设知，a3，c4，由由c2a2b2得，得，b2c2a242327.【变式变式1】222(3)(2010)2,010 xOFyaaPOP FP 若点 和点分别是双曲线的中心和左焦点,点

10、 为双曲线右支上的福任意一点,则的取建值范围为OP FP 本题考查待定系数法求双曲线方程.将代数化,利用方程消元,转化为二次函数的单调性切入点:与最值yF1FxOP .32 3)，222,0143Faa 解,，即：.2200000()1(3)3xP xyyx设点，则，221.3xy所以双曲线方程为0000(2)()FPxyOPxy ， 20002OP FPx xy 03xOP FP 所以当时，取得最小值20004()21 3)3xf xx函数在，上为增函数， 2000213xxx2004213xx . .432 3132 3.3 221222212,10,030 xyF FababFxPPFF

11、已知为双曲线 的焦点，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于点 ，且，则双曲线的渐近线方为_. 【4】 220222,00 , 0 ,1,ycFccP c yab则方设法一2202,bbyPFaa 解得所以212121223303,2,bRt PF FPF FF FPFca在所以即中，22222,2,2bcabbaa又故所以有，2 .yx 故所求双曲线的渐近线方程为122,PFPF(方法二)1222 ,2 .PFPFaPFa双曲线的得定义知由可22,2 ,bPFbaaa因为所以222,2,bbaa所以所以2 .yx 故双曲线的渐近线方程为2yx 答案12422yx已知双曲线方程：已知双曲线方程：说明

12、理由。说明理由。的方程，若不存在，请的方程，若不存在，请若存在，求出直线若存在，求出直线，被双曲线所截弦的中点被双曲线所截弦的中点为为，使，使）是否存在直线）是否存在直线（的方程；的方程；的中点，求直线的中点，求直线为弦为弦若若两点，两点，、）的直线交双曲线于）的直线交双曲线于，（）过）过（llNlABABMBAM21121111(1)yk x例例1解：解：xyo2222.NM(1)设直线设直线AB：，则，则1ykxk 22142yx04121421222)()()(kxkkxk1221 xx由由得得22 (1)112kkk.21k此时，此时，2( 2)4 ( 9)40 0故直线故直线AB：2

13、10 .xy，则则，设设)()()(22111yxByxA1242121yx1242222yx相减04222212221xxyy2121212121yyxxxxyy21MMAByxk21即即的方程为：的方程为：直线直线 AB)(1211xy.012yx即即)(21xx 解解2：xyo2222.NMxy22：双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为21,22ABk，则，则，设设)(yxA(1) 解解3：xyo2222.NM. )(yxB22， A、B 在双曲线上，在双曲线上，12422yx1224222)()(yx由由 - 得：得：.012yx.的方程的方程即为所求直线即为所求直线 AB，则，则，的直线交双曲线于的直线交双曲线于假