最新数学中考专题冲刺《圆》压轴真题训练

1、冲刺中考圆压轴真题训练1（2019遂宁）如图，ABC内接于O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AGBC，连接OC，若cosBAC，BC6（1）求证：CODBAC；（2）求O的半径OC；（3）求证：CF是O的切线解：（1）AG是O的切线，AD是O的直径，GAF90，AGBC，AEBC，CEBE，BAC2EAC，COE2CAE，CODBAC；（2）CODBAC，1cosBACcosCOE设OEx，OC3x，BC6，CE3，CEAD，OE2+CE2OC2，x2+329x2，x（负值舍去），OC3x，O的半径OC为（3）DF2OD，OF3O

2、D3OC，COEFOC，COEFOC，OCFDEC90，CF是O的切线2（2019温州）如图，在ABC中，BAC90，点E在BC边上，且CACE，过A，C，E三点的O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF2（1）求证：四边形DCFG是平行四边形（2）当BE4，CDAB时，求O的直径长（1）证明：连接AE，BAC90，CF是O的直径，ACEC，CFAE，AD是O的直径，AED90，即GDAE，CFDG，AD是O的直径，ACD90，ACD+BAC180，ABCD，四边形DCFG是平行四边形；（2）解：由CDAB，3设CD3x，AB8x，CDFG3x，AOFCOD，

3、AFCD3x，BG8x3x3x2x，GECF，BE4，ACCE6，BC6+410，AB88x，x1，在RtACF中，AF3，AC6，CF3，即O的直径长为343（2019杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，ODBC于点D，连接OA（1）若BAC60，求证：ODOA当OA1时，求ABC面积的最大值（2）点E在线段OA上，OEOD，连接DE，设ABCmOED，ACBnOED（m，n是正数），若ABCACB，求证：mn+20解：（1）连接OB、OC，则BODBOCBAC60，OBC30，ODOBOA；BC长度为定值，5ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：A

4、DAO+OD，ABC面积的最大值BCAD2OBsin60（2）如图2，连接OC，；设：OEDx，则ABCmx，ACBnx，则BAC180ABCACB180mxnxBOCDOC，AOC2ABC2mx，AODCOD+AOC180mxnx+2mx180+mxnx，OEOD，AOD1802x，即：180+mxnx1802x，化简得：mn+204（2019宁波）如图1，O经过等边ABC的顶点A，C（圆心O在ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BFEC交AE于点F（1）求证：BDBE6（2）当AF：EF3：2，AC6时，求AE的长（3）设x，tanDAEy求y关于x的函数表达式；如

5、图2，连结OF，若AEC的面积是OFB面积的10倍，求y的值证明：（1）ABC是等边三角形，BACC60，DEBBAC60，DC60，DEBD，BDBE；（2）如图1，过点A作AGBC于点G，ABC是等边三角形，AC6，BG，在RtABG中，AGBG3，BFEC，BFAG，7，AF：EF3：2，BEBG2，EGBE+BG3+25，在RtAEG中，AE；（3）如图1，过点E作EHAD于点H，EBDABC60，在RtBEH中，EH，BH，BGxBE，ABBC2BG2xBE，AHAB+BH2xBE+BE（2x+）BE，8在RtAHE中，tanEAD，y；如图2，过点O作OMBC于点M，设BEa，CG

6、BGxBEax，ECCG+BG+BEa+2ax，EMECa+ax，BMEMBEaxa，BFAG，EBFEGA，AG，9BF，OFB的面积AEC的面积AEC的面积是OFB的面积的10倍，2x27x+60，解得：，5（2019怀化）如图，A、B、C、D、E是O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH（1）计算CAD的度数；（2）连接AE，证明：AEME；（3）求证：ME2BMBE解：（1）A、B、C、D、E是O上的5等分点，的度数7210COD72COD2CADCAD36（2）连接AEA、B、C、D、E是O上的5等分点，CADDAEAEB36CAE72，

7、且AEB36AME72AMECAEAEME（3）连接AB11ABEDAE，且AEBAEBAENBEAAE2BENE，且AEMEME2BENEAEAB，CABCADDAEBEAABE36BADBNA72BABN，且AEMEBNMEBMNEME2BENEBMBEA6（2019湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l分别交x轴和y轴于点（3，0），1B（0，3）（1）如图1，已知P经过点O，且与直线l相切于点B，求P的直径长；1（2）如图2，已知直线l：y3x3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线l上22的一个动点，以Q为圆心，2为半径画圆当点Q与点C重合时，求证：直线l与Q相切；1设Q与直线

8、l相交于M，N两点，连结QM，QN问：是否存在这样的点，使得QMN1是等腰直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由12解：（1）如图1，连接BC，BOC90，点P在BC上，P与直线l相切于点B，1ABC90，而OAOB，ABC为等腰直角三角形，则P的直径长BCAB3；（2）过点作CMAB，13由直线l：y3x3得：点C（1，0），2则CMACsin4542圆的半径，故点M是圆与直线l的切点，1即：直线l与Q相切；1（3）如图3，当点M、N在两条直线交点的下方时，由题意得：MQNQ，MQN90，设点Q的坐标为（m，3m3），则点N（m，m+3），则NQm+33m+32，14解得：

9、m3；当点M、N在两条直线交点的上方时，同理可得：m3；故点Q的坐标为（3，63）或（3+，6+3）7（2019天津）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，APB80，C为O上一点（）如图，求ACB的大小；（）如图，AE为O的直径，AE与BC相交于点D若ABAD，求EAC的大小解：（）连接OA、OB，PA，PB是O的切线，OAPOBP90，AOB360909080100，由圆周角定理得，ACBAOB50；（）连接CE，AE为O的直径，ACE90，ACB50，15BCE905040，BAEBCE40，ABAD，ABDADB70，EACADBACB208（2019株洲）四边形ABCD是O的圆内接四

10、边形，线段AB是O的直径，连结AC、BD点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且ACHCBD，ADCH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若ACBC，PBPD，AB+CD2（+1）求证：DHC为等腰直角三角形；求CH的长度16证明：（1）DBCDAC，ACHCBDDACACHADCH，且ADCH四边形ADCH是平行四边形（2）AB是直径ACB90ADB，且ACBCCABABC45，CDBCAB45ADCHADHCHD90，且CDB45CDBDCH45CHDH，且CHD90DHC为等腰直角三角形；四边形ABCD是O的圆内接四边形，ADPPBC，且

11、PPADPCBP17，且PBPD，ADCH，CDBCAB45，CHDACB90CHDACBABCDAB+CD2（+1）CD+CD2（+1）2，且DHC为等腰直角三角形CH9（2019威海）（1）方法选择如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，ABBCAC求证：BDAD+CD小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DMAD，连接AM小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DNAD请你选择一种方法证明（2）类比探究【探究1】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，ABAC试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论18【探究2】如图，四

12、边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD若BC是O的直径，ABC30，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是BDCD+2AD（3）拓展猜想如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD若BC是O的直径，BC：AC：ABa：b：c，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是BDCD+AD解：（1）方法选择：ABBCAC，ACBABC60，如图，在BD上截取DMAD，连接AM，ADBACB60，ADM是等边三角形，AMAD，ABMACD，AMBADC120，ABMACD（AAS），BMCD，BDBM+DMCD+AD；19（2）类比探究：如图，BC是O的直径，BAC90，ABAC，ABCA

13、CB45，过A作AMAD交BD于M，ADBACB45，ADM是等腰直角三角形，AMAD，AMD45，DMAD，AMBADC135，ABMACD，ABMACD（AAS），BMCD，BDBM+DMCD+AD；【探究2】如图，若BC是O的直径，ABC30，BAC90，ACB60，过A作AMAD交BD于M，ADBACB60，AMD30，MD2AD，20ABDACD，AMBADC150，ABMACD，BMCD，BDBM+DMCD+2AD；故答案为：BDCD+2AD；（3）拓展猜想：BDBM+DMCD+AD；理由：如图，若BC是O的直径，BAC90，过A作AMAD交BD于M，MAD90，BAMDAC，AB

14、MACD，BMCD，ADBACB，BACMAD90，ADMACB，DMAD，21BDBM+DMCD+AD故答案为：BDCD+AD10（2019扬州）如图，AB是O的弦，过点O作OCOA，OC交AB于P，CPBC（1）求证：BC是O的切线；（2）已知BAO25，点Q是上的一点求AQB的度数；22若OA18，求的长（1）证明：连接OB，OAOB，OABOBA，PCCB，CPBPBC，APOCPB，APOCBP，OCOA，AOP90，OAP+APO90，CBP+ABO90，CBO90，BC是O的切线；（2）解：BAO25，ABO25，APO65，POBAPOABO40，23AQB（AOP+POB）A

15、QB65，AOB130，的长的长13065；2311（2019鄂州）如图，PA是O的切线，切点为A，AC是O的直径，连接OP交O于E过A点作ABPO于点D，交O于B，连接BC，PB（1）求证：PB是O的切线；（2）求证：E为PAB的内心；（3）若cosPAB，BC1，求PO的长（1）证明：连结OB，AC为O的直径，ABC90，ABPO，24POBCAOPC，POBOBC，OBOC，OBCC，AOPPOB，在AOP和BOP中，AOPBOP（SAS），OBPOAP，PA为O的切线，OAP90，OBP90，PB是O的切线；（2）证明：连结AE，PA为O的切线，PAE+OAE90，ADED，EAD+A

16、ED90，OEOA，OAEAED，25PAEDAE，即EA平分PAD，PA、PB为O的切线，PD平分APBE为PAB的内心；（3）解：PAB+BAC90，C+BAC90，PABC，cosCcosPAB在RtABC中，cosC，AC，AO，PAOABC，PO512（2019淄博）如图，在RtABC中，B90，BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的O经过点D（1）求证：BC是O的切线；CD2CECA；26（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE3，试求阴影部分的面积解：（1）连接OD，AD是BAC的平分线，DABDAO，ODOA，DAOODA，则DABODA，DOAB，而B90，

17、ODB90，BC是O的切线；连接DE，BC是O的切线，CDEDAC，C，CDECAD，CD2CECA；（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，27点F是劣弧AD的中点，是OF是DA中垂线，DFAF，FDAFAD，DOAB，ODADAF，ADODAOFDAFAD，AFDFOAOD，OFD、OFA是等边三角形，则DFAC，故SS阴影，扇形DFOC30，ODOC（OE+EC），而OEOD，CEOER3，S阴影S32扇形DFO13（2019成都）如图，AB为O的直径，C，D为圆上的两点，OCBD，弦AD，BC相交于点E（1）求证：；（2）若CE1，EB3，求O的半径；（3）在（2）的条件下，

18、过点C作O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQCB交O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长28证明：（1）OCOBOBCOCBOCBDOCBCBDOBCCBD（2）连接AC，CE1，EB3，BC4CADABC，且ACBACBACEBCAAC2CBCE41AC2，AB是直径29ACB90AB2O的半径为（3）如图，过点O作OHFQ于点H，连接OQ，PC是O切线，PCO90，且ACB90PCABCOCBO，且CPBCPAAPCCPBPC2PA，PC2PAPB4PA2PA（PA+2）PAPOPQBCCBABPQ，且PHOACB9030PHOBCA即PH，OHHQPQPH+HQ14（20

19、19江西）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CDAB交AF于点D，连接BC（1）连接DO，若BCOD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断AED和ACD的数量关系，并证明你的结论（1）证明：连接OC，AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，ABAD，CDAB，BCOD，四边形BODC是平行四边形，31OBCD，OAOB，CDOA，四边形ADCO是平行四边形，OCAD，CDBA，CDAD，OCAD，OCCD，CD是半圆的切线；（2）解：AED+ACD90，理由：如图2，连接BE，AB为半圆的直径，AEB90，EB

20、A+BAE90，DAE+BAE90，ABEDAE，ACEABE，ACEDAE，ADE90，DAE+AEDAED+ACD903215（2019天门）已知ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，连接DB，DC（1）如图，当BAC120时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：AB+ACAD；（2）如图，当BAC90时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图，若BC5，BD4，求的值解：（1）如图在AD上截取AEAB，连接BE，BAC120，BAC的平分线交O于点D，33DBCDAC60，DCBBAD60，ABE和BCD都是等边三角形，DBEABC，

21、ABBE，BCBD，BEDBAC（SAS），DEAC，ADAE+DEAB+AC；故答案为：AB+ACAD（2）AB+ACAD理由如下：如图，延长AB至点M，使BMAC，连接DM，四边形ABDC内接于O，MBDACD，BADCAD45，BDCD，MBDACD（SAS），34MDAD，MCAD45，MDADAM，即AB+BM，AB+AC；（3）如图，延长AB至点N，使BNAC，连接DN，四边形ABDC内接于O，NBDACD，BADCAD，BDCD，NBDACD（SAS），NDAD，NCAD，NNADDBCDCB，NADCBD，35，又ANAB+BNAB+AC，BC5，BD4，16如图1和2，ABC

22、D中，AB3，BC15，tanDAB点P为AB延长线上一点，过点A作O切CP于点P，设BPx（1）如图1，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；（2）当x4时，如图2，O与AC交于点Q，求CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；（3）当O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围解：（1）如图1，AP经过圆心O，CP与O相切于P，APC90，ABCD，ADBC，PBCDAB36tanPBCtanDAB，设CP4k，BP3k，由CP2+BP2BC2，得（4k）2+（3k）2152，解得k3（舍去），k3，12xBP339，故当x9时，

23、圆心O落在AP上；AP是O的直径，AEP90，PEAD，ABCD，BCADPEBC（2）如图2，过点C作CGAP于G，ABCD，BCAD，CBGDABtanCBGtanDAB，设CG4m，BG3m，由勾股定理得：（4m）2+（3m）2152，解得m3，CG4312，BG339，PGBGBP945，APAB+BP3+47，AGAB+BG3+912tanCAP1，CAP45；37连接OP，OQ，过点O作OHAP于H，则POQ2CAP24590，PHAP，在RtCPG中，13，CP是O的切线，OPCOHP90，OPH+CPG90，PCG+CPG90OPHPCGOPHPCG，即PHCPCGOP，1312OP，OP劣弧长度，27弦A