D12数列的极限99760PPT学习教案

1、会计学1D12数列的极限数列的极限99760v 引例割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽第1页/共57页R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正 边形的面积16 2n nA123,nA A AA“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”无限接近S（圆的真实面积）第2页/共57页v数列的概念如果按照某一法则,对每一nN ，对应着一个确定的实数nx ，则得到一个序列123,nxxxx这一序列称为数列,记为nx，第 项nnx叫做数列的通项（一般项）.数列举例:( ),.nxf nnN 注：2n，4 4，8 8， ，2 2 ，；111 111),n ， ，

2、， ， ， ( ( - -；数列 可以看作自变量为正整数 的函数:nxn第3页/共57页v数列的概念如果按照某一法则,对每一nN ，对应着一个确定的实数nx ，则得到一个序列123,nxxxx这一序列称为数列,记为nx，第 项nnx叫做数列的一般项.x1x5x4x3x2xn 数列的几何意义123,.nxxxx次位于数轴上的点 数列 可以看作数轴上的一个动点,它依次nx，第4页/共57页v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第5页/共57页v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第6页/共57页v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第7页/共57页v数列的极限1

3、( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第8页/共57页v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第9页/共57页v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第10页/共57页v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第11页/共57页v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第12页/共57页v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第13页/共57页v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第14页/共57页当n无限增大时，1( 1)1nn 无限接近于1.v数列的极限1( 1)1nn 观察数列的变化趋势。第15页/共57页例如v数列极限的通俗定义问

4、题:如何用数学语言刻画它？()nxan 12n0,1( 1)1nn1,当n无限增大时，如果数列nx的一般项nx无限接近于常数，a则称常数a是数列 nx的极限或者称记为n 1( 1)趋势不定 nx收敛于a，数列“当n无限增大时，nx无限接近于. a”是什么意思？第16页/共57页分析当n无限增大时，nx无限接近于. a|nxa无限接近于0.|nxa能任意小,要多小就能多小.任意给定一个正数(无论多么小)，当n足够大时，|nxa 总能小于事先给定的那个正数.当n无限增大时，当n无限增大时，任意给定一个正数(无论多么小)，当n足够大时，|nxa 总能小于事先给定的那个正数.增大时，nx无限接近于.

5、a则当n无限只要n足够大，|nxa能达到任意小,要多小就能多小.第17页/共57页1 只要n时，1nx 111( 1),nnn 1( 1)1nnxn 如上例1,100给定1,10000给定0, 任意给定1,1000给定11,100n 由100n 只要时，11;100nx 有11;1000nx 有1000n 只要时，10000n 只要时，11;10000nx 有1.nx 有1,n 由1 第18页/共57页v数列极限的精确定义如果存在常数, a对于任意给定总存在正整数,N使得当 时nN 总有nxa 成立则称常数a是数列nx的极限或者称数列nx收敛于a，记为lim,nnxa 极限定义的简记形式设nx

6、为一数列nxan ().或nnxa limNN , 0,当 时nN .nxa ，的正数第19页/共57页nnxa limNN , 0,当 时nN .nxa v注意：1. 的任意性： 可以任意性小，用来描述axn与的接近程度。但一旦给了就确定了。2. 的相应性：N)(NN随着变化而变化，可记作当 时（变化到一定时刻），nN 才能达到上述程度。3. 极限定义只能验证a是不是数列的极限，但不能用于计算数列极限。 第20页/共57页aaa()v数列极限的几何意义naxa()nxaa ，1.任意给定的 0,有 的 邻域；a NN ，2.存在当 时nN nx全都落在3.当 时，nN aa (,)nx一般落

7、在邻域外边。(,)aa 内部；邻域nnxa limNN , 0,当 时nN .nxa 第21页/共57页数列收敛时，其极限值的大小与其前面的有限项无关。改变其有限项的值不改变其收敛性和极限值aaa()v数列极限的几何意义1.任意给定的 0,有 的 邻域；a NN ，2.存在当 时nN nx全都落在3.当 时，nN aa (,)nx一般落在邻域外边。(,)aa 内部；邻域nnxa limNN , 0,当 时nN .nxa 第22页/共57页,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,

8、1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散第23页/共57页,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 11N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn第24页/共57页,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2)1(10nnx. 11N 与 有关

9、, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明: 取11N第25页/共57页,1q证明等比数列,112nqqq证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0 .1nq第26页/共57页23baab22abnabax证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一.使当 n

10、 N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式第27页/共57页),2, 1() 1(1nxnn是发散的. 证: 用反证法.假设数列收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .取,21则存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不可能同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有因此该数列发散 .nx第28页/共57页证: 设,limaxnn取,1,N则当Nn 时, 从而有nxa

11、axna1取 ,max21NxxxMa1则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明: 此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列第29页/共57页若,limaxnn且, 0a,NN则,时当Nn 同号。并且若axn与证:对 a 0 ,取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论:（保序性）设,limaannO),0(0aa,NN则,时当Nn 恒有).0(0qxqxnn,limbbnn,NN若,时当Nn 恒有nnba ，则ba 第30页/共57页4. 收敛数列具有夹逼性.,limlimabannnn,NN若恒有nnn

12、bca，则acnnlim设,时当Nn 证：,limlimabannnn由于所以,0,NN,时当Nn 恒有aaanaban且从而得abcaannn即acn，故acnnlim第31页/共57页例5. 证明(1)lim51nn(2)lim1nnn证(1)51nnh 5(1)1nnnhnh (2)1nnnh 2(1)(1)12nnnn nnhh lim51nn lim1nnn nhnn411511)41 (lim1limnnnnhn40nhn2022111nnnhn 2lim1lim(1)1nnn第32页/共57页例6. 计算1(1)lim1nn211(2)limnnknk解：11(1)1111nnn

13、 1lim11nn22221111(2)123nnnnn2nnn21nn 21limlimlim111nnnnnxnnn221limlimlim1111nnnnnynn211limlim1nnnnkanknnnxaynaAlimnnaA第33页/共57页lim,limnnnnaAbB若.lim()nnniabAB.limnnniiabA B.lim,(0)nnnaAiiiBbB则证：lim,limnnnniaAbB0,0,NnN,22nnaAbB()()22nnnnabABaAbBlim()nnnabAB5.有理运算法则第34页/共57页例7. 求222312limnnn解：由于2223312

14、(1)(21)111(1)(2),66nn nnnnnn根据有理运算法则得2223121111limlim(1)(2).63nnnnnn第35页/共57页例8. 求525434361lim.362nnnnnnnn解: 因为根据有理运算法则得5254343614lim.3623nnnnnnnn523455432436144361limlim,6123623nnnnnnnnnnnnnnn第36页/共57页例9. 求111lim.1 22 3(1)nnn解: 因为所以11111111(1)()()1 22 3(1)223111,1nnnnn 111lim1.1 22 3(1)nnn第37页/共57页

15、三.收敛准则定理2.5 单调有界数列必有极限1. 单调增，上有界数列必有极限2. 单调减，下有界数列必有极限Mxxxxnn121)(limMaxnnnx1nxM1x2xxamxxxxnn121)(limmbxnnmnx1nx1x2xxb第38页/共57页证明： 不妨设数列为单调增加且有上界，根据确(1),nxNn(2).:, 000 nnxx有则取NnnN,0界存在定理，由nx构成的数集必有上确界，满足：nnxx0因而. nx于是.lim nnx注：单调增有上界的数列收敛于其上确界；单调减有下界的数列收敛于其下确界。第39页/共57页例10.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证

16、明数列nxn 证:,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去).2131lim nnx第40页/共57页, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1

17、(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n第41页/共57页11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大 大 正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知112!111(1 )(1 )(1 )nnnnn大 第42页/共57页nx记此极限为 e ,e)1 (lim1nnn e 为无理数 , 其值为2 718281828459045e. 即有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121

18、221121n又32121111n1213n内容小结 第43页/共57页*1nx2nx1n*KnKnx2n数列的子数列（子列）由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !则原数列一定发散 .第44页/共57页*,axkn证: 设数列是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有knKnN从而有由此证明 .limaxknk*NKnNxKnxknx注. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .第45页/共57页注. 收敛数列

19、的任一子数列收敛于同一极限 .思考：上面结论反过来是否成立？即axaxnnnkklimlim?定理2.7 （数列极限的归并原理） limlimkknnnnnkxaxxxa是是的的子子列列，有有收敛数列必有界，有界数列不必收敛，但有如下结论：定理2.8（Weierstrass定理-致密性定理）有界数列必有收敛子列。第46页/共57页定理2.9（Caucy收敛原理）数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N ,使当NnNm,时,mnxx证: “必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时, 有 使当,2axn2axm因此mnxx)()(axaxmnaxnaxm“充分性” 证明从略 .,N有

20、第47页/共57页,0,Npnnpnxxlimnnx存在,NN对于恒有,0,n mNnmxxlimnnx存在,NN对于恒有定理2.9（Caucy收敛原理）可以简记作为了应用上的方便，定理常写成另一种等价形式第48页/共57页例12. 设,131211222nan证明数列na证: 要证na收敛，只要证明它满足Caucy条件。,Npn由于npnnpnpnnnnnpnpnnnnnpnnnaanpn1)11()111()2111()111() 1)(1)2)(1(1) 1(1)(1)2(1) 1(1222收敛。第49页/共57页所以，, 0,1NNn 故原数列满足Cauchy只要取则及Np,|npnaa恒有条件， 所以收敛。第50页/共57页,131211nan例13. 设证明数列证：