一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

1、一元二次不等式及其解法1一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a工0的形式.当a0时，解集为;当av 0时，解集为.2元二次不等式及其解法(1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式(2) 使某个一元二次不等式成立的 x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 .(3) 一元二次不等式的解：函数与不等式 0= 0v 0二次函数y= ax2 + bx+ c(a 0)的图象一兀二次方程有两相异实根有两相等实根无实根ax2 + bx+ c= 0(a 0)的根X1, X2(X1 v

2、 X2)bX1 = X2= 名ax2 + bx+ c 0(a 0)的解集Rax2 + bx+ cv 0(a 0)的解集x| X1 v xv X23分式不等式解法f （ x）（1）化分式不等式为标准型方法：移项，通分，右边化为0,左边化为g（x）的形式（2）将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f( x)g( x)f(x)g(x) 0;f (x)g (x)f(x)g(x)v 0;w 0f (x) g (x) 0 B= x| 2v2，贝y AAB=()D.1, 2)A. 2, 1B. 1 , 2)C.1, 1解：/ A = x|x3或 xW 1, B= x| 2$V 2AA B= x| 2$W 1

3、 = 2, - 1.故选A.设 f(x)= x2+ bx+ 1 且 f( 1) = f(3),则f(x)0的解集为(A.x|x RC.x| x 1B.x|xm 1, x RD.x|xW 1解：f( 1) = 1 b+ 1 = 2 b, f(3) = 9+ 3b+ 1 = 10+ 3b,由 f( 1) = f(3)，得 2 b= 10+ 3b,解出b = 2，代入原函数，f(x)0即x2 2x+ 10, x的取值范围是xMl故选B.已知22，则x的取值范围是（）1 1A. 2x0 或 0x2B.2x21 1221 解：当 x0 时，x2；当 x0 时，x 2.1所以x的取值范围是x2，故选D.不

4、等式1 2x苛0的解集是1 2x解：不等式 齐1 0等价于(1 2x)(x+ 1) 0,1 1 也就是 x 2 (x+ 1) V 0，所以一1V XV 21故填 x| 1V x V 2 , x R .(2014武汉调研)若一元二次不等式32kx2 + kx- 8 0，则只须(2x2 + X)max 8k，解得 k ；若 k 0，则只须 8k 0的解集.1解：由(a+ b)xv 3b 2a 的解集为 一a, 3 ,13,从而 a = 2b,贝U a+ b = 3b0,即卩 b0,将 a = 2b 代入(a 3b)x+ b 2a0,得bx 3b 0, xv 3，故所求解集为(a, 3).点拨:般地

5、，一元一次不等式都可以化为axb(a0的形式.挖掘隐含条件a+ b0且3二a+ b1扌是解本题的关键解关于x的不等式：（m2 4）xv m + 2. 解：（1）当 m2 4= 0 即 m= 2 或 m= 2 时， 当m = 2时，原不等式的解集为，不符合 当m = 2时，原不等式的解集为R,符合1（2）当 m2 4 0 即 m v 2 或 m 2 时，xvm 21（3）当 m2 4v 0 即一2v m v 2 时，xm 2类型二一元二次不等式的解法解下列不等式: x2 7x+ 12 0;(2) x2 2x+ 30(3)x2 2x+ 1 v 0;(4)x2 2x+ 2 0.解：(1)x|xv 3

6、 或 x 4.x| 3X 1.因为 0,A.x| 12 1B.x|xw 1C.x| x0x+( x+ 1) (x+ 1) 1 w,l解不等式组 得xv 1;解不等式组 得1wxw 2 1.故原不等式的解集是x|xw 2 1.故选C.类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于 x 解集是x| - 5$W 1求实数b, c的值.解：不等式X2 bx+ cw0勺解集是x| 5$w 1 xi = 5 , X2= 1 是 X2 bx+ c= 0 的两个实数根，的不等式x2 bx+ c0的解集.解：不等式ax2 + bx+ c0的解集为x|2 vxv3,ax2bxc 0 的解集为 av 0，且2

7、和3是方程ax2 + bx+ c = 0的两根，由根与系数的关系得b-=2+3,ac 小 -=2x3aav 0.b = 5a, 即 c= 6a,a v 0.代入不等式 cx2 bx+ a 0，得 6ax2 + 5ax+ aO(av 0).即 6x2 + 5x+ 1v 0,11所求不等式的解集为x| xv 3 .类型四含有参数的一元二次不等式mx2 (m + 1)x+ 1x| x 1；解关于x的不等式:v 0.解：(1)m = 0时，不等式为(x 1)v0,得x 1 0,不等式的解集为 丄(2)当m工0寸，不等式为 m x m (x 1) v 0.1 当m v 0，不等式为x m (x 1) 0

8、,11T丄 1 .m1(I )若 v 1即m 1时，不等式的解集为x| m v xv 1 ； m1 当m 0，不等式为x m (x 1)v 0.1 1(n )若- 1即0 v mv 1时，不等式的解集为x|1 v xvm1m1(川)若m= 1即m = 1时，不等式的解集为点拨:当x当-2v av 0时，解集为；，一1 ；的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m0与m= 0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对 m v 0与m 0进行讨论；第三层次:1丄与1大小的不确定性，对 m v 1、m 1与m = 1进行讨论.

9、解关于x的不等式ax2 22c ax(a R).解：不等式整理为 ax2 + (a 2)x 20,丫所以当a 0时,当a = 0时，解集为(一g, 1.当a工0时，ax2 + (a 2)x 2= 0的两根为一2解集为(g, 1 Ua ；a当a =-2时，解集为x|x= 1;2当a v 2时，解集为一1,.a类型五分式不等式的解法X 12x+ 1x 2 或 x 0的解集是 解:x 2x 2x2 + 3x+ 2 0 ( x+ 2)( x+ 1)(x 2)(x+ 2)(x+ 1) 0,数轴标根得x| 2v xv 1或x 2,故填x| 2vxv 1 或 x2.点拨:分式不等式可以先转化为简单的高次不等

10、式,再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零用 数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为 0(注意：一定要保证x的最高次幕的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴 最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过 写出不等式的解集：若不等号为 则取数轴下方穿根线以内的范围;次右根”，一上一下依次穿过各根，奇穿偶不穿来记忆.(5) 、”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为若不等式中含有号，

11、写解集时要考虑分母不能为零 (1)若集合 A= x| 1W2+ K 3 B =x 2 x|= W0,贝y AAB=()A.x| 1 x 0B.x|0 v x 1C.x|0 X 2D.x|0 w xw 1x (x 2) WQ解：易知 A = x| 1WxW 1 B集合就是不等式组的解集，求出 B =XM 0x|0 xw，所以 AAB= x|0 xw 1故选 B.x一 1不等式2；不 w 0的解集为()U 1 ,+ a) U 1 ,+ a)解:gw0(x-1)(2x+1) wQ2x+ 1 2x+ 1 mq得1x x max2.2(2)已知对于任意的a 1 , 1,函数f(x)= x2+ (a 4)

12、x+ 4 2a的值总大于0,贝V x的 取值范围是()v xv 3v 1 或 x 3v xv 2v 1 或 x 2解：记 g(a)= (x 2)a + x2 4x+ 4, a 1, 1,依题意，只须xv 1或x 3，故选B.g (1) 0, x2 3x+ 20, g ( 1) 0 x2 5x+ 60点拨:对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数， 把关于 x 的二次不等式转换为关于 a 的一次不等式， 化繁为简， 然后再利用一次函数的单调 性，求出 x 的取值范围 .对于满足|a| W2的所有实数a，求使不 等式x2 + ax+ 1 2x+ a成立的x的取值范

13、围.解：原不等式转化为(x 1)a+ x2 2x+ 1 0,设 f(a)= (x 1)a + x2 2x+ 1，贝U f(a)在f（ 2） 0 ，x2 4x3 0，x 3或 xv 1 ，2，2 上恒大于 0，故有：即2解得f（2） 0x2 1 0x 1 或 xv 1xv 1 或 x 3.类型七二次方程根的讨论若方程2ax2 x 1= 0在(0, 1)内有且11C 1a1w a 1.解法二：当a= 0时，x= 1，不合题意，故排除 C, D;当a = 2时，方程可化为4x2 + x+ 1 = 0,而= 1 16 v 0,无实根，故 a= 2不适合，排除 A.故选B.x 21. 不等式 一:w 0

14、的解集是（）x+ 1A.（汽一1）U （ 1, 2B. 1 , 2C.（汽一1） U 2,+ s）D.（ 1, 2x 2 解： w 0（X+ 1）（x 2）w 0，且 x 1,即卩 x （ 1, 2,故选 D.x+ 112. 关于x的不等式（mx 1）（x 2） 0,若此不等式的解集为x|mv xv 2 ,则m的取值范围是（） 0v m v 21 20解：由不等式的解集形式知m v 0.故选D.13. (2013 安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x2，则f(10x)0的解集为()A.x| xlg2 B.x| 1x lg2D.x| x lg21 11解：可设 f(x)= a(x+

15、1) x 2 (a0 可得(10x + 1) 10x- 0,从而 10x，解 得x 300 解得 100W 30故选 C.5. 若关于x的不等式2x2 8x 4 a0在(1, 4)内有解，则实数a的取值范围是() 412解：关于x的不等式2x2 8x 4 a 0在(1, 4)内有解，即 av 2x2 8x 4在(1, 4)内有解，令 f(x)= 2x 2 63 f(x) 5x25x 5. 8x 4= 2(x 2)2 12,当 x= 2 时，f(x)取最小值 f(2) = - 12;当 x= 4 时， f(4) = 2(4 2)2 12= 4,所以在(1, 4)上，一12 尋(x) V 4.要使

16、 av f(x)有解，则 av 4.故 选D.6若不等式x2 kx+ k 10对x (1, 2)恒成立，则实数 k的取值范围是 .解：/x (1, 2), x 10.则 x2 kx+ k 1 = (x 1)(x+ 1 k)0,等价于 x + 1 k0, 即kx+ 1恒成立，由于 2x+ 13,所以只要k即可故填(一汽 2.7. (2014 江苏)已知函数f(x)= x2+ mx 1，若对于任意 x m, m + 1,都有f(x)v 0成立，则实数m的取值范围是 .f ( m)= 2m2 1 v 0,解：由题可得f(x)v 0对于x m , m+ 1恒成立，即2解得f (m+ 1)= 2m2+

17、3mv0,卡vmv0.故填孑，0 .8. 若关于x的不等式x2 ax a匚3的解集不是空集，求实数 a的取值范围.解：x2 ax a 3的解集不是空集 x2 ax a+ 3 = 0的判别式解得a29. 已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x) 2x的解集为(1, 3).(1)若方程f(x)+ 6a= 0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；若f(x)的最大值为正数，求 a的取值范围.解：(1)： f(x) + 2x0 的解集为(1, 3), f(x) + 2x= a(x 1)(x 3),且 av 0.因而 f(x) = a(x 1)(x 3) 2x=ax2 (2 + 4a)x+ 3a.由方程 f(x) + 6a= 0 得 ax2 (2 + 4a)x+ 9a = 0.因为方程有两个相等的实根，所以= (2 + 4a)2 4a 9a = 0,1即