函数展开成傅里叶级数

1、第七节第七节 傅里叶级数傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三三、正弦级数或余弦级数正弦级数或余弦级数一、三角级数一、三角级数, ,三角函数系的正交性三角函数系的正交性一一. .三角级数三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性在高等数学学习当中，接触两类在高等数学学习当中，接触两类基函数基函数： 函数在函数在一点一点的性质的性质 周期函数周期函数(整体性质整体性质) Fourier级数级数三角级数三角级数 表达周期函数表达周期函数nnnx,x,x,xxxu321 )( nnnxxaxf)()(00 nxnxxx,x,x,nxnxxuncos,sin2cos2sinc

2、ossin1 cossin)( 10)sin()(nnntnAAtf 谐波分析谐波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb , xt 称为三角级数称为三角级数. .简单的周期运动简单的周期运动 : :)sin( tAy复杂的周期运动复杂的周期运动 : :为振幅，为振幅，A为角频率，为角频率， .为初相为初相 得级数得级数( (一一) )三角级数三角级数 表达周期函数表达周期函数1757年年,法国数学家法国数学家克莱罗克莱罗在研究太阳引起的摄动时在研究太阳引起的摄动时,.co

3、s2)(10nnnxAAxf大胆地采用了三角级数表示函数大胆地采用了三角级数表示函数:.dcos)(2120 xnxxfAn其中1759年年,拉格朗日拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数在对声学的研究中使用了三角级数.1777年年,欧拉欧拉在天文学的研究中在天文学的研究中,用三角函数的正交性用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角函数时的系数得到了将函数表示成三角函数时的系数.也就是现今教科书中傅立叶级数的系数也就是现今教科书中傅立叶级数的系数. 在历史上在历史上, ,三角级数三角级数的出现和发展与求解微分方程的出现和发展与求解微分方程 1753年年.丹丹 贝努利贝努利首先提出将弦振动方程的

4、解表示为首先提出将弦振动方程的解表示为是分不开的是分不开的. .三角级数的形式三角级数的形式,这为傅立叶级数题奠定了物理基础这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展促进了它的发展. 1822年,傅立叶傅立叶在在 热的解析理论热的解析理论 一书中一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形特殊的情形采用的三角级数方法进行加工处理采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论发展成一般理论.傅立叶傅立叶指出指出: :)(),(xf上的有界函数任意定义在 可以展开成级数可以展开成级数其中其中.)2 , 1(dsin)(1nxnxxfbn,.)2 , 1 ,

5、 0(dcos)(1nxnxxfan.)sincos(210 nnnnxbnxaa)(xfxxnkxnkd)cos()cos(21证证:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsin xxnxk同理可证同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交正交 ,上的积分等于上的积分等于 0 .即其中即其中任意两个不同任意两个不同的函数之积在的函数之积在0dsincos xxnxk)(nk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( (二二) )、三角函数系的正交性、三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2

6、cos,sin,cos, 1nxnxxxxx上的积分不等于上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有且有 但是在三角函数系中两个但是在三角函数系中两个相同相同的函数的乘积在的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数问题问题: :是是什什么么？数数，若若函函数数能能展展开开成成三三角角级级iiba ,. 12. 展开的条件是什么展开的条件是什么? ?的周期函数，的周期函数，是周期为是周期为设设2)(xf.)1(0a求求xkxbkxax

7、axxfkkkd )sincos(d2d)(10 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf且能展开成三角级数且能展开成三角级数,220 a.d)(10 xxfa则则xkxbxkxaxakkkkdsindcosd2110 .)2(na求求 xnxaxnxxfdcos2dcos)(0dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk(利用正交性利用正交性) xnxandcos2, na xnxxfandcos)(1则则)., 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1则则)., 3 , 2 , 1( n xnxaxnxxfdsin2dsin)(0d

8、sinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk, nb(利用正交性利用正交性) ), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 2020), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann或或傅里叶系数傅里叶系数代入傅里叶系数的三角级数称为代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件条件在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数在什么条件下函数可以展开

9、成傅里叶级数? ?狄利克雷狄利克雷于于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性年第一次对于傅立叶级数的收敛性给出了严格的证明给出了严格的证明.得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则. .定理定理( (收敛定理收敛定理, , 展开定理展开定理) )设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级

10、数收敛叶级数收敛 , 且有且有 10sincos2nnnnxbnxaa , )(xf,2)()( xfxf x 为间断点为间断点其中其中nnba ,( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点注意注意: 函数展成函数展成傅傅里里叶级数的条叶级数的条件比展成幂级数件比展成幂级数的条件低得多的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 的连续点，是设)(),(. 10 xfx则有则有),(. 2x设间断点，的是)(xf;)()sincos(2: )(10 xfnxbnxaaxSnnn;)0()0(21)(xfxfxS则有则有时，当,. 3x有有.)0

11、()0(21)(ffxS既既例例1. 设设 f (x) 是是周期为周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅先求傅里里叶系数叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. oyx11机动 目录 上页 下页 返回 结束 xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin

12、31xkk) 12sin(121),2,0,(xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知根据收敛定理可知,时时, ,级数收敛于级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11说明:), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 otu11不同频率不同频率正弦波正弦波逐个叠加成逐个叠加成方波方波,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 物理意义物理意义)12sin(1213sin31

13、sin4)( xkkxxxf).,2, 0;( xxtusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 傅里叶级数展开式的意义傅里叶级数展开式的意义函数的整体逼近函数的整体逼近. .解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. .), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx2)( f收敛于收敛于20 .2 .

14、)(0, 00,)(2)(展展开开为为傅傅里里叶叶级级数数将将表表达达式式为为的的周周期期函函数数，它它在在上上的的是是周周期期为为设设xfxtxxfxf 例例2).()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 txfa)d(10 0d1tx,2 0221 x 0dcos1xxnx xnxxfandcos)(1 02cossin1nnxnnxx 2cos1nn), 2 , 1(2, 012,)12(22 kknknk xnxxfbndsin)(1.)1(1nn 0dsin1xnxx 3o 2 2 3yx 2 )5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin2

15、1)sincos2(4)(22xxxxxxxxxf ),3,( xx),()()()2( xfxFT周期延拓周期延拓)()(21 ff端点处收敛于端点处收敛于非周期函数展开成傅里叶级数非周期函数展开成傅里叶级数即非周期函数，即非周期函数，上有定义，上有定义，只在区间只在区间如果函数如果函数,)( xf并且满足收敛定理的条件，并且满足收敛定理的条件，可利用周期的可利用周期的延拓延拓展开成傅里叶级数，展开成傅里叶级数，).(2,(,xF的的周周期期函函数数成成周周期期为为拓拓广广外外补补充充函函数数定定义义，把把它它或或在在 ), )(xxf周期延拓周期延拓)(xF傅傅里里叶展开叶展开,)(在xf

16、上的傅上的傅里里叶级数叶级数定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法), , )(xxf, )2(kxf其它其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将函数将函数xxxxxf0, 0,)(级数级数 .oyx则则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶叶2 为为周期周期的函数的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x3cos312na)1cos(22nn12

17、 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 物理意义物理意义 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x242 4 )(xfxyO不同频率不同频率余弦波余弦波逐个叠加成逐个叠加成锯齿波锯齿波利用此傅氏展开式求利用此傅氏展开式求几个几个特殊的级数的和特殊的级数的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf因因为为有有, 0)0(,0 fx时时当当,513118222 ,4131211222 设设),8(513112221 ,6141212

18、222 ,41312112223 ,44212 因因为为,243212 所所以以21 ,62 132.122 例例4. 将函数将函数tEtusin)(展成傅里叶级数展成傅里叶级数, 其其中中E E 为正常数为正常数 . .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE延拓成以延拓成以2 2 为周为周期期 的的函数函数 0d)(2ttu机动 目录 上页 下页 返回 结束 , tt 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),

19、2,1(k1a0)(tu,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(200, 1, 1)(2处收敛于处收敛于傅里叶级数在点傅里叶级数在点为周期的为周期的则以则以设设 xxxxxf,)(满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件显然显然xf例例5 5解解即即的平均值的平均值与与处的和为处的和为其傅里叶级数在其傅里叶级数在,)()( ffx2)()( ff2)1()1(2 .22 .22 故应填入故应填入三、正弦级数或余弦级数三、正弦级数或余弦级数1.奇函数与偶函数的傅里叶级数奇函数与偶函数的

20、傅里叶级数),3 ,2 , 1(dsin)(2),2 , 1 ,0(0)(2)1(0 nxnxxfbnaxfnn数数为为级级数数时时，它它的的傅傅里里叶叶系系展展开开成成傅傅里里叶叶的的奇奇函函数数当当周周期期为为), 3 , 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(dcos)(2)(2)2(0 nbnxnxxfaxfnn数数为为级级数数时时，它它的的傅傅里里叶叶系系展展开开成成傅傅里里叶叶的的偶偶函函数数当当周周期期为为证证,)()1(是奇函数是奇函数设设xf xnxxfandcos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n奇函数奇函数 0dsin)(2xnxxf)., 3 , 2 ,

21、 1( n同理可证同理可证(2) xnxxfbndsin)(1偶函数偶函数证毕证毕定义定义.sin)(1称为正弦级数称为正弦级数为奇函数，傅里叶级数为奇函数，傅里叶级数如果如果nxbxfnn .cos2)(10称为余弦级数称为余弦级数为偶函数，傅里叶级数为偶函数，傅里叶级数如果如果nxaaxfnn 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. .,), 2, 1, 0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx2)()( ff收敛于收敛于2)( , 0 ),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数，将，将上的表达式为上的表达式为的周

22、期函数，它在的周期函数，它在是周期为是周期为设设)()(),2)(xfxxfxf 例例,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时因为因为 xfkx 2 2 3 3xy0和函数图象和函数图象), 2 , 1 , 0(, 0 nan所以所以 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 观观察察两两函函数数图图形

23、形2. 在在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 1xyo例例1. 将函数将函数,1k )0(1)(xxxf分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数先求正弦级数. 去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作作奇周期延拓奇周期延拓,0ds

24、in)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxx nnncoscos12 12 knkn2 ),2, 1(k,1222k机动 目录 上页 下页 返回 结束 kn2 nb12,1222knk),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 ,与给定函数与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1xyo因此得因此得 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . knk2,1 3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x5s

25、in)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(2xxxxxy 1 xy再求余弦级数再求余弦级数.x1y将)(xf则有则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0 ),2, 1(k作,偶周期延拓偶周期延拓 机动 目录 上页 下页 返回 结束 kn 2,0 121xxcosx3cos312)0( xx5cos512说明说明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 1yox1 xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy 内容小结内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2