函数在某一个点处连续的定义

1、1 一、函数在某一个点处连续的定义一、函数在某一个点处连续的定义 设函数设函数f在某在某 内有定义，若内有定义，若 则称则称f在点在点x0连续。连续。 由于函数连续是指这个极限存在并且等于由于函数连续是指这个极限存在并且等于f(x0)，而极限，而极限具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛具有局部唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性等，那同样的这个极限也有这些性质性等，那同样的这个极限也有这些性质 定理定理4.2 （局部有界性局部有界性） 若函数若函数f在点在点x0连续，则连续，则 f在某在某 内有界内有界定理定理4.3 若函数若函数f在点在点x0连续，且连续，且f(

2、x0)0(或或0)，则对任何的，则对任何的正数正数rf(x0)(或或rr (或或f(x)-r)2 连续函数的性质连续函数的性质)(0 xU)()(lim00 xfxfxx)(0 xU2 若若 f(x), g(x)都在点都在点x0处连续，则根据极限的四则运算法处连续，则根据极限的四则运算法则有则有 即连续函数的和差仍然是连续函数即连续函数的和差仍然是连续函数 即连续函数的乘积仍然是连续函数即连续函数的乘积仍然是连续函数若若 g(x0)0 则则 即在分母不为零的情况下，连续函数的商仍然是连续函数即在分母不为零的情况下，连续函数的商仍然是连续函数 由前面我们知道由前面我们知道 y=c y=x都是连续

3、函数，所以它们的乘都是连续函数，所以它们的乘积，和差都连续函数，所以反复的和差乘积得到积，和差都连续函数，所以反复的和差乘积得到 在定义域内的每一点都连续在定义域内的每一点都连续)()()()(lim000 xgxfxgxfxx)()()()(lim000 xgxfxgxfxx)(/ )()(/ )(lim000 xgxfxgxfxxnnnnaxaxaxaxP1110)()()(lim)()(lim0000 xgxgxfxfxxxx3 函数函数 （P,Q是多项式）在其定义域内每是多项式）在其定义域内每一点都连续一点都连续Sinx cosx 也是也是R上的连续函数上的连续函数所以得到所以得到 t

4、anx cotx 在其定义域内连续在其定义域内连续定理定理 4.5 对于复合函数对于复合函数y=g(f(x)，若函数，若函数f在点在点x0连续，连续，g在在点点u0=f(x0) 连续，则复合函数连续，则复合函数g.f在点在点x0连续。连续。证明证明 要证明复合函数要证明复合函数 gf在点在点x0连续，按定义，只要证明连续，按定义，只要证明 要证明这个极限等于它，按定义要证明这个极限等于它，按定义任给任给 找找 当当 时时 因为因为 g在在 u0处连续处连续 所以存在所以存在 ，当，当 时，有时，有 )()()(xQxpxR)()(lim00 xfgxfgxx00|0 xx|)()(|0 xfg

5、xfg0110|uu| )()(|0ugug4 又因为又因为 f在在x0处连续，处连续， 所以对上面的所以对上面的 存在存在 当当 时时 有有 即即 从而有：当从而有：当 时时 有有 从而从而 由这个定理得到由这个定理得到 即即 10220| xx10| )()(|xfxf10|)(|uxf20| xx|)()(|0 xfgxfg)()(lim00 xfgxfgxx)(lim()()(lim000 xfgxfgxfgxxxx)(lim()(lim00 xfgxfgxxxx5 例如例如 求求 解：这个函数可以看做是由函数解：这个函数可以看做是由函数 sinu u=1-x2复合而得到的。复合而得到

6、的。由于函数由于函数 sinu 1-x2等都是连续函数等都是连续函数所以所以 其实对于公式其实对于公式 并非一定要求里面的函数一定要是连续函数，其实只要里面并非一定要求里面的函数一定要是连续函数，其实只要里面的函数在的函数在x0处有极限处有极限a，至于函数在该点处的函数值是否等于这，至于函数在该点处的函数值是否等于这个个a，以及在该点处是否有定义我们都不用管，而外面的函数在，以及在该点处是否有定义我们都不用管，而外面的函数在a处又连续处又连续 )1sin(lim21xx00sin)1 (limsin)1sin(lim2121xxxx)(lim()(lim00 xfgxfgxxxx6 即即 若若

7、 则则 和刚才证明定理的一样：和刚才证明定理的一样：任给任给 找找 当当 时时 因为因为 g在在 a处连续处连续 所以存在所以存在 ，当，当 时，有时，有又因为又因为 所以对上述的所以对上述的 存在存在 当当 时时 有有 从而从而)()(lim)(lim0agugaxfauxx)(lim()(lim00 xfgxfgxxxx00|00 xx|)(lim()(|0 xfgxfgxx011|au| )()(|agugaxfxx)(lim010220|0 xx1|)(|axf| )()(|agxfg7 即当即当 时，有时，有 所以所以 例例 求极限求极限 （1） （2）解：这个函数是由这两个函数解：

8、这个函数是由这两个函数 复合得到复合得到 20| xx|)(lim()(|0 xfgxfgxx)(lim()(lim00 xfgxfgxxxxxxxsin2lim0 xxxsin2limxxuusin2,1)sin2(limsin2lim00 xxxxxx2)sin2(limsin2limxxxxxx8 函数在某一点处连续的一些性质函数在某一点处连续的一些性质 :局部有界性、局部保号性、局部有界性、局部保号性、复合的连续性复合的连续性 函数在一个闭区间上的连续的性质：函数在一个闭区间上的连续的性质： 定义定义1 设设f为定义在数集为定义在数集D上的函数，若存在上的函数，若存在x0D，使得对一，

9、使得对一切切xD,都有都有 则称则称f在在D上有最大（最小）值，并称上有最大（最小）值，并称f(x0)为为f在在D上的最上的最大（最小）值。大（最小）值。例如例如 函数函数 y=sinx 在闭区间在闭区间 上上 最大值是最大值是1， 最小最小值是值是0是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、最小值呢是不是任何一个函数在其定义域上都有最大值、最小值呢 ？)()()()(00 xfxfxfxf, 09 例如例如 函数函数 y=x (0,1) 则它既没有最大值也没有最小值则它既没有最大值也没有最小值函数函数 闭区间闭区间0,1上也既没最大值也没有最上也既没最大值也没有最小值小值 定理定理4.6 （

10、最大、最小值定理最大、最小值定理） 若函数若函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，则则f在在a,b上有最大最小值上有最大最小值推论推论 （有界性定理）有界性定理） 若函数若函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，则上连续，则f在在a,b上有界上有界102) 1 , 0(1)(与xxxxg10 定理定理4.7 （介值定理）（介值定理） 设函数设函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且, 若若u为介于为介于f(a)与与f(b)之间的任何实数之间的任何实数（f(a)uuf(b)）, 则至少存在一点则至少存在一点,使得使得 从而从而 同时当同时当 异号，则必有一个正、一个负，因此异号，则必有

11、一个正、一个负，因此 0必在必在这个值域区间中，从而必至少有一个自变量这个值域区间中，从而必至少有一个自变量 ，使得，使得 推论（推论（根的存在定理根的存在定理）若函数）若函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，且上连续，且f(a)与与f(b)异号，则至少存在一个点异号，则至少存在一个点x0a,b,使得使得f(x0)=0,即方即方程程f(x)=0在在(a,b)内至少有一个根。内至少有一个根。)()(bfaf),(0bax uxf)(0),()(),(),()(bafbfafbfaf则若),()(),(),()(bafafbfafbf则若)()(bfaf与,0bax 0)(0 xf11 f(a) 与

12、与 f(b) 异号至少一个点的函数值为异号至少一个点的函数值为0 一般地，一般地， ，I是一个区间，但未必是一个闭区间，是一个区间，但未必是一个闭区间，函数函数y=f(x)在在I上连续，任意取上连续，任意取 ，因为函，因为函数在数在I上连续，从而在闭区域上连续，从而在闭区域c,d上连续，因此上连续，因此 ，由闭区间上，由闭区间上的介值定理有的介值定理有 ，这说，这说明任意的两个不同的明任意的两个不同的函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中函数值所组成这个区间都包含在这个函数的值域中，所以值域，所以值域是一个区间，即是一个区间，即I是区间，且是区间，且f在在I上连续，则函数的值域也是一上连

13、续，则函数的值域也是一个区间。个区间。Ixxfy),()()(,dfcfIdc若)()(),(Ifdfcf12 闭区间上连续的函数，有最大值闭区间上连续的函数，有最大值M, 最小值最小值m, 从而区间从而区间为为m,M必包含在必包含在f(I)中，又函数值最大就是中，又函数值最大就是M，最小是，最小是m，所以值域最大也就能为所以值域最大也就能为m,M,因此因此f(I)=m,M 若函数在这个区间是增函数，则最大值为若函数在这个区间是增函数，则最大值为f(b),最小值为最小值为f(a),因此值域为因此值域为f(a),f(b)，若是减函数，则值域为，若是减函数，则值域为 f(b),f(a) 闭区间上连

14、续函数的几点性质，闭区间上连续函数的几点性质，最大最小值定理最大最小值定理， 有界性有界性定理，定理，根的存在定理根的存在定理13例例 3 证明证明 ：若：若 r0, n 为正整数，则存在唯一正数为正整数，则存在唯一正数x0， 使得使得 （称为（称为r的的n次正根次正根(即算术根即算术根)，记作，记作 ）证明：证明： 存在性存在性: 要证明存在一个数要证明存在一个数x0， 使得使得 ，利用介，利用介值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根值定理来证明，首先就必须构造一个闭区间上连续的函数，根据所要证明的式子，我们构造函数据所要证明的式子，我们构造函数 由于由于 0n=0, 所以存

15、在正数所以存在正数a， 使得使得 考虑函数考虑函数 则这个函数在这个闭区间上连续则这个函数在这个闭区间上连续 且且 f(0)rf(a)由介值定理，存在由介值定理，存在 ，使得，使得 再证唯一性再证唯一性 设还有另一个整数设还有另一个整数x1，使得，使得xn1=r ，则有，则有 从而从而 x0=x1rxn0nrx 0rxn0nxy nxxlimrannxxf)(, 0ax), 0(0ax rxxfn00)(0).)()(11120101010nnnnnxxxxxxxx14 例例 4 设设f在在a,b上连续，满足上连续，满足 证明：存在证明：存在 ，使得，使得 分析，要找一个分析，要找一个 使得使

16、得 ， 即即考虑用根的存在定理，考虑用根的存在定理， 作函数作函数 F (x)=f (x) -x，则，则F(x)在在a,b上连续，并且由上连续，并且由所以所以 F (a)=f(a)-a0 F (b)=f(b)-b0上面的两个不等式，若其中至少有一个成立，则命题成立。若上面的两个不等式，若其中至少有一个成立，则命题成立。若两个不等式的等号都不成立，则这时两端的函数值异号，由根两个不等式的等号都不成立，则这时两端的函数值异号，由根的存在定理得到，存在的存在定理得到，存在 ，使得，使得 ,),(babaf,0bax 00)(xxf,0bax 00)(xxf0)(00 xxf,),(babaf,0ba

17、x 00)(xxf15 连续函数的复合是连续函数，连续函数的复合是连续函数，连续函数若存在反函数时，连续函数若存在反函数时，反函数是否连续？反函数是否连续？定理定理4.8 若函数若函数f在在a,b上严格单调并连续，则反函数上严格单调并连续，则反函数f-1在其在其定义域定义域f(a), f(b)或或f(b), f(a) 上连续上连续 证明：证明： 不妨设不妨设f在在a,b上严格增，由于上严格增，由于f是单调函数，所以是单调函数，所以f有反函数有反函数f-1，并且由闭区间上连续函数性质得到，并且由闭区间上连续函数性质得到，f的值域为的值域为f (a), f (b)， 从而从而 f-1的定义域为的定

18、义域为f (a), f (b) 任取任取 对端点一样证明对端点一样证明 往下证明在该点处连续，即：往下证明在该点处连续，即： 即任给的即任给的 找找 当当 时有时有)(),(0bfafy )()(lim0110yfyfyy00|0yy| )()(|011yfyf16 设设 即即 在在x0的左右两侧分别取的左右两侧分别取 x1 , x2 ,且使得且使得设设 根据函数是单调递增，所以根据函数是单调递增，所以 取取 则当则当 时时 ，有，有 所以所以 所以反函数所以反函数f-1 连续连续)(010yfx)(00 xfy |10 xx|20 xx)(11xfy )(22xfy 111)(xyf221)

19、(xyf201yyy,min1002yyyy|0yy211)(xyfxx| )()(|0011xxyfyf17 例例5 由于由于y=sinx在区间在区间 上严格单调且连续，故上严格单调且连续，故其反函数其反函数y=arcsinx在区间在区间-1,1上连续上连续 同样同样 y=arccosx在在-1,1上连续上连续 y=arctanx 在上连续在上连续例例6 y=xn (n为整数为整数)在在0,+)上严格单调且连续，故其反函上严格单调且连续，故其反函数数 在在0,+ )连续，连续， 而而 可以看做可以看做 的复合，而这两个函数的复合，而这两个函数都是连续函数，所以这个函数也连续都是连续函数，所以这个函数也连续 所以得到所以得到 （q为非零整数）是其定义域区间上的连为非零整数）是其定义域区间上的连续函数续函数2,2nxy1nxy1xuuyn1,qxy118 例例 证明：证明： 有理幂函数有理幂函数 在其定义区间上连续在其定义区间上连续证明：证明： 是有理数，所以是有理