高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和练习 文

1、6.3等比数列及其前n项和考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.等比数列的定义及通项公式1.理解等比数列的概念2.掌握等比数列的通项公式3.了解等比数列与指数函数的关系2017课标全国,17;2016课标全国,17;2015浙江,6选择题、填空题、解答题2.等比数列的性质及其应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2014北京,15;2015课标,9;2015广东,133.等比数列的前n项和公式掌握等比数列的前n项和公式2017课标全国,17;2017江苏,9;2016北京,15分析解读本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关内容.对等比数列

2、的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.五年高考考点一等比数列的定义及通项公式1.(2014安徽,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,则a7=.答案142.(2017课标全国,17,12分)已知等

3、差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解析设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.联立和解得d=3,q=0(舍去),或d=1,q=2.因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.3.(2016课标全国,17,12分)已知

4、an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.解析(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2,(3分)所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(5分)(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,(7分)因此bn是首项为1,公比为13的等比数列.(9分)记bn的前n项和为Sn,则Sn=1-13n1-13=32-123n-1.(12分)教师用书专用(47)4.(2014福建,17,12分)在等比数列an中,a2=3,a5=81.

5、(1)求an;(2)设bn=log3an,求数列bn的前n项和Sn.解析(1)设an的公比为q,依题意得a1q=3,a1q4=81,解得a1=1,q=3.因此,an=3n-1.(2)因为bn=log3an=n-1,所以数列bn的前n项和Sn=n(b1+bn)2=n2-n2.5.(2014北京,15,13分)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求数列bn的前n项和.解析(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=a4-a13=12-33=3.所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,

6、).设等比数列bn-an的公比为q,由题意得q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,).数列3n的前n项和为32n(n+1),数列2n-1的前n项和为11-2n1-2=2n-1.所以数列bn的前n项和为32n(n+1)+2n-1.6.(2013四川,16,12分)在等比数列an中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列an的首项、公比及前n项和.解析设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1

7、+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列的前n项和Sn=3n-12.7.(2013天津,19,14分)已知首项为32的等比数列an的前n项和为Sn(nN*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)证明Sn+1Sn136(nN*).解析(1)设等比数列an的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列an的通项

8、公式为an=32-12n-1=(-1)n-132n.(2)证明:Sn=1-12n,Sn+1Sn=1-12n+11-12n=2+12n(2n+1),n为奇数,2+12n(2n-1),n为偶数.当n为奇数时,Sn+1Sn随n的增大而减小,所以Sn+1SnS1+1S1=136.当n为偶数时,Sn+1Sn随n的增大而减小,所以Sn+1SnS2+1S2=2512.故对于nN*,有Sn+1Sn136.考点二等比数列的性质及其应用1.(2015课标,9,5分)已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.12D.18答案C2.(2015广东,13,5分)若三个正数a,

9、b,c成等比数列,其中a=5+26,c=5-26,则b=.答案13.(2014广东,13,5分)等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.答案5教师用书专用(45)4.(2014大纲全国,8,5分)设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.64答案C5.(2013辽宁,14,5分)已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案63考点三等比数列的前n项和公式1.(2013课标全国,6,5分)设首项为1,

10、公比为23的等比数列an的前n项和为Sn,则()A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an答案D2.(2017江苏,9,5分)等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=.答案323.(2015课标,13,5分)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.答案64.(2017课标全国,17,12分)记Sn为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解析(1)设an的公比为q,由题设可

11、得a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.,解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2-23+(-1)n2n+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.5.(2016北京,15,13分)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求an的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.解析(1)等比数列bn的公比q=b3b2=93=3,(1分)所以b1=b2q

12、=1,b4=b3q=27.(3分)设等差数列an的公差为d.因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.(5分)所以an=2n-1(n=1,2,3,).(6分)(2)由(1)知,an=2n-1,bn=3n-1.因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.(8分)从而数列cn的前n项和Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1=n(1+2n-1)2+1-3n1-3=n2+3n-12.(13分)教师用书专用(611)6.(2013江西,12,5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于.答案6

13、7.(2013北京,11,5分)若等比数列an满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和Sn=.答案2;2n+1-28.(2015四川,16,12分)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列1an的前n项和为Tn,求Tn.解析(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1)

14、,解得a1=2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得1an=12n.所以Tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.9.(2015重庆,16,13分)已知等差数列an满足a3=2,前3项和S3=92.(1)求an的通项公式;(2)设等比数列bn满足b1=a1,b4=a15,求bn的前n项和Tn.解析(1)设an的公差为d,则由已知条件得a1+2d=2,3a1+322d=92,化简得a1+2d=2,a1+d=32,解得a1=1,d=12,故通项公式an=1+n-12,即an=n+12.(2)由(1)得b1=1,b4=a15=15+12=

15、8.设bn的公比为q,则q3=b4b1=8,从而q=2,故bn的前n项和Tn=b1(1-qn)1-q=1(1-2n)1-2=2n-1.10.(2014四川,19,12分)设等差数列an的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(nN*).(1)证明:数列bn为等比数列;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-1ln2,求数列anbn2的前n项和Sn.解析(1)证明:由已知可知,bn=2an0,当n1时,bn+1bn=2an+1-an=2d,所以数列bn是首项为2a1,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x的图象在(a2,b2)处的

16、切线方程为y-2a2=(x-a2)2a2ln 2,该切线在x轴上的截距为a2-1ln2.由题意知,a2-1ln2=2-1ln2,解得a2=2.所以d=a2-a1=1,an=n,bn=2n,anbn2=n4n.于是,Sn=14+242+343+(n-1)4n-1+n4n,4Sn=142+243+(n-1)4n+n4n+1,因此Sn-4Sn=4+42+4n-n4n+1=4n+1-43-n4n+1=(1-3n)4n+1-43.所以Sn=(3n-1)4n+1+49.11.(2013湖北,19,13分)已知Sn是等比数列an的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.(1)求数列

17、an的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得Sn2 013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.解析(1)设数列an的公比为q,则a10,q0.由题意得S2-S4=S3-S2,a2+a3+a4=-18,即-a1q2-a1q3=a1q2,a1q(1+q+q2)=-18,解得a1=3,q=-2.故数列an的通项公式为an=3(-2)n-1.(2)由(1)有Sn=31-(-2)n1-(-2)=1-(-2)n.若存在n,使得Sn2 013,则1-(-2)n2 013,即(-2)n-2 012.当n为偶数时,(-2)n0,上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n-2 012,即2

18、n2 012,则n11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为n|n=2k+1,kN,k5.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一等比数列的定义及通项公式1.(2018四川资阳一诊,4)已知各项均为正数的等比数列an满足a1a5=16,a2=2,则公比q=()A.4B.52C.2D.12答案C2.(2017江西抚州七校联考,5)在正项等差数列an中,a12=2a5-a9,且a5+a6+a7=18,则()A.a1,a2,a3成等比数列B.a4,a6,a9成等比数列C.a3,a4,a8成等比数列D.a2,a3,a5成等比数列答案B3.(2016河南洛阳期中模拟,6)在等比数

19、列an中,a1=4,公比为q,前n项和为Sn,若数列Sn+2也是等比数列,则q等于()A.2B.-2C.3D.-3答案C4.(2018福建福安一中考试,17)已知等比数列an的各项均为正数,且a2=4,a3+a4=24.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn的前n项和Sn=n2+n+2n+1-2(nN*),求证:数列an-bn是等差数列.解析(1)设等比数列an的公比为q,依题意知q0.因为a1q=4,a1q2+a1q3=24,两式相除得q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以a1=a2q=2.所以数列an的通项公式为an=a1qn-1=2n.(2)证明:当n=1时,b1=4

20、;当n2时,bn=Sn-Sn-1=n2+n+2n+1-2-(n-1)2-(n-1)-2n+2=2n+2n,又b1=4符合此式,bn=2n+2n(nN*),设cn=an-bn,则cn=-2n,当n2时,cn-cn-1=-2,cn即an-bn是等差数列.考点二等比数列的性质及其应用5.(2018福建上杭调研,6)等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=()A.12B.8C.10D.2+log35答案C6.(2018安徽淮北二模,7)5个数依次组成等比数列,且公比为-2,则其中奇数项和与偶数项和的比值为()A.-2120B.-2C.-21

21、10D.-215答案C7.(2017广东深圳一模,4)已知等比数列an的前n项和Sn=a3n-1+b,则ab=()A.-3B.-1C.1D.3答案A8.(2017辽宁六校协作体期中联考,9)在等比数列an中,a5+a6=a(a0),a15+a16=b,则a25+a26的值是()A.baB.b2a2C.b2aD.ba2答案C9.(2017广东惠州二调,4)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.-7C.-5D.5答案B10.(2018广东惠州一调,15)已知等比数列an的公比为正数,且a3a9=2a52,a2=1,则a1=.答案22考点三等比数列的前n项

22、和公式11.(2018河北“名校联盟”高三教学质量监测,5)已知数列an是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列an的前2 018项之和S2 018=()A.22 018B.22 017-1C.22 018-1D.22 019-1答案C12.(2017湖北六校联合体4月模拟,10)在数列an中,a1=1,an+1=2an,则Sn=a12-a22+a32-a42+a2n-12-a2n2等于()A.13(2n-1)B.15(1-24n)C.13(4n-1)D.13(1-2n)答案B13.(2017福建龙岩五校期中,5)已知数列an是等比数列,其前n项和是Sn,若a2=2,a3=-4,

23、则S5等于()A.8B.-8C.11D.-11答案D14.(2017江西吉安一中模拟,15)已知正项等比数列an满足log2an+2-log2an=2,且a3=8,则数列an的前n项和Sn=.答案2n+1-215.(2017河南平顶山一模,17)已知Sn为数列an的前n项和,且2Sn=3an-2(nN*).(1)求an和Sn;(2)若bn=log3(Sn+1),求数列b2n的前n项和Tn.解析(1)2Sn=3an-2,当n=1时,2S1=3a1-2,解得a1=2;当n2时,2Sn-1=3an-1-2,2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,2an=3an-3an-1,an=3an-1,数列an

24、是首项为2,公比为3的等比数列,an=23n-1,Sn=2(1-3n)1-3=3n-1.(2)由(1)知Sn=3n-1,bn=log3(Sn+1)=log33n=n,b2n=2n,Tn=2+4+6+2n=n(2+2n)2=n2+n.B组20162018年模拟提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018广东珠海调研,4)已知等比数列an的公比为正数,前n项和为Sn,a1+a2=2,a3+a4=6,则S8等于()A.81-273B.54C.38-1D.80答案D2.(2016河南洛阳期中模拟,5)下列结论正确的是()A.若数列an的前n项和Sn=n2+n+

25、1,则an为等差数列B.若数列an的前n项和Sn=2n-2,则an为等比数列C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则1a,1b,1c也可能构成等差数列D.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等比数列,则1a,1b,1c一定构成等比数列答案D二、填空题(共5分)3.(2017江西仿真模拟,16)已知数列an的前n项和为Sn,且满足:a1=1,a2=2,Sn+1=an+2-an+1(nN*),若不等式Snan恒成立,则实数的取值范围是.答案1三、解答题(每小题15分,共30分)4.(2017江西南昌三校12月联考,18)已知等比数列an满足an+1+an=92n-1,nN*

26、.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an的前n项和为Sn,若不等式Snkan-2对一切nN*恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)设等比数列an的公比为q,an+1+an=92n-1,nN*,a2+a1=9,a3+a2=18,q=a3+a2a2+a1=189=2,2a1+a1=9,a1=3.an=32n-1,nN*.(2)由(1)知Sn=a1(1-qn)1-q=3(1-2n)1-2=3(2n-1),不等式化为3(2n-1)k32n-1-2,即k2-132n-1对一切nN*恒成立.令f(n)=2-132n-1,nN*,易知f(n)随n的增大而增大,f(n)min=f(1)=2-13=53,

27、k53.实数k的取值范围为-,53.5.(2016山东枣庄八中南校区2月模拟,19)已知单调递增的等比数列an满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=anlog2an,数列bn的前n项和为Sn,若(n-1)2m(Sn-n-1)对于n2(nN*)恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)设等比数列的首项为a1,公比为q, 由题意可知2(a3+2)=a2+a4,又因为a2+a3+a4=28,a3=8,a2+a4=20.a1q+a1q3=20,a1q2=8,解得a1=2,q=2或a1=32,q=12(舍去).an=2n.(2)由(1)知,b

28、n=n2n,Sn=12+222+323+n2n,2Sn=22+223+324+n2n+1,-Sn=2+22+23+2n-n2n+1,Sn=-2-2n+11-2-n2n+1=(n-1)2n+1+2,若(n-1)2m(Sn-n-1)对于n2(nN*)恒成立,则(n-1)2m(n-1)2n+1+2-n-1,即(n-1)2m(n-1)(2n+1-1),mn-12n+1-1(n2),令f(n)=n-12n+1-1,当n2时, f(n+1)-f(n)=n2n+2-1-n-12n+1-1=(2-n)2n+1-1(2n+2-1)(2n+1-1)0,当n2时, f(n)单调递减, f(n)的最大值为17,故实数m的取值范围为17,+.C组20162018年模拟方法题组方法1等比数列的基本运算1.(2018河南郑州一模,3)若等比数列an的前n项和为Sn,且S2=3,S6=63,则S5=()A.-33B.15C.31D.-3