2020届高考数学突破圆锥曲线压轴题专题专题02定点、定值问题(训练篇B)

1、专题2定点、定值问题训练篇B作者：上海市特级教师文卫星1如图，圆C与x轴相切于点T(1, 0)，与y轴正半轴交于两点代B( B在A的上方)，且AB 2 .(1) 圆C的标准方程为 ；(2) 过点A任作一条直线与圆 0:x2 y21相交于M,N两点，下列三个结论： NAMA . NBMA2 NBMA2.云NBMB NA|MB NAMB其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号)解 不妨设圆C的标准方程为：(x 1)2 (y r)2 r2(r 0)，由| AB | 2，知 1212 r22，则圆 C: (x 1)2 (y 2)22.(2)解1因为OT为圆的切线，OAB为圆的割线，所以由切割线定

2、理可得|OT I2 |OA| |OB|.由于 |OT | |OM | |ON |，所以|OM |2 |OA| |OB|, |ONf |OA| |OB|，所以OMA s OBM ,ONA sOBN 因为A(0八21),B(0,2 1),所以|MA| |OM |2 1 ,|NA|ON |2 1 ,|MB| |OB|nb|OB|由此可知正确,|NB|MA|1L1)2 , |NB|MA| 2二|NA|MB |.2 1|NA| MB |所以，都正确解2切割线定理虽然简单，但毕竟不是常用方法，不少同学难以想到以下从解析法角度求解若成立，则 AB ( OB )是 MBN的角平分线，只要证明kBM由(1)中知

3、 A(0, .2 1), B(0, 2 1).当直线MN斜率不存在时，设 M (0, 1),N(0,1)，则|NA|2 血1 |MA|2 2 1|NB|2 1 ,、2|MB|2 2NAMANBMB 当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为：y kx .2 1 ,第15页共9页M (xi, yi), N(X2, y2).联立直线MN与圆O的方程消去,(i k2)X22( . 2XiX2由韦达定理知XiX2则 kBMkBNyii)kX 2(i.2)0.2( . 2 i)ki k22(i ：2)i k2(2 i)y2 (迈 i)XiX2kXi2 i (. 2 i) kX22 i (. 2 i)X2X

4、iX22k 2(丄 丄)2k 2Xi X2Xi X22k 2k 0.故OB是 MBN的角平分线由角平分线定理知| MB |MA|NB|NA|，故正确由点 M 是单位圆上的动点可设 M (cos ,sin )，X则怛, 2+i，出.2 i，都正确.|NA|NB|所以，都正确.4，交C于点A, P( P在第一象限)，且M是线段PN的中点过点P作X轴的垂线交C于另|MB I.cos2sin(-、2 i)2|MA |, cos2sin( 2 i)2从而易判断正确，故都正确解3(特殊化思想)当MN过点A且平行于x轴时，MBA与 NBA 全等，正确，此时 A(0, , 2 i)，B(0,、2 i)，那么A

5、B 2，|NA|22( . 2 i) |NB|22( . 2 i)，一点Q,延长QM交C于点B k(i) 设直线PM , QM的斜率分别为k, k，证明 为定值;k(ii) 求直线AB的斜率的最小值.解(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知2a 4，2c 2.2，所以a 2，b .a2c2,2，所以椭圆C的方程为2 2x y1.42(2)(i)设 P(xo, yo) (Xo 0, yo0)，由M(O,m)，可得 P(x,2m)，Q(xg, 2m).所以直线PM的斜率k，直线QM的斜率k 2m m 竺，此时XoXoXoXokk冬 3，所以为定值 3.kk(ii)设A(x1,y1),B(X2,y2)，

6、直线PA的方程为y kx m，直线QB的方程为 y 3kx m.y kx m联立 x2 y2，整理得，(2k2 1)x2 4mkx 2m2 4 O42由 xOx12(m2(2k2可可得X11) 12(m2 2)(2k21)Xo所以y1kx1 mm，(2k21)Xo同理x222(m2)(18k21)Xo26k(m 2) (18k21)Xom.所以，x2 x22(m2 2)2(18k1)xo22(m2 2)2(2 k1)xo2 232k2 (m2 2)2 2(18k1)(2k1)xoy2 y16k (m2 2)2k(m2 2)2 m 2(18k1)xo(2 k 1)xo8k(6k21)( m2 2

7、)2 2(18k1)(2k1)xo所以，kAB6k2 14ki(6ki由m 0, xo 0，可知k 0，所以6k -2、6，等号当且仅当k时取得.6此时，即m，符号题意所以直线AB的斜率的最小值为、622 2x V3.已知椭圆E：二 21(a b 0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三a b个顶点，点PC 3,-)在椭圆E 上.2(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点O且斜率为-的直线I与椭圆E交于不同的两点 A, B,线段AB的中点为 2M，直线OM与椭圆E交于C,D，证明:MAMBMCMD解(1 )由已知,a 2b，因为椭圆21(a bb0)过点p“2)，所以b21.2x所以椭圆E的

8、方程是一4(2)设直线I的方程为vm(m0),1, 得 x22 mx2 m22x联立4m,4(2m2)，由，解得2.2设 A(X1, V1), B(X2, V2)，则 X1 X22m,X1X2 2m2所以M（ m,m），直线OM方呈为y 2x，代入24 y21, 得所以 MC|MD 身(m .2)舟 2 m) 5 (2 m2).15又 |MA|MB| |AB|2(x1 x2)2 4x1x241652252-4m4(2m 2)-(2 m ).164所以 |MA| |MB = MC MD .2 20的离心率为以椭圆C的左顶点T为x y4如图，已知椭圆C ：r 2a b圆心作圆T : x2 . .r

9、 r 0，设圆T与椭圆C交于点M与点N.（1）求椭圆C的方程；umr uun（2）求TM TN的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M , N的任 意一点，且直线 MP，NP分别与x轴交于R， S, O为坐标原点，求证：|0R OS为定值.解（1）依题意，得a 2, e C 3 ，a 2 2所以c /3, ba2c21，故椭圆C的方程为 1.4（2）解1点M与点N关于x轴对称，设M x1, y1N x-i,yi，不妨设 y10.由于点M在椭圆C上，所以yi由已知T 2,0uur，则 TM =x12,y1uur,TNx1 2, y1 ，所以uur urrTM TN= x12,y

10、12y122X12生422X11 - 5200 - 5X15 一 48 uur uuri时，TM TN取得最小值为 .55此时，yi3故M8,3 ，又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2兰，故圆55525T的方程为 x222yi325 .由于2xi2，故当xisin ,不妨设故设 M 2cos ,sinN 2cossin0.由已知T2，则umr uurTM TN= 2cos2,sin2cos 2,sin2cos22 2sin5cos28cos 35 cos2i5解2点M与点N关于x轴对称,故当cos4 uuur uuu1时，TM TN取得最小值为，此时M5 58 35,5又点M在圆T上，代入圆的

11、方程得到r213，故圆T的方程为x 2 2 y213 .2525(3)解 1 设 P x0, y0yoyiyoXXo，XoXi，则直线MP的方程为y0，得 xRxiyoXoyiyoyi同理可得xsX，故 Xryo+yixs2 2Xi yo2yo2XoYi2yi又点M与点P在椭圆上,2Xo2yo,Xi24 i2yi ，代入式，得:Xr Xs所以,2 24 iyi yo 4 i2yo2 yi2y。2 yi2yi224yoyi4 yfOR OS = xRXsXrXs4，为定值.解 2 设 M 2cos ,sin , N 2cos , sin ，不妨设 sin 0, P 2cos ,sin其中sins

12、in直线MP的方程为y sinsin sin2cos 2cosx 2cos令y=o，得xr2 sin coscos sinsin sin同理可得XS2 sin cos cos sin ，故sin sin4 sin2Xr Xs2cos.2 .2sin sin2 . 2cos sin4 sin2.2sin2 2sin sin4.所以,OR OS = xrXr Xs为定值P 是 I :XUJU5.在平面直角坐标系中，点uurujir动点 M 满足 MQ PF=0,MP= OF R 1上的动点，定点 F(1,0)ujur(1) 求点M(2) 过点F的直线交轨迹 一点，直线TA , TB交|于C, 过X

13、轴上某一定点？若过定点， 明理由解(1)由条件知MQ为线段的轨迹C的方程；C于A, B两点，T为C上任意D两点，以CD为直径的圆是否 求出定点坐标；若不过定点，说点Q为PF的中点,又MP / X轴，则MP丄I ,PF的垂直平分线，所以MP=MF ,M的轨结合抛物线的定义可知：点迹C是以F (1,0)为焦点、1为准线的抛物线，其方程为y2=4x.(2)设 Tyo , a2y2,y1 , b , y2 ，4kAT% yoAT的方程为yy。% yo，即4Xy1yoyo2 yo4，直线%yoyoy1yo4-,即 卩 Cy1yo1 y1 yo 4y1 yo 同理可得D1,y2yo 4y2 yo如果以CD

14、为直径的圆过x轴上某一定点，设定点为UULTN n,0 ，贝U NCUULTND=0恒成立uuu uur又 NC ND =yiy。所以yiy。 4=o，即yiy。y2y。y2y。4科2y。yiy。4 y2y。4yiy。y2 y。22 yy。4 yi y2 y。i64x，得 y2 4ty 4 。，所以设直线AB的方程为x ty -=0 y$2 y。yi y?y。yiy24t，yy24，于是n i-4y。I6ty。I6。 整理得44ty。2y。2222n i4 yo4 i n4 ty。I64 i n。i，代入抛物线方程y2由于上式对任意变量y。、t恒成立，故2n i 40,24 i n 4。，解得

15、 n=i 或-3.2i6 4 i n 。.故以CD为直径的圆过x轴上定点（1,0）和（-3,。）6.在直角坐标系2 亠 x xOy中，椭圆C :2i，直线l : x y 3。，点P是直线l上y kx yi 心，代入C的方程得:的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为 A、B，连接OP交AB于点M.（1）求证：AB所在的直线过定点，并求出此定点的坐标；（2）设PAB的面积为S1，PAM的面积为S2，求1S2的值解（）设点 p x0, x0 3 ， A x）, yi ， B x2, y2 当PA的斜率存在时，设在A处的切线方程为i+2k2 x2 4 k% k2% x 2 y, kx 2 2 0.根据相切得 =0 ,化简得2y2k2 2x1 y(k2Xio，即卩2y x1 2 o，所以k亦，即PA的方程为T y1y 1.同理，PB的方程为 泌 y2y2PA或PB的斜率不存在时,1.也满足上面的方程.因为点 P在两切线上，所以XoXiXoX0X23y