正弦定理的几种证明方法

1、正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理(1)当 ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD根据锐角三角函数的定义, 有CD asin B , CD bsinA由此，得蠡爲同理可得品暮，CBD故有a bsin A sin B sin C .从而这个结论在锐角三角形中成立.(2)当 ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义，有CD asinCBD asin ABCCD b si nA 。由此,得sin Absin ABC，同理可得sinsinbABC故有absin A sin ABCcsin Cbsin B由(1)可知，在ABC中，歆s

2、iFC成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即a bsin A sin Bcsin CDCAD ccosA1用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A,点B之间的距丨AB|，可测量角A与角B, 需要定位点C,即:在如图 ABC中，已知角A,角B,| AB|= c, 求边AC的长b解：过C作CD AB交AB于D,贝UBD csin A csin AcosC tan Csin CsinCcosCb AC AD DCn csin AcosC ccosA -c(sin C cosA sin AcosC) csinBsin Csi nCsi nC推论

3、：sin B sin C同理可证:a bsin A sin BcsinC2.利用三角形面积证明正弦定理已知 ABC,设 BC= a, CA= b,AB = c,作 AD丄 BC,垂足为 D.贝U Rt ADB中AD中,sin B,AB AD=ABsin B=cs inB.1 Sa ab= a? AD1acsin B .同理,可证s1 1 abc= absi nCbcsi nA.222 21 S ab= abs in C1bcsin A1 acsin B abs in c=bcs in A=acs inB,222B在等式两端同除以ABC可得竺C业竺Bcab即一sin Absin Bcsin C3

4、.向量法证明正弦定理 ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于AC ,则j与AB的夹角为90 -Aj 与CB的夹角为90 -C由向量的加法原则可得AC CB AB,为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到j?(AC CB) j?AB由分配律可得AC |j | AC Cos90j ?CB j ?AB.+| j | CB Cos(90 -C)=| j | AB Cos(90asi nC=csi nA.a csin A sinC另外，过点C作与CB垂直的单位向量j ,则j与AC的夹角为90+C, j与AB的夹角为90+B,可得一Jsin Cbsi

5、n B(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与AC的夹角为90 -Cj与AB的夹角为90 -B)a b csin A sin B sin Csin A sin C A ABC为钝角三角形,不妨设A90 ,过点A作与AC垂直的单位向量j ,则 j与AB的夹角为A-90,j与CB的夹角为90 -C由 AC CB AB ,得 j AC +j Aj即 a Cos(90 -C)=c Cos(A-90 ),.asinC=csinA.另外,过点C作与CB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为90+C, j与AB夹角为 90 +B.同理,可得-sin Bcsin Ca b csimAsi nBsinC4.外接圆证明正弦定理ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c作厶ABC的外接圆，O为圆心,连结BO并延长交圆于B,设BB =2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧 所对的圆周角相等可以得到/ BAB =90,/ C = / B,二 sin C=sin Bc=sin C sin B2R2R.si