定积分C层讲义

1、第 12 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 4 , 共 48学时.主要内容：导数与微分的应用，不定积分，定积分，微分方程本次课题：定积分的概念与性质教学要求：1.了解定积分的概念2.掌握定积分的性质 重 点：定积分的性质难 点：1.定积分的概念2.定积分的性质教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1. 复习 （5）2. 定积分问题举例 （15）3. 定积分定义 （15）4. 定积分的性质 （30）5. 例题及练习 （25）课后作业参考资料定积分的概念与性质一、复习不定积分的概念二、定积分问题举例曲边梯形的面积曲边梯形由连续曲线、所围成（如图1）. 图1提问：怎样求曲边梯形的面积？方

2、法：分割 近似 求和 取极限 (1)分割：用分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为：，在各分点处做轴的平行线，就把曲边梯形的面积分成个小的曲边梯形(2)近似：在各小区间上任取一点，以为高，为底的矩形面积近似代替该区间上的小曲边梯形的面积，即，(3)求和：整个大的曲边梯形的面积等于个小曲边梯形的面积之和，即(4)取极限：设，. 三、定积分定义1.定义 设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 把区间分成个小区间，各小区间的长度依次记为，在各小区间上任取一点（），作乘积，并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的

3、定积分，记为其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量, 叫做积分下限, 叫做积分上限, 叫做积分区间. 说明：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关. （2）定义中区间的分法和 的取法是任意的（3）当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积.（4）2.定积分存在定理定理1 当函数在区间上连续时，则在区间上可积.定理2 设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积.3.定积分的几何意义 曲边梯形的面积（2） 曲边梯形面积的负值+（3）4. 定积分的性质规定：当时，；当时，.在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小性质1 性质2 (为常数

4、).性质3（定积分对于积分区间具有可加性）假设，.推广：不论的相对位置如何, 下式总成立.性质4 性质5（不等式性质）比较性质如果在区间上，则. 推论：如果在区间上，则 . 性质6 设M 及m 分别是函数在区间上的最大值及最小值, 则 性质7（定积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使. 四、例题例1. 用定积分的几何意义求. 解: 函数在区间0, 1上的定积分是以为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形的面积. 因为以为曲边, 以区间0, 1为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以.例2. 用定积分的几何意义求. 解:因为在区间上有正有负,所以等

5、于上位于轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积, 所以 . 例3. 比较下列各对积分的大小：（1）与解：当时，从而（2）与解：当时，所以，从而五、练习1.用定积分的几何意义求:（1） （2）（3）2.比较下列各对积分的大小（1）与（2）与（3）与第 13 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 4 , 共 48学时.主要内容：导数与微分的应用，不定积分，定积分，微分方程本次课题：微积分基本公式教学要求：1.了解变上限函数及其导数的概念2.掌握牛顿莱布尼兹公式重 点：牛顿莱布尼兹公式难 点：1.变上限函数及导数2.牛顿莱布尼兹公式的应用教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1. 复习 （10

6、）2. 积分上限函数及其导数 （25）3. 牛顿莱布尼兹公式 （25）4. 例题及练习 （30）课后作业参考资料一、复习定积分的概念及性质二、积分上限函数及其导数 设函数在区间a, b上连续, 并且设为a, b上的一点. 我们把函数在部分区间上的定积分称为积分上限的函数. 它是区间a, b上的函数, 记为 或. 定理1 如果函数在区间a, b上连续, 则函数在a, b上具有导数, 并且它的导数为(axb). 定理2 如果函数在区间a, b上连续, 则函数 就是在a, b上的一个原函数. 定理的重要意义: 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的

7、联系. 三、牛顿-莱布尼茨公式 定理3 如果函数是连续函数在区间a, b上的一个原函数, 则 . 此公式称为牛顿-莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式. 因为和都是的原函数, 所以存在常数, 使(为某一常数). 由及, 得，. 由 , 得, 即. 为了方便起见, 可把记成, 于是. 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 四、例题 例1. 求下列函数的导数：（1）； （2） 解: （1） . （2） 例2. 计算. 解: 由于是的一个原函数, 所以 .五、练习1. 求下列函数的导数：（1）； （2）（3）； （4）2.计算下列定积分： （1） （2）第 14 次课 2 学时

8、课程安排：1学期，周学时 4 , 共 48学时.主要内容：导数与微分的应用，不定积分，定积分，微分方程本次课题：微积分基本公式教学要求：1.掌握牛顿莱布尼兹公式重 点：牛顿莱布尼兹公式难 点：牛顿莱布尼兹公式的应用教学手段及教具：练习为主讲授内容及时间分配：1. 复习 （10）2. 牛顿莱布尼兹公式 （5）3. 例题及练习 （75）课后作业参考资料一、复习积分上限函数的导数二、牛顿-莱布尼茨公式 定理1 如果函数是连续函数在区间a, b上的一个原函数, 则 . 三、例题 例1. 计算. 解 由于是的一个原函数, 所以 . 例2. 计算.解 =ln 1-ln 2=-ln 2.例3. 计算解：原式

9、= 例4. 计算正弦曲线在0,上与轴所围成的平面图形的面积. 解：这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积 =-(-1)-(-1)=2.四、练习1.计算下列定积分： （1） （2）（3） （4）（5） 第 15 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 4 , 共 48学时.主要内容：导数与微分的应用，不定积分，定积分，微分方程本次课题：定积分的换元积分法教学要求：1. 理解换元积分法2. 会用换元积分法求解积分重 点：换元积分法难 点：换元积分法求解积分教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1. 复习 （15）2. 换元积分法 （15）3. 例题及练习 （60）课后作业参考资料一、复习微积

10、分基本定理及13个常见积分公式1. 牛顿莱布尼兹公式2. 13个常见积分公式二、换元积分法定理 假设函数在区间a, b上连续, 函数满足条件: (1) ,; (2) 在a, b(或b, a)上具有连续导数, 且其值域不越出a, b, 则有. （1）这个公式叫做定积分的换元公式. 注：若将（1）式反过来使用，即交换等号两边式子的位置，按照使用习惯改变积分变量，得到不定积分的第一类换元积分法的定积分形式： （2）三、例题例1. 计算. 解 设，则当时，；当时， 例2. 计算解：设，则当时，；当时， 例3. 计算解：设，则当时，时，. =四、练习1.计算下列定积分（1） （2）（3） （4）第 16

11、 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 4 , 共 48学时.主要内容：导数与微分的应用，不定积分，定积分，微分方程本次课题：定积分的换元积分法教学要求：1. 会用换元积分法求解多种形式的积分重 点：换元积分法难 点：换元积分法求解积分教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1. 复习 （15）2. 例题及练习 （65）3. 小结 （10）课后作业参考资料一、复习1.13个常见积分式2.换元积分法二、例题 例1. 计算. 解 .例2. 解：令，则原式=例3. 计算解： 解法一 设，则当时，；当时，解法二 注：如并不明显写出新变量，则定积分的上下限就不用变。例4. 计算解：原式=三、练习1

12、.计算下列定积分(1) (2) (3) (4)四、小结掌握定积分的换元积分法，要特别注意换元要换限，换限时要对应.第 17 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 4 , 共 48学时.主要内容：导数与微分的应用，不定积分，定积分，微分方程本次课题：定积分的分部积分法教学要求：1. 理解分部积分法2.能利用分部积分法求解积分重 点：分部积分法难 点：分部积分法教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1. 复习 （15）2. 分部积分法 （25）3. 例题及练习 （50）课后作业参考资料一、复习换元积分法提出问题：求解二、分部积分法定理：设,在上可导, 且,), 则有分部积分公式或这就是定积

13、分的分部积分公式.三、例题 例1. 计算解 设，=例2. 计算解 四、练习1、计算下列定积分（1） （2） （3） （4） （5）第 18 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 4 , 共 48学时.主要内容：导数与微分的应用，不定积分，定积分，微分方程本次课题：定积分的分部积分法教学要求：1. 利用分部积分法求解多种形式积分重 点：分部积分法难 点：分部积分法教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1. 复习 （15）2. 分部积分法 （25）3. 例题及练习 （40）4. 小结 （10）课后作业参考资料一、复习分部积分法或二、例题例1.计算解 例2.计算. 解 令, 则 .三、练习1

14、、计算下列定积分（1） （2） （3） 四、小结分部积分法的关键是的选取，选取口诀“反对幂三指”按照顺序，谁在左谁就是，剩下的就是，其中：反反三角函数对对数函数幂幂函数指指数函数第 19 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 4 , 共 48学时.主要内容：导数与微分的应用，不定积分，定积分，微分方程本次课题：定积分在几何学上的应用教学要求：1.了解定积分的元素法2.会用元素法求解平面图形面积重 点：元素法求解平面图形面积难 点：元素法求解平面图形面积教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1. 复习定积分的概念 （10）2. 定积分的微元法 （15）3. 平面图形面积问题 （20）4.

15、 例题及练习 （45）课后作业参考资料一、复习定积分的定义二、定积分的元素法步骤：1、在区间划分的基础上找出能够很大程度上取代局部部分量的线性近似值，即寻找微分表达式 2、计算三、定积分的应用求平面图形的面积直角坐标的情形1、由曲线及直线与( )与轴所围成的曲边梯形面积 2、由曲线与及直线，( )且所围成的图形面四、例题例1. 计算抛物线与直线所围成的图形面积.解：1、先画所围的图形简图 解方程 ,得交点： 和 .2、选择积分变量并定区间选取为积分变量，则3、给出面积元素在上， 在上， 4、列定积分表达式=18另解：若选取为积分变量，则 显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题

16、.例2.求，所围成的图形的面积.解 ，当时，于是五、练习1.求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积.2.求由抛物线与所围成的平面图形的面积. 第 20 次课 2 学时课程安排：1学期，周学时 4 , 共 48学时.主要内容：导数与微分的应用，不定积分，定积分，微分方程本次课题：定积分在几何学上的应用教学要求：1.能够应用元素法将体积的几何问题转化为定积分问题2.能够熟练地计算体积重 点：体积的计算难 点：体积元素的选取教学手段及教具：讲授为主讲授内容及时间分配：1. 复习元素法与平面图形的面积 （10）2. 旋转体的体积 （25）3. 例题及练习 （50）4. 小结 （5）课后作业参考资料一、元素法与平面图形的面积二、定积分的应用求旋转体的体积旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴.计算由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而生成的立体的体积.取为积分变量，则，对于区间上的任一区间，它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，为高的圆