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文档简介
1、.圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-椭圆一、椭圆定义口诀:椭圆三定义,简称和比积.注解:1、定义1:(和)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点,定值为长轴.(定值=焦距)PF1F2如图,设为椭圆上一点,和为两个定点,则: 式就是椭圆和为定值的定义式.2、定义2:(比)到定点和到定直线的距离之比为定值的点的轨迹叫做椭圆.定点为焦点,定直线为准线,定值为离心率.(定值=)PF1F2S如图,设为椭圆上一点,点到定直线(准线)的距离为,点到定点(焦点)的距离为,则: 式就是椭圆比为定值的定义式.3、定义3:(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.PAB定点为短轴顶点,定值
2、为负值.(定值)如图,设为椭圆上一点(除外),为椭圆的两个短轴顶点.若直线的斜率为,直线的斜率为,则: 式就是椭圆积为定值的定义式.证明:设,则、于是,直线的斜率为:直线的斜率为:那么: 由椭圆方程:,即:,即:,即: 将代入得:.二、椭圆的性质定理口诀:长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理准线方程准焦距,方、方除以通径等于 ,切线方程用代替焦三角形计面积,半角正切连乘注解:1、长轴短轴与焦距,形似勾股弦定理长轴,短轴,焦距,则:2、准线方程准焦距,方、方除以准线方程: (方除以)准焦距:(焦准距)焦点到准线的距离: (方除以)3、通径等于2 ,切线方程用代替椭圆的通径:过焦点垂直于长轴的直线与椭圆
3、的两交点之间的距离称为椭圆的通径.(通径)过椭圆上点的切线方程,用等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是:4、焦三角形计面积,半角正切连乘焦三角形:以椭圆的两个焦点为顶点,另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半. 则焦三角形的面积为:证明:设,则.由余弦定理:即:,即:.即:故:又:所以:椭圆的焦点三角形的面积为.三、椭圆的相关公式口诀:切线平分焦周角,称为弦切角定理切点连线求方程,极线定理须牢记弦与中线斜率积,准线去除准焦距细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹注解:1、切线平分焦周角,称为弦切角定理弦切角定理:切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三
4、角形中,焦距所对应的角.弦切角是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹角,当弦为焦点弦时(过焦点的弦),那么切线是两个焦点弦的角平分线.F1F2Pq1q2证明:如图所示,红色直线为切线.设点的坐标为,则:切线的方程:切线的斜率:的斜率:,的斜率:则: 而: 由式可得:,即:.即:切线是两个焦点弦的角平分线.2、切点连线求方程,极线定理须牢记若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线,切点为,则点和切点弦分别称为椭圆的极点和极线.P0P1P2O切点弦的直线方程即极线方程: (称为极线定理)当极点在椭圆上时,该点的切线就是极线,切线方程就是极线方程.3、弦与中线斜率积,准线去除准焦距弦指椭圆内的一弦.中线
5、指弦的中点与原点的连线,即得中线.这两条直线的斜率的乘积,等于准线距离去除准焦距(焦准距),其结果是:OMAB证明:如图所示,因为在椭圆上,故:,上面两式相减得:即: 直线的斜率为: 中点的坐标为:则中线的斜率为: 由得: 由得:. 证毕.4、细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹中点弦的方程:在椭圆中,若弦的中点为,弦称为中点弦,则中点弦的方程就是,是直线方程.5、中点弦的方程的证明:A 设椭圆方程为: 中点弦的方程为: 两者相交于和,则的中点坐标满足:, 则:故: B 将代入得:即:即: C 由韦达定理得:故:即: D 将代入式得:即:即:故: E 将代入式得: 将代入式得:即:即:即:. 证毕.
6、弦中点的轨迹方程:在椭圆中,过椭圆内点的弦,其中点的方程就是,仍为椭圆.6、弦中点的轨迹方程的证明:A 设椭圆方程为: 过点的直线方程为:即:,记: 则: B 设中点的坐标为则: 借用上题的结果:将代入上式得:即:即:,故: C 将和代入式得:即:,即:即: 式就是弦中点的轨迹方程. 证毕.中点弦方程和弦中点的轨迹方程,这两个方程有些相似,要擦亮眼睛,千万不要搞混了.圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-双曲线一、双曲线定义口诀:双曲线有四定义,差比交线反比例 注解:PF1F2O1、定义1:(差)平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹称为双曲线. 定点叫双曲线的焦点.即: 就是差为定
7、值的双曲线的定义式.PF1F2OSL2、定义2:(比)平面内,到给定一点及一直线的距离之比为定值的点的轨迹称为双曲线. 定点叫双曲线的焦点.定直线叫双曲线的准线.如图所示, 式就是比为定值的双曲线定义式.3、定义3:(交线)一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线.如图所示,蓝色线为圆锥面,红色线为平面,红色面与蓝色面的交线就是双曲线. 这就是本双曲线的定义.实际上,椭圆和抛物线也有这样的定义,所以将它们统一称为“圆锥曲线”.4、定义4:(反比例)在平面直角坐标系中,反比例函数的图象称为双曲线. 证明:反比例函数图象是双曲线轨迹经过旋转得到.
8、证明:因为的对称轴是, ,而的对称轴是轴,轴,所以应该旋转. 设旋转的角度为(,顺时针)则有:,取,则:而,所以,即: ()或 ()由此证得,反比例函数其实就是双曲线的一种形式,只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.二、双曲线的性质定理口诀:实轴虚轴与焦距,形似勾股弦定理准线方程准焦距,方、方除以通径等于 2 ,切线方程用代替焦三角形计面积,半角余切连乘注解:1、实轴虚轴与焦距:形似勾股弦定理实轴,虚轴,焦距,则:与勾股弦定理形似.2、准线方程准焦距,方、方除以准线方程: (方除以)准焦距(焦准距):焦点到准线的距离: (方除以)3、通径等于2 ,切线方程用代替双曲线的通径:过焦点
9、垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.(通径)过双曲线上点的切线方程,用等效代替双曲线方程得到,等效代替后的是切线方程是:4、焦三角形计面积,半角余切连乘焦三角形:以双曲线的两个焦点为顶点,另一个顶点在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指的一半. 双曲线的左右焦点分别为,点为双曲线上异于顶点任意一点,则双曲线的焦点三角形满足:其面积为;.证明:设,则在中,由余弦定理得:即:即:即:即:即:那么,焦点三角形的面积为: 故:同时:,故: 双曲线的焦点三角形的面积为:.三、双曲线的相关公式口诀:切线平分焦周角,称为弦切角定理切点连线求方程,极线定理须牢记弦与中线斜率积,准线去除
10、准焦距细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹注解:1、切线平分焦周角,称为弦切角定理弦切角定理:切线平分椭圆焦周角的外角,平分双曲线的焦周角. 焦周角是焦点三角形中,焦距所对应的角.弦切角是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹角,当弦为焦点弦时(过焦点的弦),则:切线是两个焦点弦的角平分线.如图,是焦点三角形,为焦周角,为双曲线的切线. 则平分.证明:设在双曲线上,则:即: 点的切线方程为:切线的斜率为: 的斜率为: 的斜率为: 设直线与的夹角为,直线与的夹角为则: 将代入得:将式和代入上式得: 而: 将代入式得:将式和代入上式得: 由和式得:由于,故:即:切线是两个焦点弦的角平分线. 证毕.
11、2、切点连线求方程,极线定理须牢记若在双曲线外,以包含焦点的区域为内,不包含焦点的区域为外,则过作双曲选的两条切线,切点为、,则点和切点弦分别称为双曲线的极点和极线,切点弦的直线方程即极线方程是:(称为极线定理)3、弦与中线斜率积,准线去除准焦距弦指双曲线内的一弦.中线指弦的中点与原点的连线,即得中线.这两条直线的斜率的乘积,等于准线距离去除准焦距(焦准距)其结果是:证明:如图所示,因为在双曲线上,故:,上面两式相减得:即: 直线的斜率为: 中点的坐标为:则中线的斜率为: 由得: 由得:. 证毕.4、细看中点弦方程,恰似弦中点轨迹中点弦的方程:在双曲线中,若弦的中点为,称弦为中点弦,则中点弦的
12、方程就是:,它是直线方程.弦中点的轨迹方程:在双曲线中,过双曲线外一点的弦,其中点的方程就是:,仍为双曲线.这两个方程有些相似,要擦亮眼睛,千万不要搞混了.5、中点弦的方程的证明:OMABA 设双曲线方程为: 中点弦的方程为: 两者相交于和则的中点坐标满足:, 则:,故: B 将代入得:即:即: C 由韦达定理得:故:即: D 将代入式得:即:即:故: E 将代入式得: 将代入式得:即:即:即:. 证毕.6、弦中点的轨迹方程的证明:A 设双曲线方程为: 过点的直线方程为:即:记: 则: B 设中点的坐标为则: 借用上题的结果:将代入上式得:即:即:故: C 将和代入式得:即:即:即: 式就是弦
13、中点的轨迹方程. 证毕.圆锥曲线必背口诀圆锥曲线必背口诀-抛物线一、抛物线定义口诀:抛物线,有定义,定点定线等距离注解:1、到一个定点和一条定直线距离相等得点的轨迹称为抛物线.定点为抛物线的焦点,定直线为抛物线的准线.2、二次函数的图象是抛物线.3、平面与圆锥相截,除了圆、椭圆、双曲线外,还有抛物线.二、抛物线性质口诀:焦点准线极点线,两臂点乘积不变焦弦切线成直角,切点就是两端点端点投影在准线,连结焦点垂直线焦弦垂直极焦线,切线是角平分线直角梯形对角线,交点就是本原点焦弦三角计面积,半个方除正弦注解:1、焦点准线极点线 抛物线的焦点和准线是一对极点和极线.抛物线方程:,焦点,准线抛物线的顶点到
14、定点和定直线距离相等.ABF所以,称为焦准距,是焦点到准线的距离.焦弦:过焦点的直线与抛物线相交于两点和,则称为焦弦.弦中点,焦弦方程:,为斜率.2、两臂点乘积不变焦点三角形两边和的点乘积为定值,且夹角是钝角.OABF证明:A 焦弦满足的条件抛物线方程: 因为焦弦过焦点,故其方程: 由消去得:即: B 方程由韦达定理得:则:则: 且,即: 且:.故:焦点三角形两边之点乘积为定值.3、焦弦切线成直角,切点就是两端点即:焦弦两端点的切线互相垂直.证明:如图,由抛物线方程:求导数:,即:故斜率:,于是:由上题式代入上式得:即:故:在焦弦端点的切线互相垂直.4、端点投影在准线,连结焦点垂直线即:焦弦端
15、点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.证明:准线方程故坐标,因为焦点故:,于是:将上题式代入上式得:故:即:焦弦端点在准线的投影点,则.即:焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直角三角形.5、焦弦垂直极焦线,切线是角平分线若焦弦对应的极点,则为极焦线,于是:.证明:A 因为极线过焦点,焦点与准线是一对极点和极线,而点是的极点,所以由自极三点形可知:点在准线上.切线的斜率为: 焦弦的斜率为: 由可知,平分,即: 故:切线是角平分线B 由抛物线定义知: 故: 同理: 则:为的中点, 故: C 设抛物线方程:,直线方程:则:故点满足的方程为:即:由韦达定理得: 由于,所以,而故:故:焦弦垂直极焦线. 证
16、毕.6、直角梯形对角线,交点就是本原点即:直角梯形对角线相交于原点即:三点共线;三点共线.用向量法证明:,证明:向量法,如图由坐标,向量:,各分量之比:,由两臂点乘积不变得:代入上式得:故:,即:则:三点共线.同理:.三点共线.故:直角梯形对角线相交于原点.8、焦弦三角计面积,半个方除正弦即:焦弦三角形的面积为: (为焦弦的倾角)证明:如图 FMEGO如下图:焦准距则:于是,代入得:因为为底边与的夹角,故面积故:即:焦弦三角计面积,半个方除正弦圆锥曲线必背口诀附:圆锥曲线必背-极坐标一、极坐标通式圆锥曲线的极坐标以焦准距和离心率来表示常量,以极径和极角来表示变量. ,以焦点为极点(原点),以椭
17、圆长轴、抛物线对称轴、双曲线实轴为极轴的建立极坐标系. 故准线是到极点距离为焦准距、且垂直于极轴的直线.极坐标系与直角坐标系的换算关系是:,或者:,特别注意:极坐标系中,以焦点为极点(原点),而直角坐标系中以对称点为原点得到标准方程.如图,为极点,为准线,则依据定义,到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之比为定值(定值)的点的轨迹为圆锥曲线.所以,对极坐标系,请记住:极坐标系的极点是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点;曲线上的点到焦点的距离是,到准线的距离是,根据定义:,即:,即:即: 这就是极坐标下,圆锥曲线的通式.对应不同的,呈现不同的曲线. 对双曲线,只是右边的一支;对抛物线,
18、开口向右.二、极轴旋转将极轴旋转,将极角加到角上,代入式得: 此时的极坐标系下,此时有:极坐标系的极点是椭圆的右焦点、抛物线的焦点、双曲线的左焦点;对应不同的,呈现不同的曲线. 对双曲线,只是左边的一支;对抛物线,开口向左.三、极轴旋转将极轴顺时针旋转,将极角加到角上,则情况如图.圆锥曲线的方程为: 此时的极坐标系下:对应于直角坐标系下,焦点在轴的情况,且极点对应于椭圆下方的焦点,双曲线上方的焦点,抛物线的焦点. 对双曲线,只是轴上边的一支;对抛物线,开口向上.如果将极轴逆时针旋转,将加到极角上代入式,则情况如图.圆锥曲线的方程为: 此时的极坐标系下:对应于直角坐标系下,焦点在轴的情况,且对应于椭圆上方的焦点,双曲线下方的焦点,抛物线的焦点.对双曲线,只是轴下边的一支;对抛物线,开口向下.所记要点:极轴右转,极角相加;极轴右转,极角相加.右转即是顺时针旋转.四、坐标变换在极坐标系中,圆锥曲线的通
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