A无穷级数幂级数PPT教学课件

1、 对于 中的每一点，不是收敛点就是发散点。I对收敛域内任意一点 x ，函数项级数为一收敛的常数项级数， 有一确定的和 S,且与 x 有关。收敛域上函数项级数的和就是 x 的函数，记为 S(x) ,的收敛域。的收敛域。 1)(nnxu称为函数项级数的和函数，其定义域就是（注意，与一般项 un(x) 的定义域不同）第1页/共55页同样，),()(1xSnxunnn项的部分和为项的部分和为的前的前记记 则在收敛域上有则在收敛域上有)()(limxSxSnn )()()(xSxSxrnn 其余项其余项收敛时，有收敛时，有当当 1)(nnxu0)(lim xrnn niinnxuxuxuxuxS121)

2、()()()()(第2页/共55页例1. nxxx21判别函数项级数判别函数项级数域域与与和和函函数数。的的敛敛散散性性，并并求求其其收收敛敛解：，级数的定义域级数的定义域),(nnxxxxS 21)(xxn 1111 x1 x 的收敛域为 (-1,1) 。 1nnx且且为为等等比比级级数数。 x 11发散发散第3页/共55页)1, 1(,1112 xxxxxn)1 , 1(,11)1(12 xxxxnn则有则有改成改成把把,xx )1 , 1(,1112242 xxxxn)1 , 1(,11)1(12242 xxxxnn则有则有改成改成把把,2xx则有则有改成改成把把,2xx 第4页/共55

3、页例2.的敛散性。的敛散性。判别判别 1)1(nnxx解： ,11）时（时（当当Cxx ,11）时（时（Dxx )()1(1Cxxx ),(1)1(Dxxx ),(21Cx时级数时级数 ).(21Dx时级数时级数 由例1 , . )(xqqqn型，型，为为第5页/共55页 例3. )()()(2321xxxxxxunn求求 )(1nnxx在 0, 1 的和函数。解：1232)( nnnxxxxxxxxSnx （非 un ）nnnnxxSlimlim)( 10 x1 x 01).(xS un(x) 在 0, 1 上连续，但 S(x) 在x = 1处间断，S(x)的定义域小于级数的定义域 , 级数

4、的收敛域一般小于或等于其定义域。第6页/共55页 二. 幂级数及其收敛性定义： nnnnnxaxaxaaxa2210020201000)()()(xxaxxaaxxannn 或或)(0 nnxxa 的级数称为幂级数。其中常数 称为幂级数的系数,210aaa是常数。是常数。0 x形如。),()(00 xxx 或或显然，幂级数的定义域为显然是幂级数的收敛点。第7页/共55页 幂级数是函数项级数中最常见且简单的一种， 定理1 （阿贝尔定理） 0nnnxa设设)()*()0(100Cxxx时时）当）当（ 其收敛域如何？）（ ).()(0CAxxx 都使都使的一切的一切则适合则适合)()*()0(200

5、Dxxx时时）当）当（ . )()(0Dxxx 都使都使的一切的一切则适合则适合第8页/共55页证明： 000)()1(nnnCxaxx时，时，设设00lim nnnxaMxaMnn 0, 0 使使nnnxau 由由100 xxxx时，时，当当)(00CxxMnn 等比级数等比级数)(Cxann nnnxxxa000 nnxxxa000 nxxM0 ).(CAxann第9页/共55页 反证：只只能能是是发发散散点点。1xx ,01xx ),(*)0Cxx处也处也在在 000)(*)nnnDxaxx时，时，设设若有一点 x1 , 适合并使 (*) 收敛, 则由 (1) 知,矛盾！)()*()0(

6、200Dxxx时时）当）当（ . )()(0Dxxx 都使都使的一切的一切则适合则适合第10页/共55页,00处收敛处收敛在在若若xxannn 内都收敛。内都收敛。则在则在),(00 xx 外都发散。外都发散。则在则在,00 xx 0 x 0 x0)(D)(D)(Cx说说明明：即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂。(1),00处发散处发散在在若若xxannn 第11页/共55页pp ，,到到原原点点的的距距离离是是相相同同的的，且且pp ,0 x均为均为,),(00为为对对称称的的收收敛敛区区间间即即xx 的的为为称称 10nnnxaxxpp RR收敛半径,记为 R .0 x 0 x0(2)

7、在收敛与发散点之间的分界点:上, 幂级数可能收敛也可能发散，)(D)(D)(C第12页/共55页,00一点收敛一点收敛不是只在不是只在若若 xxannn).(0CAxaRxnnn 时，时，当当)(0DxaRxnnn 时，时，当当,0可能收敛可能收敛时，时，与与当当 nnnxaRxRx可可能能发发散散。推论：( P. 209 )也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数 R 存在，使得：第13页/共55页,0的的收收敛敛半半径径为为 nnnxaR的的为为 0nnnxa),(RR ,处处的的收收敛敛情情况况后后当当讨讨论论了了点点RxRx , ,RR 所得所得, ,(RR ),RR , )

8、,(RR 的的称为称为 0nnnxa,00一点收敛一点收敛只在只在当当 xxannn;0: x收敛域为收敛域为,0都收敛都收敛对一切对一切当当xxannn , R则则规定：规定：则 R = 0 ,收敛区间,收敛域。).,( : 收敛域为收敛域为第14页/共55页 R则则，、020 ？如如何何求求收收敛敛半半径径R且且设幂级数设幂级数,0 nnnxa nnnaa1lim)(lim nnna或或,1是是幂幂级级数数相相邻邻的的系系数数其其中中nnaa 若： 1010 R则则，、030 R则则，、 ：定定理理 2第15页/共55页证明：考察正项级数： nnnnnxaxaaxa100由比值法：nnnn

9、nnxaxauu111 1.10 x 当当1 x 当当.1 R由推论，由推论，xaann 1 xn ).(0CAxannn 则则，时时)(1Cx )(0Dxannn 则则)(1Dx时时 第16页/共55页00.20 x 时时，当当 R”型才”型才只有为“只有为“时，时，当当0.30 x ，可可能能小小于于 10 R,显然显然 nnnalim,由由同理同理也得同样结论。也得同样结论。nnnnnnxaxauu111 xn , )(00Cxaxnnn必必时，时，而当而当 1lim nnnaaR,1成成立立对对一一切切 x 第17页/共55页例题讨论求解下列幂级数的 收敛半径， nnnxxx5)1(5

10、352122. 1解：由定理 2：nnaa1 ，5 R收敛区间 与 收敛域。51 n)2(51 nn15)2( nnnn5)1( . )5, 5( 收敛区间收敛区间 例：第18页/共55页 nx12115 时，级数为时，级数为当当 nxn1)1(31211,51级数为级数为时时. )55，：收敛域收敛域 X 0!nnnx. 2解：nnaa1 R),( :X nnnxxx5)1(5352122(-5, 5)(D)(C0 n11 n! )1( n!n第19页/共55页. 3 0nnnxn解：nnannnn 0 R0: xX )(n( 用根值法 )第20页/共55页221xn )(21Cx )(21

11、Dx 2 R:2 x当当:2 x当当)2, 2( : X. 4 02212nnnxn解一：用比值法nnuu1 2)12(232xnn nnnnxnxn2221212232 )(缺少奇次幂的项缺少奇次幂的项 )(12(Dn )(12(Dn第21页/共55页解二:nnnynyx 02212级数为级数为，令令nnaa1 2 yR2)(22 xDy2)(22 xCy.2 xR)2, 2( : X同上讨论得同上讨论得21 n)12(232 nn1232 nn122 nn)(2 Cx )(2Dx 第22页/共55页. 5 1112)32()1(nnnnx解：,32yx 令令112121 nnnnnaa1

12、yR132 xy型，型，对对 00)(nnnxxaRxxRRxx 00，即，即)(21231Dxy 21 xR 1112)1(nnnny级数为级数为)(2123Cx 1232 x第23页/共55页212321 x)21( ，收收敛敛区区间间为为12)1()1(111 nxnnn时，时，当当 11212)1(nnn121)1(211 nxnn时，时，当当2, 1( :X收敛域收敛域21 x2123 x= R, 1112)32()1(nnnnx 51311 51311)(C)(D第24页/共55页. 6120)1(41 nnnx解：121121)1(44)1( nnnnnnxxuu)(,412Cx

13、 2 R用比值法：1412 x)(21)(21DxCx )(,412Dx 第25页/共55页)3, 1( 收收敛敛区区间间为为：时，时，当当1 x 0124)2(nnn时，时，当当3 x 01242nnn)3, 1( : X收敛域收敛域21 x31 x212 x120)1(41 nnnx 021n 04214nnn)(D)(210Dn 第26页/共55页课外作业习题 6 41（1 , 3, 5, 6, 7）第27页/共55页三. 幂级数的运算 0nnnxa设幂级数设幂级数),(RR 0nnnxb设幂级数设幂级数) , (RR 1）加减法 000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa),(MM

14、),min(RRM 1. 代数运算第28页/共55页2) 乘法 00nnnnnnxbxa 00110)(nnnnnxbababa xbababa)(011000nnnnxbababa)(0110 ),(MM ),min(RRM 第29页/共55页3) 除法 00nnnnnnxbxa 000nnnnnnnnnxcxbxa由由 xcbcbcb)(011000,000cba 比较系数：比较系数：,10cc顺序求出：顺序求出：小的多。小的多。与与收敛区间比收敛区间比),(),(RRRR 0nnnxc,01101cbcba 第30页/共55页2 . 分析运算 性质1. 幂级数的和函数 在其收敛域内连续.

15、 0)(nnnxaxS 性质2. 幂级数的和函数 在其收敛域内可导，且有逐项求导公式: 0)(nnnxaxS)()(0 nnnxaxS且且收收敛敛半半径径不不变变。 0)(nnnxa 11nnnxna第31页/共55页 （ 反复用上述结论，可知 S(x) 在收敛域内有任意阶导数） 性质 3. 幂级数的和函数 0)(nnnxaxS xnnnxdxxadxxS000)( 00nxnndxxa且且收收敛敛半半径径不不变变。在其收敛域内可积，且有逐项积分公式： 011nnnxna第32页/共55页 虽然收敛半径不变，但在端点 处的敛散性可能会改变。Rx 求积后所得幂级数的收敛域不小于原级数的收敛域。注

16、意：注意：一般，求导后所得幂级数的收敛域不大于原级数的收敛域。第33页/共55页例：)11(1112 xxxxxn逐项求导：逐项求导： 122321)1(1nnxxxx 11nnnx)11( x逐项积分：逐项积分： 121121)1ln(nxnxxx第34页/共55页 0111nnxn 1)1(,1nnnx为为时时当当 x11 nxxxx2422111)1, 1(12 x)1, 1 : X 121121)1(lnnxnxxx 1nnnx)(C又得：又得：由由)1, 1(1112 nxxxx nnxxxx)1(132)1, 1(1 x第35页/共55页nnxxxxx26422)1(111 )1,

17、 1(12 x 用逐项求导或逐项积分的方法，可求得 nxxxx2422111)1, 1(12 x一些级数在收敛域内的和函数。第36页/共55页例题讨论解： 不必先求收敛域，在求和函数的过程 3)(3xxxS设设，消去分母上的消去分母上的)12( n 6421)(xxxxS)1, 1(, 1 x 02)1(nnnx 求下列幂级数的收敛域与和函数： . 1 753753xxxx中可求得收敛域。 01212)1(nnnnx先逐项求导：211x 第37页/共55页 )(xSxxxarctan0arctan xnxnnnarctan12)1(012 ,11时时，原原级级数数收收敛敛或或且且当当 x. 1

18、, 1 : X时，有时，有特别当特别当1 x 715131121211)1()(xxxSnnn 41arctan xxdxxdxxS02011)(第38页/共55页. 2 nxnxx242)12(531解：解： 42531)(xxxS设设),12( n欲欲消消去去 xxxdxxdxS020)31()( 002)12(nxnxdxn 1253nxxxx 02)12(nnxn 0012nxnx 012nnx先逐项积分：第39页/共55页)1(42 xxx21xx 1 x)()(0 xxdxSxS)1, 1( : X 可见，关键在于求导或积分后 1253nxxxx 012nnx xxxdxxdxS0

19、20)31()()1(2 xx222)1(1xx 所得的幂级数能写出和函数。第40页/共55页写出和函数时要注意： nnxxxx)1(132nnnx )1(021x nnnx )1(121x 32xxx- x1第41页/共55页. 3。的和并求1122212,212nnnnnnxn解：解：，设设 122212)(nnnxnxS xxdxS0)(时，时，当当0 x 12)2(nnx212122xxx 先求积消去 (2n-1) 11221nnnx 1022212nxnnxdxnx122xx ，当当122 x第42页/共55页)2()()(20 xxxdxSxSx)20()0, 2(， ?)0(0

20、Sx时，时，21)0(0 Sx时，时，先看先看 122212nnnxn观察观察)0(S)2, 2( : X即即显然和函数是连续的，显然和函数是连续的，2 x即即 xxdxS0)(22xx 成立，成立，当当122 x222)2(2xx )(0Cx时时且且 21 24321x第43页/共55页 11232)1()(nnnnxxS 12)3(0nnxx时，时，当当132 x由由 42212231313)1()(xxnxxSnnnn设设. 4的的和和。并并求求 11121)1(,3)1(nnnnnnnnx解：解： 323232xx313222xxx x2232xx )0(3 xx第44页/共55页03

21、ln2xx )30()0, 3(， 时，时，当当0 x，0)0()(lim SxSn时，时，当当3 xxdxxxdxSxSxx 02032)()( xxxd0223 1)1(nnn)(C 123)3()1(nnnnn时，时，当当3 x 123)3()1(nnnnn 1)1(nnn)(C23ln3lnx 42223131)(xxxS，显然，显然0)0( S即即和和函函数数连连续续，第45页/共55页)3ln(3ln3)1()(212xnxxSnnnn 3, 3 : X 112)1(3)3()1(nnnnnnnn2ln6ln3ln .2ln)1(11 nnn则知：则知：，求求 11)1(nnn时，时，当当3 x)3(S 第46页/共55页. 5 112)1(nnxnn解：解： 112)1()(nnxnnxS设设 10102)1()(nxnxxdxnnxdxS 121nnxn xnnxdxn0121积分：积分：再积分：再积分： 112nnx)(2132 xx)1(222 xxx第47页/共55页)1(222 xxxxx 11221 x 112)1()(nnxnnxS)1(22122 xxx)1, 1( : X xnnxdxn0121)1(212 xx3)1(1x xxdxS0)( 1112)1(2)1(nnnnxnnxxnn又又