A对面积的曲面积分PPT教学课件

1、即即 dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面）若）若（,121 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫积分曲面叫积分曲面 5（ ）对称性同三重积分。4( , , )f x y z（ ）用曲面的表达式可代入被积函数。(2)( )( )( )( )mf Png P dSmf P dSng P dS(3)dSA第1页/共26页.)(,122222 dsdczbyaxRzyx则求则求为为：设：设例例dscdzbdy

2、adxacxzbcyzabxydsdzcybxaI )222222()(2222222解解： dszdsydsx2222222222243)(RddszyxcbaI 2222222443)(RdRRcba 第2页/共26页,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面S的面积元素曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz 22)()(1 ),(),(yxfzzyxF 1,yxffn 第3页/共26页三、计算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若曲面

3、若曲面则按照曲面的不同情况分为以下三种：dxdyzz1dxdycos1dS2y2x 其中其中SdSdxdyn1,z ,zzz11nyx2y2x 第4页/共26页;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则),(:. 2zxyy 若曲面第5页/共26页yxD例例1. 计算曲面积计算曲面积分分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20d

4、a0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha第6页/共26页例例2. 计算计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设上的部分, 则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 第7页/共26页 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例3 3积积分分曲曲面面

5、 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxydxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 第8页/共26页 .0,4222222RyxHzzzyxds间的圆柱面间的圆柱面及及是界于是界于：例例）解（解（1 122212dszyxI22yRx 由由dydzyRydydzxxdszy0)(1122222 dydzyRR22 dydzyRRzRIyzD22221 RRHdyyRRdzzR222201.arctan2RH yxzo第9页/共

6、26页zzd例例4. 计计算算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解法二解法二: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 第10页/共26页112mdSz221:,:,12yzxayDayaz 其中22adSdydzay2212yzDamdydzzay222112aaadzdyzay2ln2.a1mdSz（前后两片投影相同）例5 22212,1, ,.xyazx y zmz设有某种物质分布在圆柱面上分布密度为，求它的总质量zRSd2d则212 dzmz解法二解法

7、二: 取曲面面积元素2ln2.a解法一：解法一：第11页/共26页解解依对称性知：(1 为为第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原原式式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx1第12页/共26页12222004cos sin14drrr rdr2152002sin214drr dr 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 第13页/共26页 计计算算 xdS, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,

8、平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例7 7第14页/共26页解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显显然然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdSxyzo第15页/共26页讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分为两片分为两片） 3xdS 31xdS 32xdS（两片向ZOX面投影相同） xzDzxdxdzyyx2212 xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.Dzx11oxz2zxxyzo

9、第16页/共26页xozy例例8. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxD则 1d)(22SyxI第17页/共26页1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD第18页/共26页内容小结内容小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计

10、算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 第19页/共26页习题解答提示习题解答提示:P219 题1.SzyxzyIxd),()(22P219 题3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设则0第20页/共26页P219 题题4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d

11、20220313这是 的面积 !2xyD)(2:22yxz第21页/共26页P219题题4（3）,. 已知曲已知曲面壳面壳222()zxy3,z求此曲面壳在平面 xoy以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影为 22:2 ,x yDxy故SMd2222016(9(14) 14d(14)32rrr111102222(3()14 () dx yDxyxyx222200d(3)14drrrr第22页/共26页2222(),2xyzyzx dSzxyxyax计算其中为锥面被圆柱面所截得的有部分dxdyzzdsyx221 解：解：dxdy2 222Dx xy dxdy2 cos32022cosadr dr 641542a 。P206(4)()xyzyzx dSzxdS第23页/共26页P220 题题7. 如图所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d2