2021届中考数学重难点--几何全套第7讲轴对称最值模型--有详细解答

1、第七讲轴对称最值模型35 -名师点睛拨开云宓开门见山定占定点cLi I例題 2.如图所示，凸四边形 ABCD 中，ZA=90 , ZC=90 , ZD=60 , AD=3, AB= 若点 M、 N分别为边3, AD上的动点，求BMN的周长的最小值.C变式练习2.如图，点P是ZAOB内任意一点，且ZAOB=40 ,点M和点N分别是射线04和射线OB上的动点, 当PMN周长取最小值时，则ZMPN的度数为（）BA. 140B. 100C. 50D 40例題3.如图，在/ABC中，ZC=90 , CB=CA=4,乙4的平分线交BC于点D,若点P、0分別是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是c

2、P A变式练习3如图，已知等边AABC的而积为4眉，P、0、/?分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小-35 -值是（）A3B. 2a/3D4例题4.如图，ZMON= 30 , A在OM上，OA = 2, D在ON上,OD=4. C是OM上任总一点.8是ON上任意一点.则变式练习4如图，在长方形ABCD中，0为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是0C上任意一点，已知:AC=2, BC= 1(1) 求折线OPQB的长的最小值：(2) 当折线OP0B的长最小时，试确左。的位置.例题5.如图，矩形ABCD中，AB=4, BC=8, E为CD的中点，点P、0为BC上两个动点，且P0

3、=3, 当CQ=时，四边形APQE的周长最小.变式练习5. 如图，已知A （3, 1）与B（l, 0） , PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ=（Q在P的下方）， 当AP+PQ+QB最小时，0点坐标为（）D（1, 1）A.（| |） B. （f 警）C. 6. 如图，平而直角坐标系中，分别以点A (2, 3).点B (3, 4)为圆心，1、3为半径作QA. QB. M,例题7如图，AD为等边ZiABC的高，E、F分别为线段AD. AC上的动点，且AE=CF.当BF+CE取得 最小值时，ZAFB=()B. 105A. 112.5C. 90D 82.5变式练习7. 如图，等边ZVIBC中，AD为

4、BC边上的髙，点M、N分别在AD. AC上，且AM=CN,连BM. BN, 当BM+BN最小时，ZMBN= 度.例题& (1)如图，RtAABC中，ZC=90 , AC=3, BC=4,点D是AB边上任意一点，则CD的最 小值为.(2 )如图，矩形ABCD中，AB=3, BC=4,点M、点N分别在BD、BC匕 求CM+MN的最小值.(3) 如图，矩形ABCD中，AB=3, BC=4,点E是AB边上一点，且AE=2,点F是BC边上的任意 一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G,连接AG、CG,四边形AGCD的而积是否存在最小值， 若存在，求这个最小值及此时BF的长度.若不存在，请说明理由.A

5、B图达标检测1 如图，矩形ABCD中，AB=5, AD=10，点& F, G, H分别在矩形各边上, G为动点，若要使得AF=CH, BE=DG,则四边形EFGH周长的最小值为(领悟提升强化落实点F, H为不动点,点E, )n cA. 55B 10伍C. 15伍D 10常2如图，平而直角坐标系中，分别以点A ( -2, 3) , B (3, 4)为圆心，以1、 分别是GM. OB的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于_2为半径作OA. OB, M、(2, 0),半径为2,若D3如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于久B两点，OC的圆心坐标为是OC上的一个动点，线段D4与y轴交于

6、点&则ABE而积的最小值和最大值分别是V/84.正方形ABCD. AB=4, E是CD中点，BF=3CF,点M, N为线段BD上的动点,MN=J$ 求四边形 EMNF周长的最小值5如图，已知点D E分别是等边三角形ABC中BC, AB边的中点，BC=6.点F是AD边上的动点，则 BF+EF的最小值为_.AB DC6.如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB. BC、CD、D4上的点，3AE=EB,有一 只蚂蚁从E点岀发，经过F、G、H,最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是.D G CA EB7如图，在/MBC中，AC丄BC, ZB=30。，点E, F是线段AC的三等分点，点P

7、是线段BC上的动点,点0是线段AC上的动点，若AC=3.则四边形EPQF周长的最小值是.8如图，长为1的线段在x轴上移动C（0, 1）、D （0, 2）,则AC+BD的最小值是9. 在矩形ABCD中，AB=8, BC=10, G为AD边的中点.如图，若E、F为边AB 的两个动点，且 =4,当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为 10. 如图，矩形ABCO的边OC在;v轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8, 0）,点A的坐标为（0, 6），点、F分别足OC、BC的中点，点M, N分别是线段04、AB上的动点（不与端点重合），则当 四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为 11. 如图，

8、在正方形ABCD中，AB=8, AC与BD交于点6 N是A0的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点,则PM - PN的最大值为 12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=16, B到MN的距离BD=10, CD=8, 点P在直线MN上运动，则I刊PBI的最大值等于11. 如图/VIBC是边长为2的等边三角形，D是边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点, 当P、Q的位置在何处时，才能使DP0的周长最小？并求岀这个最值.A12. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点乩D作AB丄BD, ED丄BD,连接AC、EC已知AB=59 DE =1, BD=

9、8,设 CD=x.（1）用含X的代数式表示AC+CE的长；（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值：若不存在请说明理由.（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式&石+Q（24-m ） 516的最小值为一答案例题I.如图，在矩形A咙中，侔10,心6,动点P满足则点户到儿硼点距离之和PA+PB的最小值为二【解答】解：设ABP中AB边上的髙是几* S/41B = -Is1 V 帰 ABCD丄初力=丄初4）,23/2=ZaD=4,3动点P在与脑平行且与AB的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接AE,连 接BE,则BE的长就是所求的最短距离.在 Rt

10、zMBE 中，VAB=10, AE=4+4=8,十AE2=a/o2 十护=21，即PA+PB的最小值为2何.故答案为：2冈变式练习1. 如图RtAABC和等腰ACD以AC为公共边，其中ZACB=90 , AD=CD,且满足AD丄AB,过点D 作DE丄AC于点F, DE交AB于点E,已知AB=5, BC=3, P是射线DE上的动点，当APBC的周长 取得最小值时，DP的值为（）DA昼B.竺36【解答】解：连接刖、PC、PA, 要使得APBC的周长最小，只要PB+PC最小即可, PB+PC=PA+PBmAB,当P与E重合时,PA+PB最小,AD=CD, DE丄AC,C.D:AF=CF V ZACB

11、=90 ,:.EF/BC,:.AE=BE=B=2.5,2EF=2bC=15,2TAD 丄 AB, ZEFsDEA、 AE_DE 9EF AE.de=A1=竺，EF 6故选：B例题2.如图所示，凸四边形ABCD中，ZA=90 , ZC=90 ,ZD=60 , AD=3,若点 M、N分别为边CD, AD k的动点，求BMV的周长的最小值.【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点F和点 连接交DC和AD于点M和点N, DB,连接MB、NB； 再DC和AD上分别取一动点M和（不同于点M和N， 连接MB. MBS NB和NBJ如图1所示： BByME+MN+NBJ；BM+MN+BNBE,NB=N

12、BS:.NB+NM+BXBM+M2+B2,:Umn=NB+NM七BM时周长最小；连接DB,过点B作B77丄DB”于B”D的延长线于点H, 如图示2所示：在 RtAABD 中，AD=3, AB=,* DB=ViD2+AB2=a/32+(V3)2=AZ2=30 ,Z5=30 , DB=DBJ又 V ZADC=Z l+Z2=60 ,Zl=30 ,AZ7 = 30 , DB=DB,/.ZBm=Z1 + Z2+Z5+Z7=120 , DB，=DB=DB = 2 伍又 V ZB,DB,+Z6=180 ,A Z6=60 ,:HD=品、HB=3,在RtABW4,由勾股泄理得：B，B =HBy 2-hHB/z

13、2=a/(3V2)2+32=27+9=6- c 乙 bmn=NB+NM+BM=6,变式练习2. 如图，点P是ZAOB内任意一点，且ZAOB=40 ,点M和点N分别是射线04和射线OB上的动点, 当PMN周长取最小值时，则ZMPN的度数为（）-35 -A. 140B. 100C. 50【解答】解：分别作点P关于04、OB的对称点戸、P 连接PH，交04于M,交0B于N,贝IJOP = OP=OP, Z0P】M=ZMP0, ZNPO=ZNPD 根据轴对称的性质，可得MP=PiM, PN=P2N,则 PMN的周长的最小值=P屮2，D. 40ZPiOP2=2ZAOB=80 ,等腰 OPP?中，ZOP&

14、2十ZOPPFOO。,： ZMPN= ZOPM+ZOPN= ZOPM+ZOP2N=00 , 故选：B例题3.如图，在ZXABC中，ZC=90 , CB=CA=4, ZA的平分线交BC于点D,若点P、0分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是B【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P ,连接CP交AD于点Q,则 CQ+PQ=CQ+P Q=CPf .根据对称的性质知7PQ竺LAP 03:.ZPAQ=ZPr A0又TAD是ZA的平分线，点P在AC边上，点0在直线AD上，:.ZPAQ=ZBAQ. :乙P AQ=ZBAQ, 点 P 在边 上.当CP丄时，线段CP最短.在 ABC 中，ZC

15、=90 , CB = CA=4,且当点P是斜边初的中点时，CP丄AB,此时CP =Xw=2a/2，即CQ+PQ的最小值是2典.i2故填：2血.变式练习3. 如图，已知等边ZUBC的而积为屹，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值 是（）A. 3B. 2/3D4【解答】解：如图，作AABC关于AC对称的 ACD.点E与点Q关于AC对称，连接 氏，则QR=ER,当点E, R, P在同一直线上，且PE丄AB时，PR+0?的最小值是PE的长， 设等边ABC的边长为比则髙为逅2等边ABC的而积为4並, xx21-x=4V3 解得 X=4,2 2等边ZiABC的高头退x=2翻2即

16、PE=2a/1，故选：B例题4.如图，ZMON=30 , A在OM上，04 = 2、D在ON上,OD=4, C是OM上任意一点，是ON上任意一点.则 折线ABCD的最短长度为-35 -【解答】解：作D关于0M的对称点” 作A作关于ON的对称点f .连接A Df与0MON的交点就是C. B二点.此时 ABBC+CD=A B+BC+CD =Af Df 为最短距离. 连接 DDf A/T , 0Af , 0D1 a：OA = OAr , ZAOAr =60 , :.ZOAAf =ZO/T 4=60 , ：.ODD,是等边三角形.同理 OAA1也是等边三角形.：.OD=OD= OAf =OA=29ZD

17、 OA =90 t) =q 4 2 十 2 2=变式练习4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是上任意一点，。是OC上任意一点，已知: AC=2. BC=.(1) 求折线OPQB的长的最小值：(2) 当折线OPQB的长最小时,试确定。的位置.【解答】解：(1)作点B关于AC的对称点,作点O关于AB的对称点0 连接AB , QB , AOf , POf , O,贝QB=QBf , OP=O P,折线 OP0B 的长=0P+PQ+QB=Of P十PQ十QB,折线OPQB的长的最小值=刃0r在长方形 ABCD 中，ZABC=90 ,在/ABC 中，AC=2, BC=1, ZABC=

18、90 ,A ZBAC= 30 ,.点B、B1关于AC对称，点0、O关于AB对称，:.ZBr AC=30 , ABr =AB=並,R AB=30 , AO1 =AO=1,:.ZBr AO9 =90 ,:B， =a/（V3）2 + l2 = 2,折线OPQB的长的最小值=2：（2）设O交AC于点0 ,在 RtZXAO Bf 中，AOf =1, Bf Of =2,/. ZABf Of =30 ,则ZAO Br =60 ,在AOr Qr 中，ZQf AO（ =ZQ AB+ZBAOf =60 , AO Q是等边三角形，:.AQf =AOr =1=AO,点Q就是AC的中点O.当折线OPQB的长最小时，点Q

19、/AC的中点.例题5.如图，矩形ABCD中，AB=4, BC=8, E为CD的中点，点P、0为BC上两个动点，且P0=3, 当C0=_5_时，四边形APQE的周长最小.3【解答】解：点A向右平移3个单位到M,点关于BC的对称点F,连接MF.交BC于0此时MQ+EQ最小，P0=3, DE=CE=2, AE=82+22=2a/T7.要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行. 即 AP+EQ=MQ+EQ,过 M 作 MN丄BC 于 N,设 CQ=x,贝ljNQ=8-3x=5-x,: mnqsfcq、CF CQMN=AB=4, CF=CE=2、CQ=x. QN=5 - x, 解得:x=|则

20、C瑪故答案为:I变式练习5. 如图，已知A (3, 1)与B (1, 0) , PQ是直线上的一条动线段且PQ=2 (。在P的下方)，当AP+PQ+QB最小时，0点坐标为(3 3C. （0, 0）D（1, 1）【解答】解：作点3关于直线y=x的对称点1),过点A作直线MN,使得MN平行于直线y=x, 并沿MN向下平移5胚单位后得A(2, 0) 连接AB交直线y=x于点Q,如图 理由如下：9：AA=PQ= AA7/PQ四边形APQA是平行四边形:.AP=AlQ9：AP+PQ+QB=BQ+A9Q+PQ 且 PQ=f.当AQ+BQ值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A, 0，F三

21、点共线时/ VB* (0, 1) , A (2, 0)/ N/直线AE的解析式 =-丄计12/.= - X+ ,即 X=230点坐标（Z, Z）3 3故选：A.例题6如图，点以F是正方形ABCD的边BC上的两点(不与B、C两点重合)，过点B作BG丄AE于 点G,连接FG、DF,若AB=2.求DF+GF的最小值为.AB【解答】解：取AB的中点O,点0、G关于BC的对称点分别为01 G,TG与G关于BC对称，:.FG=FG:.FG+DF=FG+DF,当G （也就是G）固圧时，取DG与BC的交点F,此时能够使得FG+FD最小，且此时FG+DF的最小值是DG,现在再移动点E （也就是移动G）,BG丄Z

22、AGB=9（T ,当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以0为圆心，04为半径的90的圆弧百,点G随着运动的轨迹是以（7为圆心，0矽为半径的90的圆弧BT 当取DO,与BT，交点为G时，能够使得DG达到最小值,且DG的最小值=0 - 00=心2十/1 =丘1， 即DF+GF的最小值为后-1.故选：A.变式练习6. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A （2, 3）、点B （3, 4）为圆心，1、3为半径作04、OB, M, N分别是OA. 0B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）C. 6-22D. V17【解答】解：作04关于x轴的对称6V ,连接BA分别交04和0B于M、

23、N,交；v轴于P,如图,则此时PA/+PN最小，点 A 坐标(2, 3),点A坐标(2, -3),点 B (3, 4),b=V(2-3)2+(-3-4)2=:.MN=Af B - BN - A 耐=5血 3 =5 - 4, :.PM+PN的最小值为52 - 4.故选：A例题7如图，AD为等边ZiABC的髙，E、F分别为线段AD. AC上的动点，且AE=CF.当BF+CE取得 最小值时，ZAFB=()A 112.5B. 105C. 90D 82.512【解答】解：如图，作CH丄BC,且CH=BC,连接交AD于M,连接FH,ABC是等边三角形，AD丄BC,:.AC=BC, ZDAC=30 ,:.A

24、C=CH.: ZBCH=90 , ZACB=60 , ZACH=90 -60 =30 , ZD4C=ZACH=30 , AE=CF ZECQCFH、:CE=FH, BF+CE=BF+FH、当F为AC与的交点时，如图2, BF+CE的值最小,此时ZFBC=45 , ZFCB=60 , A ZAFB=105 ,故选：B 变式练习7. 如图，等边ZiABC中，AD为BC边上的髙，点M. N分别在AD. AC上，且AM=CN,连BM. BN, 当BM+BN最小时，ZMBN= 30度A连接NH, BH.ABC是等边三角形，AD丄BC, CH丄BC,:.ZDAC=ZDAB=30 , AD/CH. :.ZH

25、CN= ZCAD= ZBAM=30 , :AM=CN、AB=BC=CH,：MB躺MHN (SAS),: BN+HNMBH、B, N, H共线时,BM+BN=NH+BN的值最小， 如图2中，当B, M H共线时,BD图2/IBM 竺CHM： ZABM= ZCHB= ZCBH=45 ,V ZABD=60 ,A ZDBM= 15 ,ZMBN=45 - 15 =30 ,当BM+BN的值最小时，ZMBN= 30 , 故答案为30.例题8. (1)如图，RtAABC中，ZC=90 , AC=3, BC=4,点D是AB边上任意一点，则CQ的最 小值为12-一 5 一(2) 如图，矩形ABCD中，AB=3,

26、BC=4,点M 点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值.(3) 如图，矩形中，AB=3, BC=4,点E是AB边上一点,且AE=2,点尸是BC边上的任意一 点，把BF沿F翻折，点B的对应点为G,连接AG. CG,四边形AGCD的而积是否存在最小值，若【解答】解:(1)如图，过点C作CD丄AB于D,根据点到直线的距禽垂线段最小，此时CD最小,在RtzMBC中，AC=3, BC=4,根据勾股左理得，AB=5. 2acxbc=Zwxcd cdBC =旦,因22AB 5故答案为丄Z;5(2)如图，作出点C关于BD的对称点E,过点E作EN丄BC于N,交BD于连接CM,此时CM+MN=N最小:四边形

27、ABCD是矩形，EZBCD=90 , CD=AB=3,根据勾股泄理得，BD=5, TCE丄 BC, 丄BD X CF=BC X CD,2 2.CFhBCCD =里,由对称得，CE=2CF=Zi,BD 55在 RtABCF 中，cosZBCF=，BC 5/. sin ZBCF=A,5在Rt即中，EXCESZCE邂X拿祭即：CM+MN的最小值为西；25(3)如图3,四边形ABCD是矩形，CD=AB=3, AD=BC=4, ZABC=ZD=90 ,根据勾股立理得，AC=5, AB = 3, AE=2,.点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为儿S=S5S皿=評心中CX匸寺

28、X4X3垮X5XQ爭+6,要四边形AGCD的面积最小,即：力最小,点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点,ADEG丄AC时,力最小，由折叠知 ZEGF= ZABC= 90 , 延长EG交AC于乩 则丄AC,在 RtAABC 中，sinZBAC=-=A,AC 5在 RtAAEH 中，AE=2, sinZBAC=-=XAE 5”評譜SG琨-哙过点F作FM丄AC于M,:EH丄FG, EH丄AC.四边形FGHM是矩形,:.FM=GH=59： ZFCM=ZACB. ZCMF=CBA=90 , :血 CMFsCBA、2 CF FM CF 5 , 二 AC AB 53 CF=

29、1:BF=BC- CF=4 1=3.达标检测 领悟提升强化落实1如图，矩形ABCD中，4B=5, AD=10,点、E, F, G, H分别在矩形各边上，点F, H为不动点，点E, G为动点，若要使得AF=CH, BE=DG,则四边形EFGH周长的最小值为()n cA55B10VEC15怎D10V亏【解答】解：作点F关于CD的对称点F ,连接F H交CD于点G,此时四边形EFGH周长取最小 值，过点H作HH丄AD于点H,如图所示.:AF=CH、DF=DF ,：H Ff =AD=10,: HR =AB=5,:-FFy 如图，平面直角坐标系中，分别以点A ( -2, 3) , B (3, 4)为圆心

30、，以1. 2为半径作04、0B, M、 分别是OA. 08上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于 岱-3+Hz H2=/=ioVs.: C 刊边彫 EFGII = 2F 故选：D【解答】解：作04关于x轴的对称04 ,连接BA分别交OV和于M、M交；v轴于P,如图,则此时PM+PN最小，点 A 坐标(-2, 3),点A坐标(-2, -3),点 B (3, 4),* b=V(3+2)2+(4+3)2=:.MN=Af B - BN - A M=JTi 2 = 3,:.PM+PN的最小值为岳-3.故答案为a/74 3.3如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于仏B两点.OC的圆心坐标

31、为（2, 0）,半径为2,若D 是0C上的一个动点，线段D4与y轴交于点E,则zMBE而积的最小值和最大值分别是8 - 2血申1 8+2 血04=4, 0B=4, /XABE的边BE上的髙是0A, /XABE的边BE上的髙是4,.要使ABE的而积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可, 过A作（DC的两条切线，如图，当在D点时，BE最小，即ABE而积最小；当在ZT点时，BE最大,即AABE而积最大；S轴丄y轴，0C为半径,:.EE是0C切线，9：ADf是QC切线，：.0Ef =Ef D .设 E 0=E D =a-, AC=4+2=6, CDf =2, ADf 是切线，/. ZADr C=9

32、0 ,由勾股宦理得：ADr =4竝 :.sin ZCAD=工=,AC AE/ 2 = x * _=,64v2-x解得：x=VzBE =4+血 BE=4 丽,:./ABE 的最小值是丄 X （4-V2 X4=8-2V2最大值是：2x（4朋）X4=8+2佢，2故答案为：8-22和8+2近4.正方形ABCD, AB=4, E是CD中点，BF=3CF点M, N为线段BD上的动点，求四边形 EMNF周长的最小值狂屉辰_【解答】解：作点E关于BD的对称点G,则点G在AD上，连接GM,过G作BD的平行线，截取GH=MN=迈，连接HN,则四边形GMVM是平行四边形, HN=GM=EW过 H 作 PQ丄BC,交

33、 AD 于 P,交 BC 于 Q,则 ZHPG=ZHQF=9X , PQ=AB=4, ZPGH=ZADB=45 ,:.HP=PG=, HQ=41=3,V2由轴对称的性质，可得DG=ED=2,AP=42 1 = 1,又9：BF=3CF. BC=4,:.CF= 1, QF=4 1 - 1=2,当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF=HF （最短）， 此时ME+NF最短，- RlAHQF 中，FH=pq2+pq+2即ME+NF最短为丿正,又 VRtACEF 中，EF=&e2 冊 2=J 2?十2=屆:.M+NF+M/V+EF=.四边形EMNF周长的最小值为局皿+丫怎.故答案为：V73+VW5.5如

34、图，已知点D, E分别是等边三角形ABC中BC,边的中点，BC=6,点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为血_【解答】解：过C作CE丄AB于E,交AD于斤 连接BF,则BF+EF最小（根据两点之间线段最短; 点到直线垂直距离最短）,由于Q和B关于AD对称，则BF+EF=CF,等边ZlABC 中，BD=CD,AD 丄 BC,.AD是BC的垂直平分线（三线合一），C和3关于直线AD对称， CF=BF,即 BF+EF= CF+EF= CE, TAD丄BC, CE丄AB,ZADB=ZCEB=9(T ,在/!) 和ZkCEB 中，CE=AD,BC=6,:BD=3, :.AD=3,即 BF+EF=3

35、並. 故答案为：3忑ZADB=ZCEBZABD=ZCBE ： ADB9 CEB (A4S)AB=CB6.如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB. BC、CD、D4上的点，3AE=EB,有一 只蚂蚁从E点出发，经过氏G、H,最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是_趴伍_【解答】解：延长DC到D,使CD=CD, G对应位置为G,则FG = FG, 同样作D/T丄CD, DW=DA, H对应的位置为曰，则GH=GH, 再作AB丄DA, E的对应位置为则HE=HE容易看出，当E、F、G、H E在一条直线上时路程最小,最小路程为 EE=寸(2AB)2_(_(2bc)=7 4+4=2V2

36、7如图，在AABC中，AC丄BC, ZB=30，点E, F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点, 点0是线段AC上的动点，若AC=3,则四边形EPQF周长的最小值是8【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点F ,过F点作F点关于AC的对称点尸 在 ABC 中,AC丄BC, ZB=30 , AC=3,AB=6,点E, F是线段AC的三等分点，:EF=2、VEf Ff =AB=6,四边形EPQF周长的最小值是6+2=& 故答案为：8.8如图，长为1的线段在x轴上移动(7(0, 1)、D (0, 2),则AC+BD的最小值是【解答】解：如图所示，以AB, BD为边构造平行四边形ABDE.作点

37、C关于x轴的对称点F,连接AF,贝IJDE丄y 轴，OF=OC=,四边形ABDE是平行四边形，:BD=AE, DE=AB=.AB垂直平分线CF,:.AC=AF,:.AC+BD=AE+AF,如图，当点E, A, F在同一直线上时，AE+AF=EF （最短），此时，VRtADEF 中，DE=h DF=2+1=3,F=VdE2+DF2=V 12+32=V1O:.AC+BD的最小值是故答案为：9. 在矩形ABCD中，AB=8, BC=10, G为AD边的中点.如图，若E、F为边AB 的两个动点，且EF 7当四边形如的周长最小时，则“的长为普-【解答】解:VE为AB上的一个动点，如图，作G关于的对称点M

38、,在CD上截取CH=4,然后连接交AB于&接着在EB上截取F=4,那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小.在矩形ABCD中，AB=8, BC=10, G为边AD的中点,AG=AM=5, MD=15,而 CH=4:.DH=49而 AE/CD,AAEMs/DHM,-35 -:.AE： HD=MAt MD. ae_HDMA_40为AC中点，:.A0=0C=Pa，；N为OA中点,:.0N= 2 迈：0N = CN=2 范:.Al= 6/2，:.CM=AB-BM=S-6=2, a_ or _i BM AI3:.PM/AB/CD, ZCW=90 ,ZNCM=45 ,.“CM为等腰直角三角形，:CM=MN=2、即PM-PN的最大值为2, 故答案为：2.12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=16, B到MN的距禽BD=10, C