2021届天津市和平区高三上学期期末考试数学试卷(解析版)

1、天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末数学试题本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷1至3页，第II卷4至6页.第/卷注意事项：1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号；3. 本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件A、B互斥，那么 p(AUB) = p(q)+p(B)如果事件A、B相互独立，那么 P(AB)= P(AP(B)棱柱的体积公式V=Shf其中 s表示棱柱的底面面积，

2、h表 示棱柱的高.4球的体积公式討叭其中R表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合-2,-1,0,1,2 , 4 = 0, B = xLv2+a-20,贝iJ(QfA)DB=().A. -1B. 1c. 一1 丄 2【答案】A【解析】【分析】化简集合B，根据补集和交集的概念运算可得结果.详解】Q,A = -2,-1,1,2.B = xI-2x1”的().X(2丿B.必要不充分条件.D.既不充分也不必要条件A.充分不必要条件C.充要条件【答案】B【解析】【分析】解不等式，利用两个不等式的解集的包含关系可得答案.1 11 V【详解】一V1等价于-1

3、0等价于或x. XXX二等价于J丄丫等价于兀0,2）2）匕丿因为xlxl ,1 1所以“ 一V1 ”是“丄 1 ”的必要不充分条件.V12丿故选:B【点睛】结论点睛：本题考査充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断:（1）若卩是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的貞子集：（2）是q的充分不必要条件，则对应集合是g对应集合的真子集；（3）是q的充分必要条件，则卩对应集合与g对应集合相等；3函数fM =2sinx在1-龙41的大致图象是（).（4）是g的既不充分又不必要条件，q对的集合与对应集合互不包含.【答案】A【解析】【分析】 根据函数的奇偶性排除c、D,根据e(O)时，函数值的符

4、号排除B,故选A.【详解】因为f(x)= 2sin 所以/(-X)= 2Sin(A 1 = - 2= -f (x) 所以/V)为一込刃上 e +ee x + el ex +e 的奇函数，其图象关于原点对称，故C、D不正确：当xe(O,)时，sinx0,所以/(a) 0 ,故B不正确；故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数的性质排除不正确选项是解题关键.4.已知某校一次数学测验所有学生得分都在80,150内，根据学生得分情况绘制的频率分布直方图如图所示，则图中的值是().A. 0.015B. 0.020C. 0.030D. 0.040【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为

5、1,即可求得a的值.【详解】解：由频率分布宜方图可知：(0.003 + 0.007 + 0.008+0.012+0.030+2a) x 10 = 1,解得：a = 0.020.故选：B.5.已知正方体ABCD-AC的所有顶点都在球O的表面上，若球。的体积为36兀，则正方体ABCD-AC的体积为().A. 23B. 33C. 12的D. 24&【答案】D【解析】【分析】先求岀球0的半径，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求岀正方体的棱长，即可求岀正方体的体积.【详解】解：球0的体积为36/r.即纟兀R=36兀,3解得：R = 3,设正方体ABCD-AD.的棱长为d ,由题意知：2R = l

6、a2 +a2 +a2 即 6 = /3a 解得：a = 23 -正方体 ABCD AlBlCiDi 的体积 V = 24* 故选：D.6设d= -, b = 39, c = log0 78，则偽b, c的大小关系为（）k 3 A. abcB. bacC. bcaD. ca3 = 1,又C = log0 70,8 :.ca 又由 a = yjc1 -b1 = y52 -42 =9 2 2所以双曲线的方程为=1.916故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和 抛物线的几何性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7、8.设函数.f(x) = 2sin(Qx + 0), xeR 其中00,5tt11 it|0|龙若/() = 2 , /() = 0,且/V)的8 8最小正周期大于2兀，则A2兀A. co = , (p = 312【答案】AB亠 c.31211171r 117tco = . (p = D. 0 = _, (p =324324【解析】5CO7T兀+ 0 = 2财 + f2,其中k、kZ、所以 = t伙一2)-：，又T = 2 ,所以1 (O7t.33Q+(p = kI 80VQV1,所以CD = - , 0 = 2兀+丄兀，由(f7T得0 =三，故选A.3 1212【考点】求三角函数的解析式【洛

8、师点睹】有关y = Asin(d + 0)问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范用，一般先根据图象的最高点或最低点确S再根据周期或*周期或和期求枫，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式.求出满足条件的。值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点 的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待左的参变量.题型很活，求或卩的值或最值或范用等.k(x + 3).x0( 、 z/、2 ,若函数g(x) = /(-x) + /(x)有且只有四个不同 零点，则实数k.X 厶K j的取值范用是().B. (4,+8)C. (y, ) U (4, +0 时.一xvO, /(-x) =

9、 k(-x + 3), f(x) = x2 -2k , 所以g(x)=紅x + 3) + F 一 2& = / -匕+ k在(0, +s)上有且仅有2个不同的零点,g(0)0所以耳0，解得&4=疋一甘0 故选:B【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确左参数范由；（2）分禽参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决：（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平而直角坐标系中画出函数的图象, 利用数形结合的方法求解第II卷注意事项1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2本卷共1小题

10、，共10S分.二、填空图、本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10已知是虚数单比则壬卜【答案】1 + 47【解析】【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】芽=(5 + 3/)(1 + /) = 2 + 8/=1 + 4.(1-0(1 + /) 2故答案为：1 + 4几11.二项式2x的展开式中常数项为【答案】60【解析】【分析】 求出二项式的通项公式，再令对应的幕指数为0即可求解【详解】二项式（2xL |的展开式的通项公式为7；+1=q（2x）6-4L =C：2i（咅，令 0）,由点到直线距离求出圆心坐标，再由圆上的点求岀半径，进 而可求岀圆的方程.【详解】由题意，设圆C的圆心为C

11、仏0）（d0）,因为圆心到直线2x-y = 0的距离为茸,5所以凶聲=辻，解得“ =1,即圆心坐标为（1,0）：/55又点M（0,、/J）在圆C上，所以半径为 / = J（l_0），+（0 J） = 2，因此圆C的方程为（x 1 ）2 +），2 = 4 故答案为：（兀一1+ b=4.13. 现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则英中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为.【答案】10【解析】【分析】先列出从5种教学软件中随机选取3种的所有情况，然后计算出甲、乙、丙至多有2种的情况，再利用古典概型公式汁算即可.【详解】解：从甲、乙、丙、丁

12、、戊5种在线教学软件随机选取3种，共有以下10种等可能的情况：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，其中甲、乙、丙至多有2种被选取的有以下9种情况：甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，即所求概率为2,109故答案为：亓j14. C知m 0, 77 0 *且一 +=2，则m + 2n的最小值为m+2n+23【答案】3 + 6血【解析】【分析】先换元，令$ =加+ 2, t = n + 2,则- + - = i m + 2/j = s + 2t-6 :再采用乘1法”，求出s + 2t的最小 s t 3值即可得解.【详解】

13、解：令s = m +t=n + 29 则s2, /2, K- + -= ,.m + 2n =(5 - 2) + 2(/ 一 2) = s + 2f 6 ,而$ + 2心3（$ + 2小（ +】+十 + 23x（3 + 2拝）“3 + 2血几当且仅当汽,即$ = Q时,等号成立.+ 2/的最小值为3(3 + 272),.m + In = y + 2/一 6上3(3 + 2/T) 一 6 = 3 + 6/2 故答案为：3 + 62【点睛】本题考査利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考査学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题.15.任菱形 ABCD 中，ZBAD = 点

14、M, N分別为BC, CD边上的点，且满足I B11BC_IC7VIicDi#则 AN的最小值为【答案】-2【解析】BM CNBC CD【分析】=f, 0/ AQ表示，再根据向量数量的运算律进行求解可得结果. cN 一 icDiAM = AB + BM=AB+ tBC =AB + tADAN = AB + BC + CN =B + BC + tCD =AB + AD-tAB = (-t)AB + ADf 所以丽顽=(而+/而)(l_f)莊+丽)=+tAD +( + t-r)AB AD= 4(l-r)+4r + (l+r-r2)x2x2x(-|)= 2t2-2t + 2,3 3因为05/51,所

15、以当f = 一时，2r-2t + 2取得最小值二，即而丽的最小值为二.2 223故答案为： -2【点睛】关键点点睛：将丽和丽用而、丽表示，再根据向量数量的运算律进行求解是解题关键.三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在 aABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 “,b, C,且满足 asin A=4bsinBtac = /3(2-b2-c2).(1) 求cosA的值：(2) 求sin(2B + A)的值.【答案】(1) 一週(2) 2歼爭3 9【解析】【分析】(1) 根据正弦左理可得a = 2b,再结合余弦定理可得结果；(2) 由cosA

16、 = - 求岀sin A ,由a sin A = 4b sin B求出sin 5，根据同角公式求出cosB,利用二倍3角公式求出sin23,cos2B,再根据两角和的正弦公式可求得结果.【详解】(1)由osinA = 4Z?sinB以及正弦左理可得/=4戻，得a = 2b,由处=/3(2-/r-c2)得，+c2-2 =ac _ 2bc-io-19 -删看“乎所畑%(2)由 cos A =由伽心如B得si脣驾亠畔冲,又A为钝角，所以为锐角，所以cosB =6232 /6 _276-a/15+ x =3 3所以sin2H2sinSB = 2呼x字笞,cos2B = 2cos-l = 2x所以 si

17、n(2B + A) = sin 2Bcos A+cos2Bsin A =-x【点睹】关键点点睹：利用正弦左理和余弦左理求解是解题关键.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，P4丄平而ABCD.丄AD, BC/AD ,点M是棱PQ上一点,且AB = BC = 2, AD = PA = 4.（1）若 PM: MD = :2,求证：/平而 ACM x（2）求二面角A-CD-P的正弦值：（3）若直线AW与平ifilPCZ）所成角的正弦值为求MD的长.【答案】（1）证明见解析；（2）空：（3） MD = 22【解析】【分析】（1）连接BD交4C于点连接MN,证明MV/PB：(2) 建立空间直角坐标系，利用

18、空间向量求二面角正弦值：(3) 设A7D = 2PD(OA1),用几表示点M坐标，利用线而夹角，求得几得值及MD得长.【详解】(1)证明：如图，连接BD交AC于点N,连接 BC/AD,BN _ BC _ BD = AD = 2.-.MV/PB,又-MN u平而ACM , PBz平而ACM./平而 ACM(2)如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), C(2,2,0), D(0,4,0), P(0,0,4)CD = (-2,2,0)PD =(0.4_4),设平而PCD法向,x = l.v = 1,即方= (1,1,1),z = 1-2x + 2y = 0A山令兀=14v-4z = 0又平而

19、A CD的法向量帀=(0,0,1),cos帀 Ji)=故二面角A-CD-P的正弦值为(3) i1D = APD(0A/42 +42 =4/2 (1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一左是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.设万分别为平而g B的法向咼，则二而角&与 云7 互补或相等求解时一左要注意结合实际图形 判断所求角是锐角还是钝角.18.已知椭圆c:二+二=1（“ h0）的离心率为迈，短轴的两个端点和右焦点构成的三角形而积为 cr b32/5 .（1）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为R的直线/经过点A（-sO）,且直线/与椭圆C交于点P（P不在X

20、轴上）.若点0在y轴的负半轴上，APQ是等边三角形，求R的值.【答案】訐鬥;【解析】【分析】（1）记椭圆的右焦点坐标为（c,0）,根拯题中条件，列岀关于abc的方程组求解，即可得出eibj 从 而可确宦椭圆方程;27 疋一 1224k，一 4 + 9“。4 + 9以，设0（Oj）（zO）,根据题中条件，得到（2）先由（1）得A（-3,0）,则直线/的方程为y = k（x+3）9联立直线与椭圆方程，求岀=，解方程组,cos Z.PAQ = cos 6Q即可求出结果.【详解】（1）记椭圆的右焦点坐标为（uO）,因为椭圆0）的藹心率为 cr Zr短轴的两个端点和右焦点构成的三角形而积为2巧,所以有

21、227ZT12 J+3 +4 + 9/)24、4 + 9丿24& + F4 + 9“又点Q在y轴的负半轴上，设e(oj)(/AP = AQcos ZPAQ = cos 60 =竺貰 M网24时=応4 + 9S72 24tk+3 + tk1_ 4+严2_4 + 9F 2專E_4土 9丄 4 +徑224J1 + / 、, 24J1 +疋 24 (1 + 疋)4+92 % 4+9疋4+92所以空也=3+力则宀皿一匕七J心整理得畫4 + 松4 + 94 + 9L“MTF j24屮 +疋)225k2代入 +空_ = 妬T7可得p = 9 + -T ,4 + 9 疋(4 + 9 疋)(4 + 9”)则64

22、(1 +疋)=(4 + 9疋+25,整理得27疋+ 11疋一16 = 0,解得宀笋所以“攀又心為V所心，故占.点睛】关键点点睛:求解本题的关键在于根据APQ是等边三角形，列岀方程组MH = Q/ ,结合直线与椭圆方程,cos ZPAQ = cos 60已经两点间距离公式等，化简方程组，即可求解：此类题目计算量较大，要求考生要具备较强的计算能力.19.已知等比数列色满足。3-。2=1，引吗二必.（1）求数列色的前”项和s”(2)若数列化满足$ = 1, JLb、+ + + = bn+l 1( e TV )求亿的通项公式: 求工4仇1/-【答案】（1） ；（3一1） （2） bn=n ：仪_1）

23、2),又yi,且勺=1,所以b2=2, = b 心 n + 1.b . b所以严=(neN ),即亠叽 nn + n所以数列如是常数数列，所以如=? = 1,即乞=舁nn 1由(1)知= x，n令 = E 肉I =也 + a2b. + + anbM ,r-l即人=x-x +3x-x3 +5x-x32 + + (2料一1)x恒成立，求。的取值范围.【答案】(1)0； (2)当“S0时，/(x)的单调递增区间为R；当d0时，f(x)的单调递减区间是r(yd, In(加)，单调递增区间是(ln(2),+s)； (3) 一叫一石 -【解析】【分析】jr(1) 根据/(X)在点(0J(0)处的切线倾斜角

24、为了，得到广(0) = 1,对/(X)进行求导，再求解即可：(2) 对函数进行求导，对参数进行分类讨论，即可求得函数的单调区间；(3) 构造函数0(x) = /(x) + g(x)x,将原式化为：对于任意xw0,+8),(p(x)n.n 0恒成立，再利 用exx + 进行适度放缩，从而判断0(兀)的单调性，找到对应的参数范囤即可.【详解】(1)由题意知：fx) = ex-2cif:.f0) = e-2a = -2a,又V/ (x)在点(0,/(0)的切线倾斜角为-,4在点(0,/(0)的切线的斜率k = km扌=1,即广(0) = 1-2。= 1,解得： = 0：(2) 由(1)知：ff(x) = ex -2(i, 当“SO时，fW 0,在R上为增函数; 当a0时，令 f(x) = ex-2a = 0,解得：x = ln(2d),二当