62算术平均数与几何平均数要点归纳

1、6.2 算术平均数与几何平均数要点归纳河北省 杨新兰二元均值定理 （算术平均数与几何平均数定理 ） 是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不 可缺少的解题工具，常应用于证明不等式，判断不等式是否成立，求函数的值域或最值，求字母或参 数的变化范围，求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题一、学习目标 理解和掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一定理；能应用定理证明一些 相关的不等式；能用均值不等式求与之相关的函数最大值或最小值问题二、知识梳理ab1把 a b称为 a、b的算术平均数，称 ab 为 a、b的几何平均数。因而，二元均值定理可以叙2ab述为：

2、两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 如果把 a b 看作是正数 a、b 的等差中项， ab2看作是正数 a、b 的等比中项，那么二元均值定理还可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的 等比中项2 b2， 还可以是 a b 2b (aa2一般的数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质关系，但不能定格于某一种特殊形式，因此不等式 a2 b 2 2ab的形式可以是 a 2 2abb 2 ，也可以是 aba bb20），b 2ba 等。解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等， a以便灵活运用。3尽管二元均值定理的应用范围极广，推论和相关结论也很多，但其本身终究

3、是由不等式的意 义、性质推导出来的凡是用它可以获证的不等式，均可以直接根据不等式的意义、性质证得因此， 在算术平均数与几何平均数定理的应用中，不可忽视不等式的意义、性质等概念在处理有关不等式论 证方面的根本作用4二元均值不等式不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式，结合不等式的性质还可以处理两个正数的平方和、倒数和与其它变形式的结构，由公式 a2b22ab和a2b ab可以得到以下几个重要结论： a2 b 2 2ab （当且仅当 a = b时取“=”号）； a2 b 2 2|ab| （当且仅当 | a | = | b 时| 取“ =”号）； a2b2 2|ab| （当且仅当 a = b= 0

4、时取“ =”号）；22a = b 时等号成立 ） 2 ab a b a b (a、b 都是正数，当且仅当 1 1 2 2ab5二元均值不等式还能处理几个正数的平方和与和结构，倒数和与和结构，根式和与和结构及两两之积与和结构等不等式问题， 但在处理这些结构型的不等式时， 要注意与其它依据相结合来处理 常见结构的不等式的处理方法归纳如下：abbcca与 abc 型利用（a b c） 2 = a2b2c22ab2bc2ca与 a 2 b 2 c 2 abbcca相结合；a2b2c2与 abc型利用 a2b2c2abbcca乘以 2再加上 a2b2c2 即可； a b c与 abc型只要在中每个字母开

5、方代换即可。6利用均值定理可以求函数或代数式的最值问题：当 a，b都为正数，且 ab为定值时，有 ab2 ab （定值），当且仅当 a = b时取“ =”号，此 时 a b 有最小值；当 a，b都为正数，且 a b为定值时，有 ab（a b） （定值），当且仅当 a = b时取“ =”号，4此时 ab 有最大值以上两类问题可简称为“积大和小”问题7创设应用算术平均数与几何平均数定理使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题 技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件 （两数都为正 ）；二要考虑必须使和或积为定值； 三要考虑等号成立的条件 （当且仅当 a = b时取“ =”号），它具有一

6、定的灵活性和变形技巧，高考中常 被设计为一个难点8二元均值定理具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，若 所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用这一定理把问题转化其中“一 正二定三相等”在解题中具有双重功能，即对条件的制约作用，又有解题的导向作用三、特别提示：1在使用公式 a2b22ab和 a b ab时，要注意这两者成立的条件是不相同的，前者只要2求 a、b 都是实数，而后者要求 a、b 都是正数2在使用二元均值定理求最值时，必须具备三个条件：在所求最值的代数式中，各变数均应 是正数 （如不是，则进行变号转换 ）；各变数的和或积必须为常数， 以确保不等式一边为定值 （如不是， 则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数 ）；各变数有相等的可能 （即相等时，变量 字母有实数解，且在定义域内，如无，则说明拆项、分解不当，此时，应重新拆项、分解或改用其它1方法，比如，已知 x 2，3，求函数 y = x1 的最小值，从形式上看可以使用二元均值定理，但等x