Chapt幂级数展开实用PPT课件

1、1有确定的极限，便称级数收敛，极限不存在有确定的极限，便称级数收敛，极限不存在或或 ，便称级数发散，便称级数发散2、柯西收敛判据、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条（级数收敛的充分必要条件）：件）： 对于任给的小正数对于任给的小正数 必有必有N存在，存在，使得使得 nN 时，时，式中式中 p 为任意正整数。为任意正整数。nnAlim,1pnnkkw第1页/共71页23、绝对收敛级数、绝对收敛级数若若 收敛，则收敛，则 绝对绝对收敛收敛. a. 绝对收敛级数改变先后次序，和不变绝对收敛级数改变先后次序，和不变. b. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两

2、级数和之积为两级数和之积., ,00BqApkkkk1221|kkkkkvuw1kkw第2页/共71页3ABcqpqpnnkllkkkkk00000nkknknqpc0第3页/共71页4三、函数项级数三、函数项级数1、概念与收敛判据、概念与收敛判据设设 是是z平面上平面上某区域某区域B中的单值解析函数。如果函数项级数中的单值解析函数。如果函数项级数 在在B中（或某曲线中（或某曲线l上）所有点上都收敛，则说级上）所有点上都收敛，则说级数在数在B中（或某曲线中（或某曲线l上）收敛。上）收敛。)()()()(211zwzwzwzwkkk), 3 , 2 , 1( )(kzwk1)(kkzw第4页/共

3、71页5柯西收敛判据柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：（级数收敛的充分必要条件）： 对对B内每点内每点 z，任给小正数，任给小正数 必有必有 存在，使得当存在，使得当 时，时，式中式中 p 为任意正整数。为任意正整数。N一般随一般随z不同而不同，不同而不同，但如果对任给小正数但如果对任给小正数 存在与存在与z无关的无关的 使得使得 时，上式成立，时，上式成立，便说便说 在在B内内一致收敛。一致收敛。 ,)(1pnnkkzw, 0),(zN, 01)(kkzw),(zNn),(N)(Nn 第5页/共71页62、一致收敛级数的性质、一致收敛级数的性质记级数和为记级数和为（1）在）在B内一致

4、收敛的级数，如果级数的每内一致收敛的级数，如果级数的每一项一项 都是都是B内的连续函数，则内的连续函数，则级数的级数的和和 也是也是B内的连续函数内的连续函数。（2）逐项求积分逐项求积分 在曲线在曲线l上一致收敛的级数，上一致收敛的级数，如果级数的每一项如果级数的每一项 都是都是l上的连续函上的连续函数，则级数的和数，则级数的和 也是也是l上的连续函数，上的连续函数，而且级数可沿而且级数可沿l逐项求积分。逐项求积分。)(zw)(zwk)(zw)(zw)(zwk11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw第6页/共71页7（3）逐项求导数（外氏逐项求导数（外氏Weierstrass

5、定理）定理）设级数设级数 在在 中一致收敛，中一致收敛， 在在 中单值解析，则级数的和中单值解析，则级数的和 也是也是 中的单值解析函数，中的单值解析函数， 的各阶导数可由的各阶导数可由 逐项求导数得到，即：逐项求导数得到，即：且最后的级数且最后的级数 在在 内的任意内的任意一个闭区域中一致收敛。一个闭区域中一致收敛。 1)(kkzwB), 2 , 1 , 0( )(kzwkBB)(zw)(zw1)(kkzw1)()()()(knknzwzw1)()(knkzwB第7页/共71页83、级数一致收敛的外氏（、级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判）判别法，或优级数判别法，或别法，或优级数

6、判别法，或M判别法判别法若对于某区域若对于某区域B(或曲线或曲线l )上所有各点上所有各点z, 函数项函数项级级 数数 各项的模各项的模 （ 是与是与z无关无关的正数的正数)，而正的常数项级数，而正的常数项级数 收敛，则收敛，则 在区域在区域B(或曲线或曲线l )上上绝对且一致收敛。绝对且一致收敛。1kkm1)(kkzw ,| )(|kkmzw km1)(kkzw第8页/共71页93.2 幂级数幂级数一、定义一、定义其中 为复常数。这样的级数叫作以z0为中心的幂级数。二、幂级数敛散性幂级数敛散性 1、比值判别法（达朗伯判别法）、比值判别法（达朗伯判别法）,)()()(20201000zzazz

7、aazzakkk,|)(| )(|)(|20201000zzazzaazzakkk，2100aaaz第9页/共71页10按比值判别法（达朗伯判别法）按比值判别法（达朗伯判别法）若若则（则（3.2.2）收敛，而（）收敛，而（3.2.1）绝对收敛）绝对收敛引入记号则即：若 ，则（3.2.1) 绝对收敛 , 1|lim|lim010101zzaazzazzakkkkkkkk1limkkkaaRRaazzkkk10lim|第10页/共71页11另一方面，若 则 级数发散即： 收敛 发散 Rzz|0, 1lim|lim10101Raazzazzakkkkkkkk,|0Rzz,|0RzzR0z收敛发散RC

8、R：收敛半径收敛半径CR: 收敛圆收敛圆第11页/共71页122、根式判别法：若 （3.2.2）收敛，（3.2.1）绝 对收敛 级数发散收敛半径的另一公式,lim|1kkakR1|lim0kkkkzza1|lim0kkkkzzaR0z收敛发散RC第12页/共71页133、收敛圆内幂级数绝对且一致收敛 作 在 有 对 有 幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！0z收敛发散RC1RCR1RkkkkRazza10|)(|01|kkkRa, 1lim|lim111111RaaRaRakkkkkkkk)( 11RRCR10|Rzz应用比值判别法应用比值判别法第13页/共71页1

9、4三、例题例1 求 的收敛圆。t 为复数 kttt21. 111limlim1kkkkaaR,111120ttttttnnnkk若, 1| t,1111lim10ttttnnkkn1).|(| 1112tttttk则解：第14页/共71页15例 2 求 的收敛圆。z 为复数解：0z收敛发散RC1RCR1Rtz 26421zzz321ttt. 111limlim1kkkkaaR1).|(| 1112642zzzzz第15页/共71页16四、幂级数所代表的函数的解析性质四、幂级数所代表的函数的解析性质1、幂级数每一项均是、幂级数每一项均是z的解析函数，而且在的解析函数，而且在收敛圆内任一闭区域中一

10、致收敛，据外氏定收敛圆内任一闭区域中一致收敛，据外氏定理，这级数的和理，这级数的和w(z)是收敛圆内的一个解析是收敛圆内的一个解析函数函数2、幂级数在收敛圆内可逐项积分3、幂级数在收敛圆内可逐项求导11d)(d )(d)(klklkklzzwzzwzzw1)()()()(knknzwzw第16页/共71页174、幂级数的回路积分表示00000000)(d)(i21d)(i211i21)(11kkkkCkkCkkkkkkzzazzazzazzaRR第17页/共71页183.3 解析函数的泰勒（解析函数的泰勒（Taylor）级数展开：）级数展开：定理：设 f(z) 在以 z0 为圆心的圆 CR 内

11、 解析，则 对圆内的任意 z 点, f(z) 可展为幂级数， 其中展开系数为 为圆CR 内包含z且与CR 同心的圆。00,)()(kkkzzazf1!)(d)()(210)(10RCkkkkzfzfia1RC第18页/共71页19证明：证明： 作作 ,d)(i21)(1RCzfzf00000111)()(11zzzzzzzz .1 111002000000zzzzzzzzzzzz)( 11RRCR展开其中由柯西公式第19页/共71页20将（3.3.3）代入（3.3.1）逐项积分0100000011kkkkkkzzzzzzzz.d)(i21)()(11000RCkkkzfzzzf).|(| )(

12、!)()(0000)(Rzzzzkzfzfkkk即以以 为中心的泰勒级数。展开是唯一的为中心的泰勒级数。展开是唯一的0z第20页/共71页21例1、求 ez 在 邻域的 Taylor 展开。解：因为故收敛半径 1|e|)e ()(00)(0)(zzzkzkzf.! 2! 11e02kkkzkzkzzz00z!)!1(limlim1kkaaRkkkk第21页/共71页22例2、求 ez 在 z0=1 邻域的 Taylor 展开。解：因为故收敛半径e|)e (1)(znz!) 1(! 2) 1(! 1) 1(1ee2kzzzkz!)!1(limlim1kkaaRkkkk第22页/共71页23例3、

13、求 和 在 z=0 邻域的 Taylor 展开。解：故0|)(sin ;) 1(|)(sin0)2(0)12(zkkzkzz , 0)( ,sin)(, 1)( ,cos)(, 0)0( ,sin)( , 1)0( ,cos)( , 0)0( ,sin)()4(1)4(1)3(1)3(1111111zfzzfzfzzffzzffzzffzzf.)!12() 1()!12() 1(! 5! 3! 1sin0121253kkkkkzkkzzzzzzzfsin)(1zzfcos)(2第23页/共71页24收敛半径类似收敛半径02242)!2() 1( )!2() 1(! 4! 21coskkkkkz

14、kkzzzz)!2()!22(limlim1kkaaRkkkk)!12()!32(limlim1kkaaRkkkk第24页/共71页25例4、求 1/(1-z)2 在 z=0 邻域的 Taylor 展开。解：因为 而 所以zdzdz11)1 (12.1112zzz01102) 1(11)1 (1kkkkkkzkkzzdzdzdzdz第25页/共71页26收敛半径 一般言, 收敛半径为展开中心至最近奇点之距收敛半径为展开中心至最近奇点之距离离 此例收敛半径 R=1。 事实上，该函数的奇点为 z=1, z=0 与 z=1 的距离为 1。121limkkRk因此，上述级数在 |z|1时收敛！第26页

15、/共71页27二、多值函数的 Taylor 展开多值函数在确定了单值分支后，可象单值函数那样在各单值分支上作泰勒展开例5、在 展开zzfln)(10z第27页/共71页28 ,)!1() 1() 1 ( ,)!1() 1()( , ! 3)( ,! 3)(, ! 2)( ,! 2)(, 1) 1 ( ,! 1)( , 1) 1 ( ,1)( ,21ln) 1 ( ,ln)(1)(1)()4(4)4()3(3)3(2kfzkzfzfzzfzfzzffzzffzzfinfzzfkkkkk第28页/共71页29收敛半径 R=1。n=0的那一支为主值分支。1)|1(| ) 1() 1(2)(11zzk

16、nizfkkk1oyx第29页/共71页30例6、求 在 邻域的 Taylor 展开（m不是整数）。解：mzzf)1 ()(00z,1 ) 1()2)(1()0( ,)1)(1()2)(1()( ,1 )2)(1()0( ,)1)(2)(1()(,1 ) 1()0( ,)1)(1()( ,1)0( ,)1 ()( ,1)0( ,)1 ()()()()3(3)3(21mkkmkmmmmmmmmkmmmmfzkmmmmzfmmmfzmmmzfmmfzmmzfmfzmzffzzf第30页/共71页310022)!( !1 1 !) 1() 1( ! 2) 1(! 111 !1 ) 1() 1( !

17、21 ) 1(! 111)(kkmkkmkmkmmmmzkmkmzkmzkkmmmzmmzmzkkmmmzmmzmzf从而从而m 为整数为整数第31页/共71页32收敛半径 R=1。式中n=0为主值分支。非整数二项式定理。三、无穷远点邻域内的泰勒展开 若存在R, 使f(z)在以z=0为圆心，R为半径的圆外（包括 ）解析， 作变换 有)0,1,2,( e)e (12i2inmnmnm,1tz ),(1ttf,)(,)(22102210zazaazftataat第32页/共71页333.4 解析延拓解析延拓解析延拓是解析函数理论中的一个重要概念(3.3.11) 1)|z(| ,1z)(1(3.3.

18、10) 1)|1-z(| ,4) 1(3) 1(2) 1() 1(2ln(3.2.8) 1)|z(| ,111(3.2.7) 1)|(| ,11043264220kkmmlkzkmzzzzinzzzzzttt第33页/共71页34一、解析延拓的定义： 设巳知一个函数 f1(z)在区域 B1中解析如果在与B1 有重叠部分b(可以是一条线)的另一区域B2 内存在一个解析函数 f2(z), 在b中 称f2(z) 为f1(z) 在B2中的解析延拓；反过来， f1(z) 也是f2(z) 在B1 中的解析延拓 ),()(21zfzf第34页/共71页35通常在两类问题中用到解析延拓一类问题是，巳知在某区域

19、中有定义的解析函数，例如用级数、积分或者其他表达式来表达的函数，用解析延拓的方法扩大其定义域和解析范围；另一类问题是，巳知数学问题的解是某区域B内(除了个别奇点外)的解析函数；例如；根据常微分方程的普遍理论，毋需实际求出解式，就可以知道，在一定条件下，方程的解是一定区域内的解析函数，第35页/共71页36但求解的方法只能给出在B的某一子区域内才有效的函数表达式，利用解析延拓的方法，可以从这个表达式推算出解在B的其他子区域中的表达式二、延拓方法：原则上讲，可通过泰勒展开进行。 例： 1)|(| ,11)(01zzzzfkk ,2112201kkiiif第36页/共71页37 ,21!21)(1n

20、ninif ,211220211kkiikif2i1C2C2/5oxy第37页/共71页38 在上面的例子中，我们用函数的幂级数表达式作解析延拓照那样做下去，将得到有不同收敛圆的许多幕级数，这些幂级数的全体代表一个解析函数F(z)每一个幂级数常称为F(z)的一个元素，在它自己的收敛圆内代表F(z)的泰勒展开。解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的证明（略） ,25212iR ,2211012nnnizizf第38页/共71页393.5 解析函数的洛朗（解析函数的洛朗（Laurent）展开）展开一、双边幂级数正幂部分有收敛半径， 引入新变量负幂部分成为有收敛半径， 其在 内部收敛，即在 的外部收敛。

21、若 级数在202010101202)()()()(zzazzaazzazza,1R,10zz 33221aaa,12R21|R20|Rzz,12RR 第39页/共71页40 内绝对且一致收敛。 称为级数的收敛环。若级数发散。二、罗朗展开定理 设f(z)在环形区域 的内部单值解析，则对环域上任一点z, f(z)可展为幂级数其中路径C 是位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。kkkzzazf)()(0Ckkdzfa10)()(i21102|RzzR102|RzzR,12RR 102|RzzR第40页/共71页41证：作沿d)(i21d)(i21)(21RRCCzfzfzf1RC01001

22、kkkzzzz,1RC2RC0z2RC1R2R1RC1RC2RCCz第41页/共71页420100000000000)()()()(1111)()(11llllllzzzzzzzzzzzzzzzzz2RC沿第42页/共71页43代入积分 第二和式换求和指标 后, 成为 d)()(21)( d)()(21)()(00)1(0010021lCllkCkkRRzfizzzfizzzf12 ,) 1(RRCCkl d)()(21)(d)()(21)(110001)1(0)1(011kCkklCllRRzfizzzfizz第43页/共71页44从而其中C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。

23、kkkzzazf)()(0CkCkkzfzfaRd)()(i21d)()(i2110101第44页/共71页451、正幂部分、正幂部分称为 Laurent 级数的正则部分，在 圆内绝对且一致收敛；2、负幂部分、负幂部分称为 Laurent 级数的主部，在 圆外绝对且一致收敛；00)(kkkzza10)(kkkzzaLaurent 级数 展开也是唯一的。因此可用各种方法求一个函数的级数展开。10|Rzz20|Rzz第45页/共71页46 关于关于 Laurent 级数展开的注意点级数展开的注意点：1、尽管上式中含有(z-z0) 的负幂次项，而这些项在z=z0 点是奇异的，但z0点可以是也可以不是

24、函数 f(z) 的奇点； 2、尽管求展开系数ak 的公式与 Taylor 展 开系数的积分公式形式一样，但 不论z0 是否 f(z)的奇点。若z0 为f(z)的奇点，则f(k)(z0) 根本不存在；若z0 不是f(z)的奇点，则f(k)(z0) 存在，但f(k)(z0) 还是不等于f(k)(z0)/k! !)(0)(kzfakk第46页/共71页47因为 成立的条件是在以C为边界的区域上f(z)解析，而现在区域上有f(z)的奇点（若无奇点就无需考虑Laurent 展开了展开了）3、如果只有环心 z0 是f(z)的奇点，则内圆半径可以无限小， z 可以无限接近z0 ,这时称（3.5.3）为f(z

25、)在他的孤立奇点z0 邻域上的Laurent 展开式。展开式。可用以研究函数在其孤立可用以研究函数在其孤立奇点附近的性质。奇点附近的性质。Ckkzfikzfd)()(2!)(100)(第47页/共71页48 例1、在 的邻域将sinz/z展开)|(| ! 7! 5! 3! 1sin753zzzzzz00z0)( 1sinlim 0)( sin)(0zzzzzzzfz)|(0 ! 7! 5! 3! 11sin642zzzzzz重新定义第48页/共71页49例2、在 的环域上将 展开解：)|(| ! 7! 5! 3! 11)(642zzzzzf|1z11)(2zzf 111 11111111)(6

26、42022222zzzzzzzzzfkkZ=0 并非f(z)奇点 第49页/共71页50 例3、在 的邻域将 展开解：其中于是10z11)(2zzf11211121) 1)(1(1)(zzzzzf 2)|1(| .21) 1(412/ ) 1(11412) 1(12111210zzzzzkkk 2)|1|(0 ) 1(2) 1(1121)(02zzzzfkkkk第50页/共71页51 例4、在 的邻域将 展开解：00z1/ze)(zf)|(| ! 2! 11e02zkzkzzzkkkz 1 1! 311! 211! 111e32/1zzzzz 0 )!(1e0/1zzkkkz第51页/共71页

27、52例5：在 求函数 的 Laurent 展开。解：利用指数函数的展开公式因此： )1(2e)(zzxzf 121!1e ;21!1e0102121nnzxllxzzxnxzl00zzxxzzf12121ee)(第52页/共71页53 121)!(121!1 121!121)!(1 121!121!1ee10000012121hlhllmnnnmlnnlzxxzzxhlxzlzxnxznmzxnxzl第53页/共71页54 2)!( !) 1( 2!)!() 1(102002hhllhhlmmnnmnzxhllzxnnm , ,nlmh)|(0 ,)( 2|)!|( !) 1() 1( 2!)

28、!() 1(102|002 zzxJzxmnnzxnnmmmmmmnnmnmmmnnmn第54页/共71页553.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类在不同类型的奇点附近，函数具有不同的性质 一、孤立奇点的定义孤立奇点的定义: 若函数 f(z) 在某点 z0 不可导。而在 z0 的任意小邻域内除z0 外处处可导，便称 z0 为 f(z) 的孤立奇点孤立奇点。若在 z0 点的无论多么小的邻域内，总可以找到除 z0 以外的不可导的点，便称 z0 为 f(z) 的非孤立奇点非孤立奇点。例一、z=0 是 函数 的孤立奇点，因为在以z=0 为圆心， R1 的圆内，除z=0 外，无其他不可导点。)1 (1)(

29、zzzf第55页/共71页56例二、z=0 是函数 sin(1/z)-1 的非孤立奇点，因为该函数的 奇点为 zn=1/n, n=0,1, 2. ,只要 n 足够大， 1/n 可以任意接近于 z=0, 即在 z=0 的无论多么小的邻域内，总可以找到函数的其它奇点。1)/1Resin(),(zyxu函数的实部第56页/共71页57二、孤立奇点的分类孤立奇点的分类:设z0 是单值函数 f(z) 的孤立奇点，则在以 z0 为圆心的一个环状邻域 0|z-z0| 内, 可以展开成 Laurent 级数：正幂部分：解析部分，负幂部分：主要部分1、若展式不含负幂项：z0为f(z)的可去奇点2、若展式含有限个

30、负幂项： z0 为f(z)的极点3、若展式含无限个负幂项： z0 为f(z)的本性奇点三、函数在孤立奇点邻域的性质三、函数在孤立奇点邻域的性质1、可去奇点,)()()(202010zzazzaazfkkkbzazf)()(第57页/共71页58 有 定义 则 为Taylor 展开2、极点0)(lim0azfzz)( )( )()(000zzazzzfzg,)()()(202010zzazzaazg, )( )()( )()()(02020101010mkkkmmmmzzazzazzaazzazzazf第58页/共71页59有 m：极点的阶，一阶极点称单极点3、本性奇点有 与 的方式有关，或称无

31、极限。,)(lim0zfzz, )()(0kkkzzazf)(lim0zfzz0zz 与不存在极限的区别第59页/共71页60例：z=0是函数 e1/z 的本性奇点，在|z| 的环域内，它的 Laurent 级数为.1! 2111e21zzz当 (1) z 沿正实轴0 时，1/z , 故 e1/z ； (2) z 沿负实轴0 时，1/z , 故 e1/z ； (3) z 沿虚轴，按i/(2n) 0 时，e1/z 1；第60页/共71页61因此：z 0 时极限不存在！ 由函数的图形,可以清楚看出: z 沿不同方向 0时, 函数的形态. (4) z 按序列 )arg2(|ln1 , 0AniAzznnn)( ,elim )arg2(|)|(ln1| 0)arg2(|ln1limlim1/2