Chapt二阶常微分方程级数解法本证值问题实用PPT课件

1、1（一）（一）Laplace 方程方程 （1）球坐标系分离变量解：代入（9.1.1）得到02 u(9.1.1) . 0sin1sinsin112222222ururrurrr. 0sinsinsindddd2222222YrRYrRrRrrrY),()(),(YrRru),()(/1YrR第1页/共67页2 i）径向方程该方程的解为：)1()(llDrCrrREuler 方程.sin11sinsin11dddd12222YYYYrRrrR.sin11sinsin11dddd12222YYYYrRrrR) 1( , 0dddd2llRrRrr后面解出第2页/共67页3 ii）单位球面上方程：可以

2、进一步分离变量：极角方向极角方向：0sin1sinsin1222YYY222dd1sinddsinddsin)()2( , 0 0sinddsinddsin2).0,1,2,3,( ,sincos)(2mmmBmA)()(Y球函数方程第3页/共67页4该方程称为连带 Legendre 方程。),()( ,cos xyx令：0sinddsinddsin12,ddsinddddddxxx,ddsindd)sin(sin1ddsinddsin12xyxy01dd1dd222yxmxyxx第4页/共67页5当 m=0 时，称为 Legendre 方程：即：注意： 因 x=cos, 而 的变化范围是 0

3、, , 所以 x 的变化范围是 -1，+1 。0dd1dd2yxyxx0dd2dd1222yxyxxyx第5页/共67页6（2）柱坐标系试分离变量解: 代入方程(1) 得到: )()()(),(zZRzu. 0dddddddd22222zZRRZRZ22222dd1ddddddzZZRR. 01122222zZuuRZ/2第6页/共67页7 对 方向有本征值问题:本征值问题的解: ).0,1,2,3,( ,sincos)(2mmBmA,dddddd2222mzZZRR2222dd1dddd11mzZZRR2222dd1dddd11zZZmRR)()2(0 第7页/共67页8分三种情况:(i)

4、方向非齐次边界条件，z方向齐次边界条件， 仅当 有满足z方向齐次边界条件的解 记0 ZZ01 22RmRR2hhhzhzZ)sin()cos(0向齐次条件zZZ0 axy第8页/共67页9 对 方向:令(ii) 方向齐次边界条件，z方向非齐次边界条件，令：0 222RmxxRRx0 222RmxxRRx0)( ,x称为 m 阶 虚宗量 Bessel 方程。称为 m 阶 Bessel 方程。, x,ddddddddxhxx,dddd22222xh0 ZZzzDCZee第9页/共67页10(iii)00 Z0 22RmRRDzCZ)0( ,)0( ,lnmFEmFERmm第10页/共67页11（二

5、）波动方程（二）波动方程022uautt),()(),(rvtTtru, 0 22TakT,ee)(or ,sincos)(i -ikatkatDCtTkatDkatCtT称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。, 022vkv第11页/共67页12（三）输运方程（三）输运方程022uaut),()(),(rvtTtru, 022vkv,e)(22-takCtT称为亥姆霍兹(Helmholtz) 方程。, 022TakT第12页/共67页13（四）（四）Helmholtz Helmholtz 方程方程（1）球坐标系分离变量解： i）单位球面上方程与上面的结果一样：0sin1sinsin112

6、2222222vkvrvrrvrrr),()(),(YrRrv0sin1sinsin1222YYY第13页/共67页14 ii）径向方程：称为球 Bessel 方程。令：上式化成 （l+1/2) 阶 Bessel 方程半奇数阶 Bessel 方程：02122222ylxdxdyxdxydx01dd2dd22222RllrkrRrrRr),(2)( ,xyxrRxkr第14页/共67页15（2）柱坐标系三维波动方程和扩散方程，经时间与空间分离变量后，空间部分满足的是 Helmholtz 方程。在柱坐标下： 令 i) 对 方向, 同样有本征值问题:022vkv(1) , 011222222vkz(

7、2) )2()(0),()()(),(zZRzv第15页/共67页16本征值问题的解: ii) 对 z 方向： iii) 对 方向:).0,1,2,3,( ,sincos)(2mmBmA0dd1dd22222RmkRR方向齐次边界条件zZZ0 nnz0第16页/共67页17进一步令 2kx方向齐次边值)(0)( 222xRmxxRRx)()()(xHxNxJmmm第17页/共67页18分 离 变 量 结 果方程球坐标柱坐标:Helm-hotz方程Laplace 方程)1()(llrrrR)()2(0 , 0) 1(dddd2RllrRrrmmsincos02 u022vkv)()2(0 mms

8、incos0 ZZ)( ,0 222xRmxxRRx齐次边值)( 0 222xRmxxRRx002zzZe ,ezsinzcosZ齐次边值0 ZZ解有界 1|01dd1dd222xyxmxyxx)()2(0 mmsincos齐次边值01dd2dd22222RllrkrRrrRr解有界 1|01dd1dd222xyxmxyxxR：)()2(0 mmsincos齐次边值0 ZZzsinzcosZ)( ,0 2222xkRmxxRRx齐次边值R：Z：:R：第18页/共67页199.2 常点邻域上的级数解法常点邻域上的级数解法标准形式：其中：p(z) 和 q(z) 为方程的系数，是已知的复变函数。初值

9、问题：求一定区域内方程的解。0)()(22wzqdzdwzpdzwd1000)( ,)(czwczw第19页/共67页20边值问题：求实轴上x1,x2 区间方程的解。（一）方程的常点和奇点方程解的性质完全由 p(z) 和 q(z) 的解析性质决定。设p(z) 和 q(z) 在一定区域中，除若干个孤立奇点外，是 z 的单值解析函数。区域中的点可分为两类：常点： 若系数 p(z) 和 q(z) 都在某点z0 及其邻域内解析，则 z0 点称 为方程的常点；奇点：若系数 p(z) 和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为 方程的奇点；,22211121cdxdwwcdxdwwxx

10、xx第20页/共67页21(二) 常点邻域上的级数解微分方程解析理论的基本定理: 如果p(z)和q(z)在圆 内是单值解析的, 则方程 在这圆内有唯一的一个解w(z)满足初值条件 是任意常数, 并且w(z)在这圆内是单值解析的.Rzz00)()(22wzqdzdwzpdzwd1000)( ,)(czwczw10 cc 和z0R第21页/共67页22 在常点 z0 的邻域 |z-z0|R内，w(z) 是解析函数，故可展开成Taylor 级数：因此只要求出 系数 ak，方程的解即求得。00)()(kkkzzazw00)()(nnnzzczq00)()(mmmzzbzp第22页/共67页230)(1

11、12000012kkkmknnknmkmkzzacamkbakk01120012kmknnknmkmkacamkbakk系数递推公式利用系数递推公式可从 开始逐一将所有系数用 表示出来。 为两个任意常数，正是两个积分常数 2a10,aa10,aa第23页/共67页24（三）Legendre 方程的级数解: 在 x=0 的邻域上求 Legendre 方程的解：因当 x=0, 有限，因此是方程的常点。02)1 (222ydxdyxdxydx注意：当 x=1, p(x), q(x) 为无限大，因此可设想 x=1是 Legendre 方程的奇点。221)( ,12)(xxqxxxp第24页/共67页2

12、5在 x=0邻域 |x-0|1内，Taylor 级数为：代入 Legendre 方程：合并后：0)(kkkxaxy0) 1() 1)(2(02kkkkxakkakk02) 1() 1(00002kkkkkkkkkkkkxakxaxkkaxkka第25页/共67页26因此系数的递推关系为因此 Legendre 方程的通解可表示为： )()()(1100 xyaxyaxy ,! 4)32(3432,1202402aaaaa ,! 5)43)(21 (4543,232113513aaaaa, 2 , 1 , 0 ,) 1)(2() 1(2kakkkkakk, 2 , 1 , 0 ,)!2 (1222

13、)32 (02kakkkak, 2 , 1 , 0 ,)!12(122)12(112kakkkak第26页/共67页27级数的收敛半径：因为x=1是 离x=0 最近的奇点，因此级数的收敛半径 R=1。问题：在 x=1（即方向角为=0 和 =，亦即x-y 平面上）端点，级数的收敛性如何？yOxy(,)1) 1() 1)(2(limlim2kkkkaaRkkkk第27页/共67页28事实上:注意到:y0(x) 和 y1(x) 在x=1是发散的级数（见附录四），而且不存在在x=1二点都收敛的无限级数 满足Legendre 方程 是分离变量过程中出现的任意常数，当 而 l 取某些数值时，无穷级数可退化

14、成多项式！),1( ll第28页/共67页29事实上, 由 多项式经适当处理称 Legendre多项式l=2n,（n=0,1,2）, y0(x) 最高幂次为x2n; 从x2n+2 项起，系数为零；无限级数退化成最高幂次为x2n的多项式，从而，在x=1 有限。而此时 另一个解 y1(x) 仍然是无限级数并且在x=1 发散。l=2n+1, (n=0,1,2) , y1(x) 最高幂次为x2n+1; 从x2n+3项起，系数为零；无限级数退化成最高幂次为x2n+1的多项式，从而，在x=1 有限。而此时 另一个解 y0(x)仍然是无限级数并且在x=1 发散。, 2 , 1 , 0 ,) 1)(2() 1

15、() 1(2kakkllkkakk第29页/共67页30 “自然边界”条件:(1)二阶方程的另一个特解, 可用其它方法得到(2)如果问题不包含=0 和 =，这一特解应该包括。如果要求物理问题在 =0 和 = 有限，那么分离变量过程出现的常数 l 只能取零 和正整数。“解在x=1 保持有限”这一条件使 l 只能取零 和正整数。Legendre 方程“自然边界”条件本征值问题第30页/共67页319.3 正则奇点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法（一）奇点邻域上的级数解: 系数 p(z) 和 q(z)中 只要有一个在 z0 点不解析，则 z0 点称为方程的奇点。方程的奇点则可能同时也是解的奇

16、点. 因此，在 z0 点邻域的级数解应该是 Laurent 展开。1)3(9 , 0)()(22wzqdzdwzpdzwd第31页/共67页32 kkkskkkskkkszzbzzzzzAwzwzzbzzzwzzazzzw)()()ln()()( )()()( ,)()()(00012002001221或：定理 1 若点z0 为方程（9.3.1）的奇点，则在p(z)和q(z)都 解析的环形区域0|z- z0 |R内, 这方程的两个线性无关解是其中 是常数. ), 2, 1, 0( ,21kbaAsskk第32页/共67页33一般情况下, 级数的系数是无限联立的代数方程，得不到系数的递推公式；但

17、在一定的条件下，方程的二个线性独立解的级数中没有负幂项，这样的解称为正则解。在这种情况下,可得到系数递推公式.定理定理 2：方程(9.3.1)在他的奇点 z0 的邻域0|z- z0 |1, 或n2, 则第二项或第三项为最低次幂项,)(,)( ,)(000lnlnlnllllmlmlmlllkkskzqzqzqzpzpzpzazw,) 1(012azqzspzssnnmm第35页/共67页36令其系数为零, 只能有若 则最低次幂项为第一项，或加上第二、第三项。令其系数为零。（当m=1, n=2） 判定方程)0(0a00 0 nmnmqspqsp或，或，, 2 and 1nm, 0) 1(21qs

18、pss第36页/共67页37 （三）Bessel 方程的级数解在 x=0 的邻域上求 阶 Bessel 方程的解注意： 是任意实数。 x=0 是 p(x) 的一阶极点，q(x)的二阶极点。因此 x=0 是Bessel 方程的正则奇点。(1) , 0)(22222yxdxdyxdxydx221)( ,1)(xxqxxp第37页/共67页38级数形式解：代入方程（1），得到即00)(kkskkkksxaxaxxy, 0)() 1)(002200kkkkkkkkkkkkxaxaxksaxksksa, 0)(22022kkkkkkxaxaks2kk第38页/共67页39x0 的系数方程判定方程：（I）

19、 i) 求 正整数及零221ss022s21 ss和0) 1(122a,)( ,)(0201kkkkkkxbxxyxaxxy),(1xy)(1 ss, 0)(22022kkkkkkxaxaks项：1x0 , 0121a第39页/共67页40 递推公式由于 故级数所有奇数项系数为零：), 3 , 2( ,)2 ()(2222kkkakaakkk02222)() 2)(1( !21) 1()22(21akkakkakkkk , 01a, 012ka ,) 1(2) 22 ( 22002aaa ,) 2)(1(2! 2) 1(4024aa项：kx0)(222kkaak第40页/共67页41得到一个无

20、穷级数解令任意常数阶 Bessel 函数后面将详细讨论 Bessel 函数的特性。 ) 1(210akkkxkkx202) 1(!1) 1()(Jkkkxkkxaxy20012)()2)(1( !) 1()(第41页/共67页42收敛半径收敛 )( ,0 , 0)0( and ,)(2limlim121xyxykkaaRnnnn第42页/共67页43ii) 求 ( s=s2= -) 只要在 中 -得到另一个无限级数解 -阶 Bessel 函数kkkxkkxy2022) 1(!1) 1()()(2xy)(1xy第43页/共67页44收敛半径： 的收敛范围：应用中，用 和 的 线性组合构成 Bes

21、sel 方程第二个特解：sin)(J)(Jcos)(Nxxx ,0 x一般解：JJ21ccy 阶 Neumann 函数。一般解：NJ21ccy)(Jx)(xJ)(xJ第44页/共67页45（II） i） 2 =2m, 即 =m, (m=1,2,3,.)第一个解仍然是 Jm(x)。对第二个解： a)若用 自k=2m起失效! 整数221ss)2,3,( ,)2()2 (22kkmkbkkbbkkk第45页/共67页46除非, 022mb当, 022mb递推公式成为, 002mb此时mb2可为任意常数，继续可用递推公式算出后面的系数，将解写作：)()(202xvbxubym由于v(x)之递推公式同

22、最多相差一常数因子，即：,1y, 3 , 2 ,)2(222kkmkbbkmkm此时令 得 , 02mb)(02xuby 第46页/共67页47,) 1( , 01 ,kmkmmk),()1(2)!( !1)1()1()(, ,2)1(!1)1()(20222xJxmkkxymkkxkmkxymmkmkkmkmmkkkmkkxkmkxy2022)1(!1)1()(b) 若在 Jm(x)中m -m第47页/共67页48亦取sin)(cos)()(limxJxJxNNmm01012ln)(ln)()(kkmkkkkmxbxxAyxbxxxAyzy),()(2xNxym用结果m 阶 Neumann

23、函数第48页/共67页49,21211)!( !) 1(1 21211)!( !) 1(1 2!)!1(1)(2ln2)(122102mnnmmnmnnmmnmnnmmxmnmnnxnmnnxnnmxJCxxN第49页/共67页50ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.) = l+1/2, 半奇数： l=0 , 02122222yxdxdyxdxydx)(211xJy , 1 ,21 ,212121sssskkkxkkxJ221021223!1) 1()(第50页/共67页51,sin2)!12() 1(21351212 24)22(2) 1(2211351212!1) 1(2212

24、112121!1) 1(223!1) 1()(J1201202212102210221021xxxkxxkkkkxxkkkxkkkxkkxkkkkkkkkkkkkkkkk第51页/共67页52021102/112ln)(ln)()(kkkkkkxbxxAyxbxxxAyzyxxxkxxkkkcos2)!2(1) 1(2)(J2021但 A=0第52页/共67页53一般, 常数 A=0, 因此线性独立解为：半奇数 阶 Bessel 函数可用初等函数表示：klkklklkklxlkkxxlkkx2021)(2021212121212)1(!1) 1()(J2)1(!1) 1()(J第53页/共67

25、页54可以证明公式： xxxxxxJxxxxxxJllllllllcosdd2) 1()(sindd2) 1()(2/1)2/1(2/12/1iii) 2 =2m=0, ),()( ),()(0201xNxyxJxy第54页/共67页55小结:(I) 0)(22222yxdxdyxdxydx)(221含零整数ss ),(or )()( ),()(21xNxJxyxJxy第55页/共67页56(II) i） 2 =2m (m=1,2,3,.) ii) 2 =2l+1 (l=0,1,2,3,.) iii) 2 =2m=0,整数221ss ),()( ),()(21xNxyxJxymm, )(or

26、)()( ),()()21()21(2)21(1xNxJxyxJxylll ),()( ),()(0201xNxyxJxy第56页/共67页579.4 施图姆施图姆-刘维尔刘维尔(Sturm-Livouville) 本征值问题本征值问题 -Sturm-Livouville 本征问题本征问题)( , 0)()()(11122bxayxyxqdxdyxpdxyd边界条件0)()()(yxyxqdxdyxkdxd,d)(exp)(1xxpxk以乘上式得:-Sturm-Livouville 方程方程第57页/共67页58 Legendre 方程的本征值问题 本征函数： 本征值：2ln,e ,sin)(

27、ilxnCxlnCxy或0) y(, 0y(0)0y const.)( , 0)( .const)(;, 0lyxxqxklba解有限解有限 00sinddsinddor ,1|0dd1dd,sin)( , 0)( ,sin)(;, 0 , 1)( , 0)( ,1)(; 1, 122xyxyxxxxqkbaorxxqxxkba第58页/共67页59 Bessel 方程的本征值问题作变换 方程成为标准Bessel 方程第一、二、三类边界处有限自然边界条件处 ;)0( : 0002yyymddydd,)( ,/)( ,)( ;, 020mxqkba，x第59页/共67页60 i) 若k(x)0, q(x)0, , , 0)(bax )(0)()()(Myyyxyxqdxdyxkdxd正则斯刘本征问题ii) 如果端点 x=a and/or x=b是 k(x) 的零点, 则 x=a and/or x=b 是方程 的奇点，在 x=a and/or x=b 处一定存在自然边界条件！自然边界条件0)()()(yxyxqdxdyxkdxd奇异斯刘本征问题)()(0)()()(byayyxyxqdxdyxkdxdiii)周期斯刘本征