chapter方向导数与梯实用PPT课件

1、 .方向导数方向导数一一 .梯度梯度二二第1页/共17页 .方向导数方向导数一一1. 方向导数定义引入为为起起点点以以射射线线设设有有),(),(yxPlyxfz oxyP(x,y)P1l),(),(1yyxxPyxPl ),(),(yyxxfyxf ),(),(yxfyyxxfz 则则 221)()(|yxPP 第2页/共17页.),(),(lim0 yxfyyxxflf 记为记为. ),( ,),(),(limlim 00的方向导数的方向导数点沿着方向点沿着方向在在则称此极限值为则称此极限值为存在存在若若lPyxfyxfyyxxfz 定义.轴的方向导数轴的方向导数沿沿是是显然显然yxyxf

2、ffyx,),(,|),(),(lim:0|xyxfyxxflfxx 轴轴平行平行|),(),(lim:0|yyxfyyxflfyy 轴轴平行平行.,;,yxyxffffyx 负向时为负向时为轴正向时为轴正向时为沿沿第3页/共17页 . 2的存在定理的存在定理lf ,),(),(可微可微在在若若yxPyxfz 则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在，且,coscos yxfflf . cos,cos的方向余弦的方向余弦为方向为方向其中其中l Proof. ,),(可微可微yxfz ),( oyfxfzyx ,)( oyfxfzyx oxyPP1 x y 第4页/共17页,)(coscos

3、offzyx ,)(coscoslimlim00 offzyx .coscos yxfflf ,2 由于由于.sincos yxfflf 从而有从而有.轴正向的夹角轴正向的夹角与与为方向为方向其中其中xl 第5页/共17页3. 推广 ),(),(的方向导数为的方向导数为沿方向沿方向它在它在对于对于lzyxPzyxfu ulflu0lim ),(),(lim0zyxfzzyyxxf 其中其中222)()()(zyx , 的方向角为的方向角为设方向设方向l,cos x,cos y,cos z.coscoscos zfyfxflf 且且第6页/共17页. )32 , 2()2 , 1()2 , 1(

4、. 122的方向的方向导数的方向的方向导数到到处沿从处沿从在点在点求求 yxzexSolution., 2|2)2 , 1(1 xxxz4|2)2 , 1(2 yyyz3, 1 l方向方向,21311cos 23313cos . 321cos)2 , 1(cos)2 , 1()2, 1( yxzzlz第7页/共17页1)2,2()(1. 222222222 byaxbabyaxzex处沿曲线处沿曲线在点在点求求在这点的内法线方向的方向导数.Solution.如图所示yo xyxabybyax222222tan1 的的切切线线倾倾角角满满足足 )2( tan)2,2( abba处处在在 第8页/

5、共17页 23)(2 又又 ,sincos22bab 22cossinbaa ,22axxz 而而22byyz ,2)2,2(axzba byzba2)2,2( . )(21sincos22)2,2(baabyzxzlfba 第9页/共17页,),()0 , 0(. 3 的转角为的转角为轴到轴到的向径为的向径为到到设由设由rxryxex.|,22yxrrlrlx 其中其中求求的转角为的转角为轴到射线轴到射线 Solution.如图所示O(0,0)(x,y)l xr cos2222 rxyxxxr sin ryyr )cos(sinsincoscos lr. 0,2; 1, lrlr时时当当时时

6、且当且当 第10页/共17页 .梯度梯度二二定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都可定出一个向量都可定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf . 则有则有对于对于),(zyxfu .),(kzfjyfixfzyxgradf 第11页/共17页方向导数与梯度的关系 sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,),(cos| ),(|eyxg

7、radfyxgradf (1) 方向导数为梯度在方向 l 上的投影;(2) 沿梯度方向的方向导数最大, 且等于; ),(yxgradf;),()3(22 yfxfyxgradf.tan,)4(xyffx 则则轴到梯度的转角为轴到梯度的转角为梯度方向第12页/共17页cos,cos)1 , 1(. 422 lyxyxuex处处沿沿在在求求函函数数的方向的方向导数，问哪个方向变化率最大？哪个方向为0？并用梯度验证.Solution., 1)2()1 , 1()1 , 1( yxxu 1)2()1 , 1()1 , 1( yxyu 2 coscos)1 , 1( 此时此时lu)4cos(2)1 , 1( lu从而从而第13页/共17页,2,4(max) lu时时显显然然当当 ,0,24 lu时时当当 , jigradu 而而. 2|4 gradu且且即即 第14页/共17页思考题 讨论函数讨论函数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点处点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？的偏导数是否存在？方向导数是否存在？ Solution.xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故故两两个个偏偏导导数数均均不不存存在在.第15页/共17页沿沿任任意意方方向向,yxl 的的方方向向导导数