ch闭区间上连续函数的性质PPT课件

1、1. 1. 定理定理21(21(最值定理最值定理) ) 在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值. .ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,)(2121xffxffbaxbabaCxf 有有使得使得则则若若注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.第1页/共18页例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 第2页/共18页推论推论( (

2、有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界. .证证,)(上连续上连续在在设函数设函数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上有界上有界在在函数函数baxf第3页/共18页定义定义: :.)(, 0)(000的零点的零点称为函数称为函数则则使使如果如果xfxxfx 2.介值定理与零点定理介值定理与零点定理定理定理 2222( (介值定理介值定理) ) 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba, 上连续，且在这区间上的最大值为上连续，且在这区间上的最大值为M, ,最最小小值为值为m，

3、 则对介于， 则对介于m与与M之间的任何值之间的任何值 ， 至少存在一， 至少存在一点点 ba, ，使得，使得 )(f. . 第4页/共18页几何解释几何解释:MBAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(至少有一个交点至少有一个交点直线直线与水平与水平连续曲线弧连续曲线弧 yxfy 推论推论:在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .第5页/共18页.),(0)(内至少存在一个实根内至少存在一个实根在在即方程即方程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两

4、个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 第6页/共18页例例1515.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根内内在区间在区间证明方程证明方程 xx证证, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上连续上连续在在则则xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零点定理由零点定理,(0,1), 使使, 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx第7页/共18页8( )0,4,f x 在闭区间上连续练习：练习： 13xex至少有一个不超过 4 的 证证：证明令3( )1xf xxe且(0)f31e(4)f4 341e03

5、0e根据零点定理 ,(0,4),( )0,f使原命题得证 .(0, 4)内至少存在一点在开区间显然正根 .310 xxe 第8页/共18页例例1616.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得证明证明且且上连续上连续在区间在区间设函数设函数证证,)()(xxfxF 令令,)(上连续上连续在在则则baxFaafaF )()(而而, 0 由零点定理由零点定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即第9页/共18页例例1717证证),()()(axfxfxF 令令, 0)(上上连连续续在在则则axF)()0()0(affF 而而 0)2

6、()()(FafafaF ).()(, 0),2()0(,2 , 0)(affaaffaxf 使使得得证证明明且且上上连连续续在在区区间间设设函函数数若若 00 F即即)()0(aff 则则a或或0 第10页/共18页, 0)()()( affF 使使), 0(a 由零点定理由零点定理,若若 00 F则则0)()0( aFF综合以上所述可得，综合以上所述可得， a, 0 存在存在使得使得)()(aff 第11页/共18页3 3、用二分法求方程的近似解区间区间即是这个根的一个隔离即是这个根的一个隔离，于是，于是内仅有一个实根内仅有一个实根在在且方程且方程，上连续，上连续，在区间在区间设设,),(

7、)(0)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那末，那末如果如果110)( f作法：作法：).(2,11 fbaba，计算，计算的中点的中点取取 第12页/共18页,)()(1111bbaaff 同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(211111ababba 及及也有也有 总之，总之，);(211111ababba 且且时，可求得时，可求得当当 第13页/共18页);(21)(21,2222211211ababbababa 且且时，可求

8、得时，可求得当当复上述做法，复上述做法，作为新的隔离区间，重作为新的隔离区间，重以以).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重复如此重复 小于小于的近似值，那末其误差的近似值，那末其误差作为作为或或如果以如果以)(21abbannn 第14页/共18页例例18.10,04 . 19 . 01 . 1323 使误差不超过使误差不超过的实根的近似值的实根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(内连续内连续在在显然显然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),(

9、)(内单调增加内单调增加在在故故xf如图如图至多有一个实根至多有一个实根0)( xf第15页/共18页, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(内有唯一的实根内有唯一的实根在在 xf.1 , 0, 1, 0即是一个隔离区间即是一个隔离区间取取 ba计算得计算得:; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 第16页/共18页;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999 baf故故 .