微分几何-曲线论

1、习题课1.1.主要内容回顾主要内容回顾2.2. 课后习题选讲课后习题选讲二、课后习题选讲二、课后习题选讲1 . 268习题习题P. 1解解：)(0常数常数曲线为曲线为 vvu,sin,cos000bvvuvur 0 ,sin,cos, 0 , 0000vvubv 轴轴垂垂直直相相交交的的直直线线它它是是与与z)., 0 , 0(0bv过过点点)(0常数常数曲线为曲线为 uuv,sin,cos00bvvuvur 轴轴；时时，它它表表示示当当zu00 .00时，它表示圆柱螺线时，它表示圆柱螺线当当 u. 2解解：坐标曲线为坐标曲线为 u2),(),(000uvvubvuar 2 ,0 ,000vb

2、aubvav 坐标曲线为坐标曲线为 v2),(),(000vuvubvuar 2 ,0 ,000ubavbuau 显然它们都是直线族，显然它们都是直线族，.它它们们都都在在双双曲曲抛抛物物面面上上属属于于两两直直母母线线族族之之一一，双双曲曲抛抛物物面面上上的的直直线线必必.直母线直母线它的坐标曲线就是它的它的坐标曲线就是它的解：解：,sin,sincos,coscos aaar 为为：在在任任一一点点的的切切平平面面方方程程, 0cossinsincossin0coscossincossinsincoscoscos aaaaaazayax. 0sin)sin(cos)cos(cos azyx

3、 即即. 3,0 ,coscos,sincos aar ,cos,sinsin,cossin aaar 法法线线方方程程为为：,sinsincossincoscossincossincossincossincos0sincoscossinsin0coscoscoscos aaaaazaaaayaaaax .sinsinsincossincoscoscoscoscos azayax 即即解：解：. 4：椭椭圆圆柱柱面面的的参参数数表表示示为为,sin,costbar ,0 ,cos,sin bar ,1 , 0 , 0 tr为为：在在任任一一点点的的切切平平面面方方程程, 01000cossin

4、sincos batzayax. 0)sin()cos( abyaxb 即即, 固固定定由由于于沿沿每每一一条条直直母母线线 有有关关，而而切切平平面面方方程程只只与与 .平平面面只只有有一一个个故故沿沿同同一一条条直直母母线线的的切切. 5解解：,3uvavur 切切平平面面方方程程为为：, 0100123233 uvavuauvazvyux. 0332323 uvazyuvaxvua即即, 0 , 123vuaru , 1 , 023uvarv ,3,3 ,33uvavu分分别别为为它它在在三三坐坐标标轴轴上上的的截截距距四四面面体体的的体体积积为为：uvavuV33332131 .293

5、常常数数 a812.2P习习题题3.解解：0,-0(0,0),uvu vP 两两曲曲线线的的交交点点为为(0,0)P在在点点处处, ,2(0,0)1,0,(0,0),EFGa 0,-0(0,0)uvu vP 两两曲曲线线在在点点处处的的切切方方向向分分别别为为：:1:( 1),:1:1,du dvuv (0,0)2222()cos22Edu uF du vdv uGdv vEduFdudvGdvE uF u vG v 2222222du ua dv vdua dvuav 22(1)(1)a du uaduu 2211aa 两两曲曲线线的的交交角角为为：222211arccosarccos.11

6、aaaa 或或8.证证：,duv 设设分分别别表表示示曲曲线线, ,曲曲线线及及其其二二等等分分角角轨轨线线的的切切方方向向，0,0;uuv 沿沿曲曲线线, ,0,0;vuv 沿沿曲曲线线, ,由由交交角角公公式式得得：222222+=22Edu u Fdv uFdvu GdvvEduFdudv GdvE uEduFdudv GdvG v 2222()(+)=Edu u Fdv uFdvu GdvvE uG v 即即2222()=G()E EG F duEG F dv 化化简简得得20,EG F 22=EduGdv二二等等分分角角轨轨线线的的微微分分方方程程是是9.解解：uv三三曲曲线线在在平

7、平面面上上围围成成的的图图形形如如图图所所示示：ouav uav 1v 三三曲曲线线相相交交所所成成的的图图形形面面积积为为：2=DEGF dudv 22=Dua dudv 1Dvu122=2Dua dudv 12200=2avdvua du 222=ln(12).3a 3 . 2113习题习题P. 1解解：,1 ,sinsinh,cossinhvuvuru ,0 ,coscosh,sincoshvuvurv ,0 ,sincosh,coscoshvuvuruu ,0 ,cossinh,sinsinhvuvuruv ,0 ,sincosh,coscoshvuvurvv 所所以以有有2urE 1

8、sinh2 uu2cosh vurrF , 0 2vrG u2cosh 又因为又因为vuvurrrrn ,sinh,sin,coscosh1uvv 所所以以nrLuu 11sinhcosh2 uu, 0 nrMuv. 1 nrNvv. 2解解：下向量形式：下向量形式：抛物面的方程可表为如抛物面的方程可表为如,225,22212121xxxxxxr 所所以以,25 , 0 , 1211xxrx ,22 , 1 , 0212xxrx ,5 , 0 , 011 xxr,2 , 0 , 021 xxr,2 , 0 , 022 xxr在原点处有：在原点处有：,0 , 0 , 1)0,0(1 xr,0 ,

9、 1 , 0)0,0(2 xr,5 , 0 , 0)0,0(11 xxr,2 , 0 , 0)0,0(21 xxr,2 , 0 , 0)0,0(22 xxr从而有从而有，1 E，0 F；1 G，5 L，2 M. 2 N基基本本形形式式为为：在在原原点点处处抛抛物物面面的的第第一一2221dxdxI 第第二二基基本本形形式式为为：.245222121dxdxdxdxII 5.解：解：( )( )SC 设设平平面面 与与球球面面的的交交线线为为，OdC12( )1,Cd 则则的的半半径径为为21( )1Ckd 的的曲曲率率为为； n 2( )cos1Cnd 曲曲线线的的主主法法向向量量 与与球球面

10、面的的法法向向量量 的的夹夹角角的的余余弦弦， 由由梅梅尼尼埃埃定定理理：( )C 的的法法曲曲率率cosnkk 22111.1dd 12.解：解：,zpayx ,zqaxy 220,zrx 2,zsax y 220,zty 22211,Epa y 2,Fpqa xy 22211,Gqa x220,1rLpq 222222,11saMpqa xa y 220,1tNpq 曲曲率率线线的的微微分分方方程程为为：22222222222110,001dydxdydxa ya xya xaa xa y 222222(1)(1),a ydxa xdy 即即222211,a y dxa x dy 分分离离

11、变变量量得得：2222,11dxdya xa y 两两边边积积分分得得：2222ln(1)ln(1).axa xaya yC ()C其其中中 是是任任意意常常数数15.证证：( )LS设设曲曲线线 是是曲曲面面上上的的曲曲率率线线，由由已已知知，( )( ).sn s 常常数数两两边边微微分分得得：0.nn L曲曲线线 是是曲曲率率线线， 由由罗罗德德里里格格定定理理，ndnk dr ，nnk ，由由伏伏雷雷内内公公式式，=, ( ) ( ) 代代入入式式得得：()0.nnk ()0.n 即即0 若若，.L则则曲曲线线 为为平平面面曲曲线线0n 若若，0.nn 两两边边再再微微分分得得：由由伏

12、伏雷雷内内公公式式，()()0.nknk ()0.n 即即0.n 但但(/ / ,)n 否否则则这这是是不不可可能能的的0 ，.L总总之之，曲曲线线 为为平平面面曲曲线线19.证证：沿沿渐渐近近曲曲线线有有：2212cossin0,nkkk 12(,)urk k 其其中中 是是渐渐近近曲曲线线的的切切方方向向与与 的的夹夹角角是是主主曲曲率率212tan,kk 111222tan,tan,kkarcarckk 12()ur 其其中中, ,是是两两条条渐渐近近曲曲线线的的切切方方向向与与 的的夹夹角角两两族族渐渐近近曲曲线线交交于于固固定定角角，11222tan.karck 常常数数12=.kk

13、常常数数22.证证：由由已已知知，120,2kkH 120kk 120.kk 或或120kk 若若，则则沿沿任任意意方方向向有有：2212cossin0,nkkk :du dv即即对对任任意意方方向向，222220,2nLduMdudvNdvkEduFdudvGdv 0,LMN.即即曲曲面面上上的的点点为为平平点点120kk 若若，120,Kk k 则则20,LNM即即.曲曲面面上上的的点点为为双双曲曲点点23.证证：如如果果曲曲面面的的平平均均曲曲率率为为零零，由由上上题题的的结结论论可可知知，.曲曲面面上上的的点点为为平平点点或或双双曲曲点点若若曲曲面面上上的的点点均均为为平平点点，则则任

14、任意意方方向向为为渐渐近近方方向向，任任意意曲曲线线为为渐渐近近曲曲线线，.必必存存在在正正交交的的渐渐近近曲曲线线网网若若曲曲面面上上的的点点均均为为双双曲曲点点，.则则曲曲面面上上存存在在渐渐近近曲曲线线网网沿沿渐渐近近曲曲线线有有：2212cossin0,nkkk 212tan1.kk 由由上上题题的的结结论论可可知知，.44 即即或或2 即即两两渐渐近近曲曲线线的的夹夹角角为为，.渐渐近近曲曲线线网网构构成成正正交交网网24.解解：经经计计算算，22=,0,(cos ) ;E aFGba = ,0,cos (cos );L a MNba 2cos (cos ),LNMaba 0,ba

15、cos0,ba 2cosLNM 故故的的符符号号与与的的符符号号一一致致. .30222 当当和和时时，20LNM ，圆圆环环面面上上的的点点为为椭椭圆圆点点，即即圆圆环环面面外外侧侧的的点点为为椭椭圆圆点点；322 当当时时，20LNM ，圆圆环环面面上上的的点点为为双双曲曲点点，即即圆圆环环面面内内侧侧的的点点为为双双曲曲点点；322 当当或或时时，20LNM ， 圆圆环环面面上上的的点点为为抛抛物物点点，即即圆圆环环面面上上、下下两两个个纬纬圆圆上上的的点点为为抛抛物物点点. .25.证证：旋旋转转曲曲面面的的第第一一基基本本形形式式为为222222( )().gfIg tdtdg 22

16、,.gfudt vg 作作参参数数变变换换：在在新新参参数数下下，旋旋转转曲曲面面的的第第一一基基本本形形式式变变为为222 ( )().Ig t ududv 旋旋转转曲曲面面上上存存在在等等温温网网. .26.证证：1212,n nS S 设设, ,分分别别是是曲曲面面的的法法向向量量，1212,( )S SCnn 曲曲面面沿沿曲曲线线成成固固定定角角= =常常数数. .12()0.d n n 21210.ndnndn1( )CS曲曲线线是是曲曲面面 的的曲曲率率线线，1/ /,dndr 120.dnn 即即2( )CS曲曲线线是是曲曲面面 的的曲曲率率线线210dnn 即即21210.nd

17、nndn12()0.d n n 12nn = =常常数数. .12,( )S SC曲曲面面沿沿曲曲线线成成固固定定角角. .2/ /dndr 27.证证：沿沿渐渐近近曲曲线线有有证证：cos0,nkk ( )SP曲曲面面在在双双曲曲点点 处处的的两两条条渐渐近近曲曲线线不不是是直直线线，0,k cos0, 故故,n 即即=.n =.dnd 从从而而0,II 又又沿沿渐渐近近曲曲线线有有22=dndIII 2HIIKIKI 22.dKds 即即2.dKds 22.K .KK 或或1702.6P习习题题2.证证：222,0,cos.EaFGau 易易求求出出：1ln1lnGcossin22gdEkdsvuGE 221ln(cos)sin2daudsau 2221 2cos sinsin2cosdauudsaau sinsincosdudsau sinsin=,cosdvdsauG 而而sin.gdudvkdsds 故故OaCR n 3.解解：sin ,gkk 1,ka 而而22sin =,RaR 22.gRakaR 5.证证：( )( )( ),SCrr s 设设曲曲面面上上的的曲曲率率线线的的方方程程为为( )( ),Cnn s 则则它它的的球球面面像像的的方方程程为为( )