二次函数与三角形专题训练

1、实用文案二次函数与三角形专题训练1. （2012?遵义）如图，已知抛物线 y=ax. （2012 ?资阳）抛物线y=-lK2+rn的顶点在直线y=x+3上，过点F （- 2 , 2）的直线 交该抛物线于点 M、N两点（点 M在点N的左边），MA丄x轴于点A , NB丄x轴于点B.（1 ）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点 N的纵坐标，并说明 NF=NB ; . （2012 ?湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形标轴上.O为原点，点A的坐标为（6 , 0）,点B的坐标为OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，

2、同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每+bx+c （a丸）的图象经过原点 O,交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3 ,-.；）.（1 ）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2 ）在抛物线上求点 P,使Szpoa=2S ZAOB；（3）在抛物线上是否存在点 0,使厶AQO与AAOB相似？如果存在，请求出 Q点的坐标;标准（3）若射线 NM 交x轴于点P,且PA?PB=100求占M的坐标.AOB的顶点A、B分别落在坐（0,8）.动点M从点O出发.沿秒卫个单位的速度运动.当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、gN运动的时间为t秒(t 0).(1 )当t=3秒时直接写出点 N的坐标

3、，并求出经过 0、A、N三点的抛物线的解析式；(2 )在此运动的过程中， MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3 )当t为何值时， MNA是一个等腰三角形？4 .(2012?云南)如图，在平面直角坐标系中，直线y= .x+2交x轴于点P,交y轴于点A .抛物线y= -*x2+bx+c的图象过点E (- 1 , 0),并与直线相交于 A、B两点.(1 )求抛物线的解析式(关系式)；(2 )过点A作AC丄AB交x轴于点C,求点C的坐标；(3 )除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得 MAB是直角三角形？若存在，请求出5. (2012?义乌市)如图1，已知直线y

4、=kx与抛物线y=善/再交于点A ( 3, 6).(1 )求直线y=kx的解析式和线段 OA的长度；(2 )点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M (点M、O不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N .试探究：线段 QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；(3 )如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)， 点D (m , 0 )是x轴正半轴上的动点，且满足/ BAE= /BED= ZAOD .继续探究：m在什么范围时，符合条件的 E点的个数分别是1个、2个?(3 )在直线I

5、上是否存在点M，使AMAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件7 . (2012?陕西)如果一条抛物线 y=ax2+bx+c (a丸)与x轴有两个交点，那么以该抛物 线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”(1 ) “抛物线三角形” 一定是 三角形；(2 )若抛物线y= - x2+bx (b 0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3)如图， OAB是抛物线y= - x2+b x ( b )的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O为对称中心的矩形 ABCD ?若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在,-4）的抛物线 y=x2+bx+c与x

6、轴相交于B (- 2 ,0) , C两点，O为坐标原点.(1)求抛物线的解析式；(2 )将抛物线y= x2+bx+c向上平移一个单位长度，再向左平移m (m 0)个单位长度22得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在ABC内，求m的取值范围；(3)设点 M在y轴上，/ OMB+ /OAB= ZACB，求AM 的长.9 . (2012 ?临沂)如图，点 A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120。至OB的位置.(1 )求点B的坐标;(2 )求经过点A、O、B的抛物线的解析式；(3 )在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三10 . （2012?凉山州）如

7、图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4与x轴、y轴分别交于A、 B两点，抛物线y= - x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点 C （点C点A的右侧）， 点 P 是抛物线上一动点（1 ）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2 ）若点P在第二象限内，过点 P作PD丄轴于D，交AB于点E.当点P运动到什么位 置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线I与抛物线交于点 Q，与直线AB交于点N，点M为OA的 中点，那么是否存在这样的直线 I，使得MON是等腰三角形？若存在，请求出点 Q的坐 标；若不存在，请说明理由.11 . （2012 ?乐山）如图，在平面直角坐标

8、系中，点A的坐标为（m , m ），点B的坐标为（n，- n ）,抛物线经过 A、O、B三点，连接 OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C.已 知实数m、n （m v n）分别是方程x2 - 2x - 3=0的两根.（1 ）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、 B 重合），直线 PC 与抛物线交于 D、 E 两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD 、 BD . 当 OPC为等腰三角形时，求点 P的坐标； 求 BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.12 . （2012?嘉兴）在平面直角坐标系 xOy中，点P是抛物线：y=x 2上的动点（点在第一 象限

9、内）连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点 Q .连接PQ，交y轴于点M 作 PA丄x轴于点A , QB丄x轴于点B .设点P的横坐标为 m .（1 ）如图1，当m= 一 丫时， 求线段OP的长和tan /POM的值； 在y轴上找一点。，使厶OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点 C的坐标；（2 ）如图2，连接AM、BM，分别与 OP、OQ相交于点D、E. 用含m的代数式表示点Q的坐标； 求证：四边形 ODME是矩形.0V1IB 01主3 O图一Ai)13 . （2012 ?吉林）问题情境如图，在x轴上有两点A ( m , 0), B ( n , 0 ) ( n m 0 ).分别过点A，点

10、B作x轴的垂 线，交抛物线y=x 2于点C、点D.直线OC交直线BD于点E,直线OD交直线AC于点F， 点E、点F的纵坐标分别记为 yE, yF.特例探究填空：当 m=1 , n=2 时，yE=_ ,yF=_ ；当 m=3 , n=5 时，yE=_ ,yF=_ .归纳证明对任意m , n (n m 0),猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想.拓展应用(1)若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax 2 ( a0) ”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系；(2 )连接EF, AE .当S四边形ofea=3S zofe时，直接写出 m与n的关系及四边形 OFEA 的形状.(x - m

11、 ) ( m 0 )与 x 轴14 . (2012 ?黄冈)如图，已知抛物线的方程Cl:相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.(1 )若抛物线Ci过点M ( 2, 2),求实数m的值;(2 )在(1 )的条件下，求 BCE的面积；(3 )在(1)条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点 H的坐标；(4 )在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与 BCE 相似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由.15 . (2012 ?呼和浩特)如图，抛物线 y=ax 2+bx+c (av 0)与双曲线 尸上相交于点A , B,x且抛

12、物线经过坐标原点，点 A的坐标为(-2 , 2)，点B在第四象限内，过点 B作直线BC/x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点 B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为 E.(1 )求双曲线和抛物线的解析式；(2 )计算AABC与ABE的面积；(3 )在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于 ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.10F.clk 16. （2012?衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点 O,矩形ABCD的顶点A , D 在抛物线上，且 AD平行x轴，交y轴于点F, AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2， 1）

13、，点P（ a，b）在抛物线上运动.（点P异于点O）（1 ）求此抛物线的解析式.（2 ）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点 R, 求证：PF=PR ; 是否存在点P,使得APFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 延长PF交抛物线于另一点 Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为 S,试判断 RSF的 形状.iCBa厂Y/b fA17 . （2012 ?河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax 2+bx - 3交于A、B两点，点 A在x轴上，点B 的纵坐标为3 .点P是直线AB下方的抛物线上一动点 （不与A、 B点重合），过点P作x轴的垂线交直线 A

14、B于点C,作PD丄AB 于点D .(1 )求 a、b 及 sin ZACP 的值;(2 )设点P的横坐标为m . 用含有m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值； 连接PB,线段PC把APDB分成两个三角形，是否存在适合的 m的值，直接写出m的值,使这两个三角形的面积之比为9 : 10 ?若存在，直接写出 m的值；若不存在，说明理由.d18.( 2012?广元)如图，在矩形 ABCD 中，AO=3 , ta n /ACB=-.以3O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点 A向点C运动

15、，点E以每秒1个单位的速度从 点C向点O运动.设运动时间为 t (秒)(1 )求直线AC的解析式;(2 )用含t的代数式表示点 D的坐标;(3 )在t为何值时， ODE为直角三角形？(4)在什么条件下，以Rt ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式.3 P 119 . (2012 ?广州)如图，抛物线y= 二匸 -与x轴交于A、 o qB两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1 )求点A、B的坐标；(2 )设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 ACD的面积等于ACB的面积时，求点 D的坐标；(3 )若直线I过点E (4 , 0) , M为直线I上的动点，当以 A、B、M为顶点所作的直角三 角形有且只有三个时，求直线I的解析式.20.( 2012 ?广安)如图，在平面直角坐标系 xOy中，AB丄x轴于点B, AB=3 , ta n /AOB=上,4(1)求抛物线